Czy przedawkowanie trygonometrii szkodzi zdrowiu?

Dziękuje i również życzę Wesołych Świąt Bożego Narodzenia.

No nie dokładnie będę uczyć. Nie jestem aż takim cudotwórcą. Niemniej jednak spróbuję wyjaśnić pewne pojęcia podstawowe, żeby potem jasne stały się pojęcia trudniejsze. Słyszał Pan może o takim czymś jak geometria adyczna? Dokładniej chodzi o to, że w świetle ostatnich przemyśleń teoretyków fizyków świat, a dokładnie czasoprzestrzeń, wcale nie musi mieć geometrii wyprowadzonej od idei euklidesowej. Mówi się o tzw. geometrii 2-adycznej. Jednak w tym przypadku mamy spore problemy z potocznym zrozumieniem zasadniczych pojęć w takiej geometrii. Przede wszystkim nie jest ona archimedesowa, gdyż wartość bezwzględna w niej, której można użyć do definicji metryki odległości, spełnia bardzo dziwny warunek ultrametryczności |x+y|<=max(|x|,|y|). Ta wartość bezwzględna liczy jak bardzo dana liczba jest różna od najbliższej liczby 2-adycznej. W ogóle liczby 2-adyczne, a ogólniej p-adyczne dla liczby pierwszej p, to są kompletnie różne rzeczy niż liczby rzeczywiste. Są rozszerzeniem liczb całkowitych w zupełnie innym kierunku niż konstrukcja liczb rzeczywistych.

Jeśli pamięta Pan jeszcze naszą rozmowę o dziwnym sumowaniu ciągów postaci 1+2+4+8+16+...=-1, to teraz w łatwy sposób można ten konkretny fenomen wyjaśnić. Otóż zapis liczb 2-adycznych całkowitych jest postaci "....0010011101011001". Potęgi dwójki są takie "...0010..00", gdzie dla 2^k jest jedyna 1 na pozycji k. Jak zsumujemy wszystkie takie liczby ze sobą, to otrzymamy same jedynki "...1111111". Ponieważ jednak w arytmetyce 2-adycznej tak właśnie wyglądają liczby ujemne (uzupełnienie do 2, czyli podstawy systemu binarnego), to otrzymujemy ową minus jedynkę. Proste? ;) Cała reszta to już tylko filozofia. Kiedyś został nawet skonstruowany komputer, który miał za podstawę nie kod binarny, a kod 2-adyczny, tylko rejestry musiały być dużo większe. Dlatego właśnie, żeby powiedzieć coś ciekawego o takich sprawach, najpierw należy odwalić solidna robotę u podstaw, żeby mieć pewność, że myślimy później  prawie o tym samym. Prawie jednak stanowi różnicę w matematyce, nieprawdaż?

Miałem początkowo pomysł na zupełnie inny artykuł, ale musiałem go zaniechać, gdyż zostałby kompletnie zignorowany ze względu na brak płaszczyzny odniesienia dla używanych pojęć. Chodzi o ostatnie badania przeprowadzone na MIT, gdzie znaleziono pewne nowe reguły fraktalne dla gramatyki opisującej kodowanie DNA. Jest tam taki fajny wykres, który dowodzi, że w zasadzie wszystkie organizmy na Ziemi podpadają pod tę samą statystykę, oprócz dwóch. Lekko odbiega od nich w jedną stronę pewien rzadki fag oraz znacznie, wręcz rewolucyjnie, odbiega w stronę przeciwną kod wirusa HIV. Różne można snuć teorie na temat jego pochodzenia, lecz tu wydaje się pojawiać silne uzasadnienie dla tezy, że został sztucznie sklecony w jakimś laboratorium wojskowym.

Dziękuję. Postaram się wyjaśnić zagadnienie jak najprościej to będzie możliwe, sporządzę w tym celu odpowiednie rysunki i przedstawię zarys uogólnienia. W każdym razie będzie wiadomo wreszcie dlaczego w "wyższej" matematyce używa się tych dziwnych trójkątów sferycznych, hiperbolicznych i jaki to ma związek ze sobą. Przede wszystkim takie zbiorcze podejście uodparnia na szok, który przeżywa się widząc rewelacje związane z geometrią czasoprzestrzeni, stożkami światła i spinorami. Wszystko to ma związek z geometrią. To wszystko można wygooglować, jednak proste zestawienie nie będzie chyba takie złe. W zasadzie to jest dopiero pierwsza stacja na drodze ku zrozumieniu dzisiejszej kosmologii. Fizycy powymyślali tam takie niestworzone rzeczy, że aż trudno się oderwać od czytania. Istna poezja ;)

Te wzory są proste i zrozumiałe nawet bez specjalnej troski. Nie wklejałem wzorów, bo nie to było moim celem, a czas naglił. Może w przyszłości uda mi się przekonać adminów, żeby zainstalowali MathJaxa.

