Czy przedawkowanie trygonometrii szkodzi zdrowiu?

Dziś trygonometria jest tym przedmiotem w szkole średniej, który służy generalnie do przestraszania, zmuszania do nauki pamięciowej, najczęściej kucia do testów, a następnie odstrzału osobników nieprzystosowanych do cudownego systemu polskiej edukacji. Gdy słucha się wynurzeń typowych nauczycieli matematyki na ten temat, często odnosi się wrażenie, że albo nie ma już żadnych innych zastosowań trygonometrii i ogólniej geometrii, albo po prostu sami nie wiedzą co mówią. Tymczasem trygonometria jest niezwykle prosta do wyłożenia, łatwo się uogólnia, jeszcze w latach 80-tych była kluczowym elementem wszelkich egzaminów wstępnych na wyższe uczelnie w formie zadań o stożkach, ostrosłupach i graniastosłupach. Jako zwarta część geometrii jest wdzięcznym narzędziem uczącym umiejętności dowodzenia twierdzeń i ich poprawnego stosowania w zadaniach. Ale przede wszystkim stanowi stały punkt odniesienia, do którego zawsze można się odwoływać przy znacznie trudniejszych zagadnieniach. Jest jak latarnia morska. Nie musi być skomplikowana, żeby była niezwykle użyteczna.

Pierwszym z brzegu przykładem złej praktyki w nauczaniu matematyki, a trygonometrii w szczególności, może być umiejscowienie przedmiotu fizyka na tle programu matematyki. Zwykle z fizyką kojarzą się nam zadania, w których "badamy" zachowanie się różnych ciał spychanych brutalnie z równi pochyłej, wystrzeliwanych z armaty w rzutach poziomym i ukośnym, a w najlepszym razie dyndających na sznurku (w wersji humorystycznej na sprężynie). O ile ciała zachowają jeszcze jakąś formę, można je tak odwirować, aż im moment obrotowy wyjdzie bokiem. Żeby jednak urzeczywistnić te wszystkie horrory, uczeń musi już znać jakieś pojęcia dotyczące trójkąta, a przynajmniej liczyć biegle wszystkie te sinusy i cosinusy. Dlaczego tak nie jest opiszę dalej. Najczęściej fizykę umieszcza się w formie okrojonej bezpiecznie na rok przed maturą, pozostawiając na ostatni moment tylko te najtwardsze orzeszki, które się jedynie "dyskutuje". Nadal daleko poza zasięgiem rozumienia ucznia szarej szkoły średniej pozostają optyka, obwody elektryczne, a nawet umiejętność sprytnego rozkładu sił na wektory. Zachodzi nawet obawa, że i te prostsze zagadnienia robi się gdzieniegdzie tylko pro forma i z musu, a nie na poważnie. Nie mówię tu rzecz jasna o dobrych szkołach, których program jest specjalnie stworzony dla kształcenia ukochanych Sykstusków ludzi bogatych lub wpływowych, bo to jest zupełnie inny świat, ale o zwykłej szarej polskiej szkole na prowincji, w której prekariat zajmuje się klonowaniem prekariatu. Mówię o tej szarej masie uczniowskiej, która w wyniku "kształcenia" błąka się potem po świecie w poszukiwaniu korepetycji z oczywistości, zupełnie jak słynny Koziołek Matołek w poszukiwaniu Pacanowa.

Aby nie być gołosłowny, podam tu linki do tej radosnej futurologii, zwanej dla niepoznaki i trochę pewnie dla jaj podstawą programową:

1) Fizyka z jakiejś szkoły: http://www.zs-korzkiew.z… - Miażdżąca ocena programu znalazła się na stronie 211. Jest tam m.in. zawarta taka opinia Centralnej Komisji Egzaminacyjnej (CKE): "Analiza rozwiązań zadań w arkuszu dla poziomu podstawowego wskazuje na spore braki zdających w prostych umiejętnościach matematycznych. Zdający słabo radzili sobie z działaniami na potęgach, przekształcaniem ułamków czy sprowadzaniem do wspólnego mianownika." Nic dodać nic ująć - po prostu druzgocąca ocena pracy nauczycieli matematyki nie tylko z ogólniaka, ale przede wszystkim ze szkoły podstawowej oraz gimnazjum. Gdzie jest w tym nasza trygonometria? No cóż, sinusy to właśnie działanie na ułamkach i to nie byle jakich, potędze 2 oraz 1/2 i te rzeczy. Tłumaczyć chyba nie trzeba.

2) Matematyka - ograniczę się do etapu czwartego, bo już widzę po uczniach, że gimnazjum to był czas stracony (dwa lata w plecy): większość użytecznych zagadnień jest przeniesiona do programu rozszerzonego, czyli na zawsze już pozostanie poza zasięgiem zwykłego zjadacza chleba. Jeśli teraz wykopiemy gdzieś cudem opinię CKE lub innych gremiów o kompetencjach matematycznych maturzystów, to będzie ona przypominać jako żywo propagandę sukcesu z czasów Gierka: "Konferencja Rektorów Akademickich Szkół Polskich z wielką satysfakcją odnotowuje konsekwentne dążenie systemu oświaty do poprawy jakości wykształcenia absolwentów szkół średnich. Konferencja z uwagą obserwuje kolejne działania MEN w tym zakresie, zdając sobie sprawę, że od skuteczności tych działań w dużym stopniu zależą także efekty kształcenia osiągane w systemie szkolnictwa wyższego. W szczególności dotyczy to kwestii właściwego przygotowania młodzieży do studiów realizowanych z uwzględnieniem nowych form prowadzenia procesu kształcenia. Konferencja konsekwentnie wspiera wszystkie działania zmierzające do tego, by na uczelnie trafiali coraz lepiej przygotowani kandydaci na studia." Bla bla bla...

Porównując te dwie wypowiedzi - dotyczącą nauczania fizyki, z tą mówiącą o sukcesach matematyki - można wyciągnąć tylko jeden logiczny wniosek. Szkołę średnią kończą masowo ludzie, którzy nie radzą sobie z "działaniami na potęgach, przekształcaniem ułamków czy sprowadzaniem do wspólnego mianownika", a następnie fuksem prześlizgują się na studia wyższe. Tam dokonuje się kolejny etap obróbki prekariatu, czyli nadawanie "specjalistom" dyplomów magistra. Do czego to w efekcie prowadzi, wyjaśniał już na palcach w swoim wykładzie pan Krzysztof Karoń. Roszczeniowa wrzeszcząca tłuszcza alogicznych przygłupów z uprawnieniami nadanymi na kredyt jest w stanie rozsadzić od środka każdy racjonalny system. I nie oszukujmy się, jeśli komuś uda się z takimi podstawami prześliznąć przez wydział matematyki, to jako wewnętrzny gorszy sort, na bank zechce "dorobić sobie" pedagogikę, a następnie ma wszelkie szanse zostania nauczycielem podstawówki lub ogólniaka w swojej gminie. Wtedy kółko się zamyka.

Niedawno przyszedł do mnie z matką, przybity uczeń drugiej klasy ogólniaka (w dawnym programie trzeciej) z klasówką pełną czerwonych zer i z prośbą o natychmiastowy ratunek. Na co dzień uczy się on w szkole średniej, która dumnie mieni się szkołą o profilu informatycznym, do której uczęszcza też więcej pociech z okolicy. Taka moda. Zawalona klasówka dotyczyła miejsc zerowych funkcji takich jak f(x)=ax+b, a w najgorszym przypadku z parametrem jak np.: "Dla jakich m funkcja f(x)=(2m+1)x-m+2 ma rozwiązanie". Dosłownie i proszę się nie śmiać, bo taka jest rzeczywistość, proszę Państwa. Gdy wstępnie spytałem o podstawowe umiejętności ucznia, czyli szkicowanie wykresów, tangens, od biedy sinus z cosinusem, musiałem zahaczyć o trójkąt prostokątny, czyli stosunek różnicy igreków do różnicy iksów, gdyż chciałem znaleźć jakiś wspólny język, w którym moglibyśmy się porozumieć, to spotkała mnie początkowo cisza, a następnie świetnie zagrane oburzenie, że takich rzeczy nie było jeszcze na lekcji. Pomyślałem, że w tym tempie to pewnie nigdy nie będzie. Dostrzegłem tu całą miałkość owego systemu propagandy sukcesu w edukacji, która uczy ataku, w odpowiedzi na praktyczną próbę rozwiązania problemu. Uczeń ten miał jednakowoż wszelkie prawo się wzburzyć i poczuć urażony, gdyż dostając ciurkiem oceny 4, a nawet 5 ze "znajomości bieżącego materiału", mógł sobie wyrobić odmienne od mojego zdanie o swej wybitnej wiedzy, wyjątkowości, a rodzice mogli być wbijani w dumę dobrymi ocenami swej pociechy. Kłopot w tym, że rzeczywistość skrzeczała niemiłosiernie, a pacjent okazał się być kompletnym matematycznym głąbem, burakiem sięgającym korzeniem szkoły podstawowej, którego najpierw należałoby nauczyć liczyć do pięciu na palcach, a potem modlić się o jakiś cud. Tylko przypadek oraz chwilowe zaniechanie uczenia na testach spowodowały, że nastąpił ten "niespodziewany" coming out. Najgorsze jednak było to, że z relacji delikwenta wynikało, iż na takim samym poziomie była niemal cała klasa. Przypomnę dla porządku - mówimy o trzeciej klasie ogólniaka w starym czteroklasowym systemie, choć niektóre technika zawodowe były kiedyś pięcioletnie.