To jest efekt wklejenia równań Maxwella:
∇×B⃗ −1c∂E⃗ ∂t∇⋅E⃗ ∇×E⃗ +1c∂B⃗ ∂t∇⋅B⃗ =4πcj⃗ =4πρ=0⃗ =0
Oczywiście z błędami. A tak to wygląda w oryginale:
\begin{align}
   \nabla \times \vec{\mathbf{B}} -\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{E}}}{\partial t} & =
         \frac{4\pi}{c}\vec{\mathbf{j}} \\
   \nabla \cdot \vec{\mathbf{E}} & = 4 \pi \rho \\
   \nabla \times \vec{\mathbf{E}}\, +\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} & =
         \vec{\mathbf{0}} \\
   \nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} & = 0
\end{align}

Jest jeszcze inny system zapisu z rodziny XML, zwany MathML. Pierwiastek równania kwadratowego wygląda tak:

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/Ma..." display="block">
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>±</mo> <msqrt> <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn><mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow>
<mtext>.</mtext>
</math>

Osobiście jestem za tym pierwszym systemem, bo jest zgodny z LaTEXem i można dodatkowo skonfigurować go, żeby nie czepiał się każdego wyrażenia postaci \coś_tam.

W zasadzie pisałem ten tekst z zamiarem uwrażliwienia ludzi na te rzeczy. Żeby w końcu zdali sobie sprawę, że nie można wciąż wszystkiego tolerować i się milcząco zgadzać, jak to państwo wymuszało na ludziach w głębokiej komunie. Jeśli tego prostego faktu nie zrozumiemy, to nie pomogą nam żadne konkurencje i niewidzialne ręce, bo głąb się okopie w terenie i nie da byle komu wygryźć z lokalnego układu. Tak działają kasty. Także kasta nauczycielska w konkretnym powiecie. Opowiedziana historia jest też po części inspirowana losem jednego z moich kuzynów ze wsi zabitej dechami, który kiedyś też chciał bardzo zostać informatykiem. Lecz tak bezkrytycznie zawierzył swojej pani nauczycielce, że dziś kopie rowy i układa podkłady kolejowe. Niestety, ja dowiedziałem się o tym już po szkodzie, czyli po kilku latach i na ratunek już było za późno. To nie o to chodzi, że on był głąbem, bo go znałem. Chodzi o to, że został on z premedytacją przerobiony na głąba i nikt nie ma sobie nic do zarzucenia. Ot Polska właśnie. W tym przypadku był to klasyczny przypadek, wuj był tak dumny ze swego syna, tak chciwie go oglądał oczami duszy w glorii informatycznej chwały, że nawet nie zauważył tego krytycznego momentu, gdy został po prostu trywialnie wydutkany od tyłu przez system edukacyjnych cwaniaków. Nie zauważył w porę bo sam się nie znał - nie pytał, bo myślał, że ma do czynienia z profesjonalistami. System, który wabi do szkół młodzież na lep chwytliwych haseł typu "informatyka", "mechatronika", "ekonomia", "inżynieria taka owaka", a potem okazuje się, że nie potrafią ich tam nauczyć nawet porządnie liczyć, to w Polsce powszechność. Tak rozumie się tu konkurowanie. To jest jedna z głównych przyczyn, dla której ludzie mający wyższą pozycje społeczną i nieco oleju w głowie nie ryzykują, tylko zabierają swoje dzieci z takich pipidów. I choćby miały one się gnieździć cztery lata w jakimś internacie, przenoszą je do cywilizacji. Czyli tam, gdzie maja szansę otrzymać konkretne wykształcenie, a nie tylko wiązkę kłamliwych obietnic bez pokrycia. Tak jest bezpieczniej. Ludzie o jeszcze wyższym statusie społecznym, jak to widzieliśmy za rządów PO, a nawet słyszeliśmy pomiędzy mlaskaniem przy pożeraniu ośmiorniczek i wiązką wyrazów uznawanych powszechnie za obelżywe, wysyłają swoje dzieci do szkół zagranicę. Nikt nam takiego badziewnego systemu edukacji nie narzucił - sami go sobie zbudowaliśmy. Jedni kierując się cwaniactwem i zachłannością na pieniądze, zaś inni przez ciche tolerowanie patologii.

To złożone zagadnienie, ale chodzi w skrócie o to, że w nauczaniu jej pozbyto się całego środka, pozostawiając jedynie dwie skrajności. Z jednej strony prymitywne zadanka nadające się do nowoczesnych testów, zaś z drugiej cały materiał traktowany niemal jak "matematyka wyższa" (widać to w poziomie rozszerzonym). W efekcie prawie nikt już nie zna trygonometrii, ale CKE nie ma ochoty zjeść tej żaby. Bedą udawać Jarząbka do samego końca. To zresztą widać w opinii fizyków o poziomie matematyki u uczniów zdających na maturze fizykę. Jeśli ktoś myśli, że delikwent na studiach sam się podciągnie i uzupełni braki, to chyba nigdy nie widział porządnych studiów, kiedy nie ma czasu po udzie się podrapać. Zwłaszcza, kiedy z głupoty i niewiedzy podstawowej zawali się pierwsze kolokwium, albo pierwszy termin egzaminu. Tam nikt już pyta "czy zna pan sinusy?"

Zgadza się i można to rozwalić brutalną siłą:

0 = (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1+2a(b+c)+2bc=1-2a^2+2bc=0, czyli a^2=1/2+bc
Podobnie b^2=1/2+ac, c^2=1/2+ab, czyli inaczej ab+ac+bc=a^2+b^2+c^2-3/2=1-3/2=-1/2.
Do obliczenia czwartej potęgi sumy trzech wyrazów nie musimy znać żadnego wzoru, żadnych uogólnionych trójkątów Pascala. Wystarczy, że pomyślimy, jak tworzą się kolejne wyrazy. Mamy cztery identyczne nawiasy (a+b+c), a więc z każdego będziemy brać jeden wyraz i tworzyć czwórki liter najlepiej w porządku alfabetycznym. Ma być 3^4=81 takich czwórek:
0 = (a+b+c)^4=
aaaa+aaab+aaac+aaba+aabb+aabc+aaca+aacb+aacc+
+abaa+abab+abac+abba+abbb+abbc+abca+abcb+abcc+
+acaa+acab+acac+acba+acbb+acbc+acca+accb+accc+
+baaa+baab+baac+baba+babb+babc+baca+bacb+bacc+
+bbaa+bbab+bbac+bbba+bbbb+bbbc+bbca+bbcb+bbcc+
+bcaa+bcab+bcac+bcba+bcbb+bcbc+bcca+bccb+bccc+
+caaa+caab+caac+caba+cabb+cabc+caca+cacb+cacc+
+cbaa+cbab+cbac+cbba+cbbb+cbbc+cbca+cbcb+cbcc+
+ccaa+ccab+ccac+ccba+ccbb+ccbc+ccca+cccb+cccc
Grupujemy wyrazy i niech S oznacza szukaną sumę czwartych potęg:
0 = a^4+b^4+c^4 + 4a^3b + 4a^3c + 4b^3a + 4b^3c + 4c^3a+4c^3b + 6a^2b^2 + 6a^2c^2 + 6b^2c^2 + 12a^2bc + 12b^2ac+12c^2ab
0 = S + 12abc(a+b+c) + 2ab(2a^2+2b^2) +  2ac(2^a2+2c^2) + 2bc(2b^2+2c^2) + 6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)
0 = S + 2ab(1+2bc+1+2ac) + 2ac(1+2bc+1+ab) + 2bc(1+2ac+1+2ab) + 6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)
0 = S + 4abc(a+b+c) + 4abc(a+b+c) + 4ab + 4ac + 4bc + 6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)
0 = S + 4(-1/2) + 6((1/2+bc)(1/2+ac) + (1/2+bc)(1/2+ab) + (1/2+ac)(1/2+ab))
0 = S - 2 + 6(1/4+1/2ac+1/2bc+abcc + 1/4+1/2ab+1/2bc+abbc + 1/4+1/2ab+1/2ac+aabc)
0 = S - 2 + 6(3/4 + ac + bc + ab + abc(a+b+c)) = S - 2 + 6(3/4 - 1/2 + 0) = S - 2 + 3/2 = S - 1/2
Stąd ostatecznie S=1/2.
Można to krócej zapisać, ale ja zapisałem tak, żeby było widać poszczególne kroki.