Dziś już wiem, że w przerwie świątecznej będę zmuszony zasiąść z pociechą do serii bolesnych tortur. Sprawę dodatkowo komplikuje fakt, że pani od matematyki bez ogródek, podobno naopowiadała uczniom głupot, że "informatykowi w zasadzie nie jest potem potrzebna matematyka". Wiem to z relacji rzeczonego ucznia, ale jego poziom wiedzy powoduje, że nijak nie mogę znaleźć argumentów na potwierdzenie tezy przeciwnej. Któż nie skusi się bowiem na takie gładkie wytłumaczenie swojego nieróbstwa? Zupełnie, jakby większość programu matematyki była tylko i wyłącznie po to, żeby można było zrobić na bieżąco jakieś testy. A w ogóle to można zapomnieć. Słyszycie to drodzy Państwo!? Czy to słyszycie!? W efekcie pociecha z rozbrajającą szczerością oświadczyła mi, że po szkole i tak zostanie dyplomowanym technikiem informatykiem, który obecnie uczy się operowania w języku SQL na bazach danych, choć kompletnie nie rozumie na czym polega suma oraz przecięcie zwykłych zbiorów, a nawet programowania, choć nie rozumie nawet starożytnego algorytmu Euklidesa. Każdy z nas pragnie mieć takiego informatyka w urzędzie i technika w szpitalu, odpowiedzialnego za bezawaryjne działanie sprzętu monitorującego funkcje życiowe, nieprawdaż? Nie umie liczyć na ułamkach, nie umie rozkładać liczb naturalnych na czynniki, nie wie co to wielomian, szuka miejsc zerowych równania, rozwiązuje funkcję kwadratową, trygonometrię traktuje jak kosmos i nie umie naszkicować prostej na płaszczyźnie. Ale ma aspiracje. Słysząc "tangens kąta nachylenia", choć "współczynnik kierunkowy prostej" jest w skąpym programie i w jego śmiesznym podręczniku, zaczyna się kłócić o niezgodność z "materiałem". Bo przecież to jest niepotrzebne informatykowi, jak mówiła pani. Słowem prawdziwy horror.

Zresztą, nieważne jakimi słowami się ten patologiczny stan opisze. Parlamentarnymi czy nie. Podejrzewam, że spustoszenia w świadomości społeczeństwa w Polsce, dokonane metodą "postępowych europejskich reform programów nauczania", są już tak poważne, że większość nastolatków i ludzi dwudziestoparoletnich nawet nie wie o czym tu piszę i skutkiem tego nie dostrzega żadnego zagrożenia. Nawet gdybym zacytował tu program "nauczania" z Generalnej Guberni, a następnie przetłumaczył w punktach na program "kształcenia" zbieraczy szpinaku u Bauera w Niemczech, będzie to tylko rzucanie grochem o ścianę. Zgnilizna jest już zbyt powszechna i dotyka przede wszystkim polską "samorządową" prowincję. Pilnie potrzeba tu radykalnych zmian, a nie kosmetyki i paplania profesorskich autorytetów o gruszkach na wierzbie. Potrzeba głębokiej orki, a tymczasem w programie PIS-u rozwiązań jest jak na lekarstwo. Jak dotąd, jedyną realną propozycją MEN, jest sypnięcie więcej kasy obecnym nauczycielom i wspierającym ich autorytetom uczelnianym. Świetnie, będzie więcej testów. Kolejny rocznik skończy w ciemnej... Zresztą nie ważne gdzie, bo nie mam najmniejszego zamiaru sondować.

Artykuł ten traktuję więc jako wstęp do serii tekstów o tym, jak z mojego punktu widzenia powinno się realizować nauczanie matematyki w Polsce, aby przyniosło to jakiś wymierny trwały skutek. Żeby podstawy zwykłych rachunków, a nie wyimaginowanej górnolotnie tytułowanej "matematyki", a także zdolność logicznego rozumowania na poziomie zero plus, zostały w pamięci i świadomości ucznia na całe życie i to "bez napinki". Gdy skończę już z tą patologią szkół średnich, obiecuję, że przejdę do ciekawszych tematów ;)

Zacząłem od trygonometrii nie bez powodu. Jej właśnie będzie dotyczył mój następny tekst. Udowodnię Państwu na palcach, że jest możliwe nauczyć się kompletnie całej licealnej trygonometrii w jeden weekend i to bez konieczności uczenia się na pamięć twierdzeń oraz wzorów. Jedyne rzeczy, których należy się nauczyć, to głównie nazwiska, nazwy twierdzeń i rozmaitych wzorów, żeby zachować jakiś związek z literaturą. Całą resztę można w każdym momencie wyprowadzić, posługując się odpowiednimi rysunkami na serwetce lub blacie stołu w kawiarni "Szkocka", jak zwykł był to czynić genialny Stefan Banach i jak powstała słynna notacja polska. Pokażę na tym przykładzie, jak należy prawidłowo ćwiczyć poszerzanie wyobraźni, jak efektywnie wykorzystywać pamięć, na co zwrócić szczególną uwagę, a także jak wykorzystać typową dla dziecka ciekawość oraz spostrzegawczość, żeby już nigdy "tępe kucie matmy" nie spędzało mu snu z powiek. Ci Państwo, którzy obserwują moje partyzanckie teksty "podziemne" na Naszych Blogach, pewnie już przeczuwają, że zachodzi poważna obawa, iż rzeczywiście mogę to zrobić. Postaram się więc urzeczywistnić te obawy. Będzie to mój prezent na gwiazdkę. :)

*****

PS: Mam właśnie przed sobą zestaw zadań z pracy kontrolnej numer 6, korespondencyjnego kursu przygotowawczego z matematyki na wyższe uczelnie. Organizowała to m.in. Politechnika Warszawska. Ja wysłałem w sumie kilkanaście takich prac, a pierwsze będąc w klasie trzeciej, czyli peowskiej drugiej. Do tego zachęcał nas nauczyciel. To nawet nie jest poziom dawnych wojewódzkich konkurów matematycznych czy olimpiady, w których też uczestniczyłem. Proszę zauważyć na tych przykładach, jak w ciągu zaledwie ćwierćwiecza poziom nauczania matematyki w Polsce (głównie prowincjonalnej) sięgnął dna:

Zad: Rozwiązać 2ˣ ＋ log(1 ＋ 4 ˣ) ≥ x·log25 ＋ log6
Zad: Rozwiązać cos3x ＋ cos5x ＋ cos7x = 0
Zad: Udowodnić 1 ³ ＋ 2 ³ ＋ 3 ³ ＋ ... ＋ n ³ = (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ... ＋ n) ²
Zad: Czworościan regularny o boku a. Oblicz promień kuli stycznej do wszystkich krawędzi.
Zad: Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(m)=x₁(m)·x₂(m), gdzie x₁(m) i x₂(m) są pierwiastkami równania (m ＋ 2) ² x² ＋ 6(m ＋ 2) x ＋ m ² = 0.
Zad: Mamy zbiór liczb trzycyfrowych utworzonych z cyfr 1,2,...,9. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania: a) liczby parzystej; b) liczby podzielnej przez 3.
Zad: Mamy elipsę o równaniu x ² ＋ 4y ² − 4 = 0 i prostą x ＋ y − 1 = 0. Obliczyć pole prostokąta, który powstaje ze stycznych do elipsy o współczynniku kierunkowym identycznym z daną prostą.

Dla porównania podam jeszcze przykład zadań przygotowawczych na olimpiadę i to złośliwie z czasów tak zamierzchłych jak 1968 rok. Gdy w końcówce lat 80-tych dostałem się na studia, to pewien doktor matematyki oświadczył z rozbrajającą szczerością, że właśnie m.in. on układa te wszystkie zabawne zadania olimpijskie i są one głupiutką zabawą w porównaniu z rzeczywistym materiałem studiów. Jednym słowem, spuścił całe powietrze z nadętych gottwaldowców i dziś wiem, że miał całkowitą rację. Kłopot w tym, że on nie był jeszcze wtedy w stanie przewidzieć tych hord historyków dorywających się do władzy w Polsce, którzy z rozkoszą zrealizują stary niemiecki ideał wykształconego Polaka.

Zad: Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie x ＋ y = (x − y) ².
Zad: Dowieść, że żadna figura nie może mieć dwóch środków symetrii.
Zad: Dane są punkty A,B,C,D nie leżące na jednej płaszczyźnie. Wyznaczyć płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe.
Zad: Obliczyć a ⁴ ＋ b ⁴ ＋ c ⁴ wiedząc, że a ＋ b ＋ c = 0, a ² ＋ b ² ＋ c ² = 1.
Zad: Znaleźć takie liczby naturalne a i b (a < b), żeby suma wszystkich liczb naturalnych niemniejszych od a i niewiększych od b była równa 2000.
Zad: Danych jest na płaszczyźnie n punktów, z których p należy do jednej prostej (3 ≤ p < n), a oprócz nich żadne 3 nie są współliniowe. Ile jest trójkątów, których wierzchołkami są dane punkty?

Jest ktoś chętny? :D
A co by było, gdybym nie umiał nawet dodawać ułamków?