Drugie zadanie również można zrobić na piechotę. Jest tak: a+(a+1)+(a+2)+....+(a+n)=2000, a+n=b. Teraz zbierzmy wszystkie a: (n+1)a + (1+2+...+n)=2000, (n+1)a + n(n+1)/2 = 2000, (n+1)(a+n/2)=2000, (b-a+1)(a+b)/2=2000, (b-a+1)(a+b)=4000. Testujemy rozkłady liczby 4000 na dwa mnożniki - jeden mały (b-a+1), a drugi duży (a+b). Dzielniki pierwsze są dwa:2 i 5. Kolejno: 1*4000 odpada, bo a musiałoby się równać b wbrew założeniu a<b; 2*2000 odpada, bo dla b-a=1 druga liczba musiałaby być nieparzysta, a jest parzysta; 4*1000, 8*500, 10*400, 16*250, 20*200, 40*100, 50*80 nie pasują z tego samego powodu. Iloczyn 5*800 jest rozwiązaniem, bo z b-a=4 i b+a=800 mamy 2b=804, b=402 i a=800-b. Podobnie 32*125 jest następnym rozwiązaniem, bo b-a=31 i b+a=125, b=31+a, 2a=125-31=94; a=47, b=78. Na tym koniec.

Dziękuję i odwzajemniam życzenia.

Pewnie sporo by się jeszcze znalazło dobrych nauczycieli matematyki (nie mylić z zawodowcami matematykami i wykładowcami na uczelniach). Problem w tym, że to pomysły MEN wykrzywiają tych ludzi i sprowadzają na manowce. O ile widzę potrzebę tworzenia programów nauczania dla takich przedmiotów jak historia albo polski, to w przypadku matematyki powinno być raczej od określonego poziomu minimalnego wzwyż. Określanie górnych pułapów nie ma po prostu sensu, bo i tak czas to ogranicza. Niech każdy nauczy uczniów przynajmniej tego minimum,a do tego swojej rybki i będziemy w domu. Ja miałem nauczyciela, który skończył metody numeryczne. U niego właśnie nauczyłem się tworzenia wzorów i rekurencji dla rozwiązania rozmaitych zadań, choć nie było wtedy jeszcze żadnych komputerów w szkole. Liczyliśmy to na suwaku logarytmicznym. Mam do niego masę zastrzeżeń, ale to co udało mu się zrobić przez 4 lata, to dziś nie wyrabia stu belfrów. Między innymi poznałem wyznaczniki dowolnego stopnia, odwracanie macierzy, różniczkowanie, numeryczne metody znajdowania miejsc zerowych, całkę Riemanna, ułamki łańcuchowe, system szesnastkowy i inne, funkcje logiczne za pomocą kart perforowanych na drucie do dziergania, i masę innych ciekawostek, nawet liczyłem pierwiastki w tych innych systemach liczbowych na lekcji. A dziś?

Najgorsze jest to, że po nadaniu tych tysięcy tytułów naukowych na krechę, taki Gowin liczy, że wykształcą oni kogoś mądrzejszego od siebie. Ciekawe skąd ma tyle optymizmu? ;)

Ja akurat lubię poezję. Kiedy tworzyłem pierwszą moją stronę, to zawsze była ona obecna dla stworzenia odpowiedniego nastroju, podkreślenia mojego stosunku do cytowanej treści, no i dla przyjemności. Również życzę szczęśliwych i spokojnych Świąt.

W końcu spotkałem jeszcze dziwnego człowieka,
Który po swych rodzicach nie nosił żałoby,
Nie rozpaczał przy ludziach, nie chodził na groby;
Lecz czasem tylko jego zapadła powieka
Przyjmowała do siebie promyczek wesela,
A ten tak blado, drżąco spod rzęsów wystrzela,
Jakby się od księżyca nauczył mrugania.
Ten człowiek od pierwszego z światem przywitania
Był bardzo nieszczęśliwy, ale się nie zrażał,
Patrzył w niebo i, pełniąc swoje obowiązki,
Na ziemię mało zważał.
On nawet w drobnych rzeczach był prześladowany,
Jakby go los trefnisiem dla siebie uczynił;
On często cierpiał potwarz, choć nic nie zawinił;
On, pragnąc zerwać różę, rwał ostre gałązki...
Ten więc człowiek, sierota, od nieszczęść ścigany,
Patrząc w górę, ze świętym uśmiechem proroctwa
Mówił do mnie, że nie ma bynajmniej sieroctwa!
Ja zaś jakoś niechcący ku niebu spojrzałem,
A niebo było gwiaździste;
W gwiazdach więc tajemnicę tych słów wyczytałem,
Bo one tam wyraźne były, oczywiste;
Potem, gdy dusza swego skosztowała chleba,
Nie mogłem się już więcej oderwać od nieba,
Które mnie wciąż ciągnęło silnym, wonnym tchnieniem.

E tam od razu wyobraźni ;))
Wystarczyło poślęczenie nad wektorami w 3D, czyli stara dobra geometria analityczna. Jak jak to robiłem na olimpiadę matematyczną, to dorwałem z biblioteki zupełnie unikalny podręcznik geometrii, w którym wszystkie twierdzenia i zadania były na wektorach. Na przykład twierdzenie, że wysokości trójkąta, albo środkowe boków trójkąta, albo dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie. Pisałem o tym raczej z punktu widzenia tw. Cevy, ale podejście wektorowe jest rewelacyjne. Trzeba tylko udowodnić, że suma wybranych wektorów daje zero, czyli zamyka się pewien cykl. Stereometria chodzi podobnie. Na przykład zadanie o kuli wpisanej w stożek o podstawie kwadratowej. Dlatego właśnie mówiłem, że wyrzucenie wektorów z nauczania matematyki w ogólniaku, to zbrodnia przeciwko rozumowi ;)

Najbardziej wredne zadania, to były szacowania z góry lub z dołu dla jakichś dziwnych funkcji, bo tu rzeczywiście wyobrażenie sobie środowiska, z którego problem pochodzi upraszcza sprawę dokumentnie. Najczęściej były to jakieś kule w dziwnych przestrzeniach metrycznych, a uczeń zwykłego ogólniaka guzik o nich wiedział. Pojawiały się też zadania z teorii liczb, gdzie należało liczyć modularnie (coś przystaje do 1 modulo liczba p). Bez znajomości pierścieni rzeczywiście plastyczna wyobraźnia jest tu wielce wskazana. A z pierścieniami? No toż to jest zwykły homomorfizm f:Z->Z/pZ, z więc można przechodzić pomiędzy tymi pierścieniami w tę i nazad i liczyć tam, gdzie wygodniej, bo działania i wyniki są przenoszone przez homomorfizm.

Jeszcze innym zagadnieniem na poziomie szkoły średniej jest szukanie grup symetrii figur płaskich. Np. grupa symetrii trójkąta równobocznego, równoramiennego, kwadratu, prostokąta itd. Nie chodzi o to, żeby wprowadzać formalną teorię grup, ale żeby wytworzyć pewne intuicje na przyszłość. Np. powiązanie tych symetrii z permutacjami wierzchołków. Potem byłoby łatwiej wchodzić w nowe dziedziny.

A tak przy okazji warto intuicyjnie uczyć w LO pochodnych wielomianów, bo idą z automatu (ax^n)'=anx^(n-1), a potem przydają się przy badaniu zmienności funkcji jak korektor. Weźmy wielomian piątego stopnia zapisany po rozłożeniu na (zespolone) pierwiastki f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e). Żeby policzyć pochodną tego rowera nie trzeba wymnażać, tylko zastosować kombinatorykę i wzór na pochodną iloczynu: (t*g)'=t'*g+t*g', jak dalej g=h*k, to idzie to rekurencyjnie. Zatem f'(x)= suma pięciu wyrazów utworzonych z f(x) po wykreśleniu każdego nawiasu; f''(x) wykreślamy po dwa nawiasy i wszystkie kombinacje, f'''(x) po trzy itd. Proste.

PS: Suma potęg x^n zachowuje się jak całka funkcji x po dx, tylko wynik zapisywać należy w potęgach ubywających. To jest dopiero potęga wyobraźni :D