Dźgnięcie drugie: idziemy po tropach (cz.1)

W zasadzie nie ma dobrego słowa na nazwanie tej wiązki dość luźno powiązanych pojęć lub raczej tego splotu geometrycznych intuicji, które postaram się obrazowo opisać w dzisiejszym artykule. Są to tak subtelne ślady, że może je wyłowić z otaczających szumów jedynie wyjątkowo rozbudzona i wyostrzona wyobraźnia. Początkowo chciałem nazwać to coś właśnie śladami, ale ostatecznie podjąłem inny trop i tak już zostało.

Tropami nazwę tutaj pewne struktury, które wyłaniają się w naturalny sposób w różnych zagadnieniach matematycznych i bardzo przypominają typowe teorie geometryczne, lecz nie spełniają wielu podstawowych założeń, które z jakichś historycznych powodów muszą mieć wszystkie porządne geometrie. Jednym z takich założeń jest np. wymaganie, aby przez każde dwa punkty przechodziła prosta. Ten pewnik złamany jest w strukturach wyglądających niemal jak konstrukcje dla geometrii skończonych, ale opartych na siatkach. Siatką roboczo nazywam tu graf, którego konstrukcja polega na tym, że rysujemy na płaszczyźnie n-kąty, z każdego wierzchołka których musi wychodzić dokładnie k krawędzi, co zapisuję jako G(n,k). Są to w szczególności skończone siatki wielościanów foremnych jak powiedzmy sześcian G(4,3) lub dwudziestościan G(5,3), zwykła płaska kwadratowa krata G(4,4), czy wreszcie siatki hiperboliczne typu G(5,4). Siatki można uogólnić na większą liczbę wymiarów G(k₀,k₁,...,kₘ) poprzez określenie ile kᵢ-ścian musi mieć wspólną (kᵢ-1)-ścianę. Intuicje na ten temat można sobie wyrobić dzięki obrazkom na tej stronie:

https://en.wikipedia.org/wiki/...

Pokażę na przykładzie siatki G(5,4) o co chodzi i w jaki sposób można tworzyć tu tropy. Siatkę tę rysujemy na kartce zaczynając od pojedynczego pięciokąta, z którego każdego wierzchołka rysujemy dwie krawędzie na zewnątrz. Potem uzupełniamy te krawędzie do pięciokątów, z których wierzchołków z kolei znów wychodzą krawędzie tak, by ich liczba w każdym wierzchołku była równa 4. Bardzo szybko zauważymy, że rysować musimy coraz drobniejsze i coraz gęstsze pięciokąty. Tak właśnie "czuje się" hiperboliczność na płaskiej powierzchni, zupełnie jakby z braku miejsca od razu chciała się fałdować. Aby w tym przypadku określić proste, posłużymy się intuicją, że odcinek można przedłużać nieskończenie do prostej, ale tylko w taki sposób, żeby istniała symetria tego co pozostaje z prawej i z lewej strony tej prostej (odbicie względem prostej), zaś przez prostą rozumiemy tylko zbiór składający się z punktów siatki. Widać, że można takim sposobem przedłużyć bok każdego pięciokąta i potem iść z każdego wierzchołka przeciwległą krawędzią, ale nie można przedłużyć odcinka łączącego co drugi jego wierzchołek, gdyż nie otrzymamy symetrii odbicia. To pokazuje, że w tym przypadku nie przez każde dwa punkty przechodzi prosta, albo inaczej nie każde dwa punkty są połączone odcinkiem. Niemniej jednak jest wiele ciekawych zależności, które nieco przypominają twierdzenia ze zwykłej geometrii. Ten konkretny trop jest fragmentem modelu geometrii hiperbolicznej w kole, którą można zobaczyć na podanej wyżej stronie pod nazwą "Hyperbolic tilings". I teraz znów, gdy zaczniemy bawić się "ułamkami", czyli "liczbami wymiernymi" i konstruować siatki postaci G(n,k/l) albo G(k/l,n), to opisywać będziemy twory gwiaździste i jeszcze dziksze "Hyperbolic star-tilings".

Inny rodzaj tropów otrzymamy, gdy narzucimy ograniczenia na jakąś grupę przekształceń płaszczyzny w siebie. W zwykłej geometrii posługujemy się izometriami, czyli przekształceniami zachowującymi odległości, zaś tu jedynie pewnymi symetriami. Często jednak z tych symetrii wtórnie da się wydedukować jakąś nową funkcję odległości. Przykładem sztandarowym są oczywiście odbicia płaszczyzny względem okręgów. Gdy będziemy je ze sobą składać, to otrzymamy tzw. grupę przekształceń Mobiusa. Właśnie w taki sposób można interpretować omawiane wcześniej siatki hiperboliczne, zaś wzór dla nowej metryki wynika z tego, że tworzymy tu nowe tzw. izometrie hiperboliczne. Jest to świat oglądany w magicznym zwierciadle Eschera. Stąd blisko też do tematu homografii na płaszczyźnie zespolonej i przekształceń konforemnych, o czym powiem za chwilę.

Jak działamy w tym przypadku? Na przykład bierzemy trójkąt i za dopuszczalne przekształcenia płaszczyzny czyli "izometrie" uznajemy tylko odbicia względem jego boków, potem odbicia względem boków odbitych trójkątów i tak w nieskończoność. Widać od razu, że gdy wyjściowy trójkąt był równoboczny, to taka procedura doprowadzi nas do siatki trójkątnej na płaszczyźnie o kodzie G(3,6), czyli tworzymy tu pewne uogólnienie dla wcześniejszego przypadku tropów. To co otrzymamy w wyniku nieskończonej serii odbić będzie chmurą punktów rozrzuconych na całej płaszczyźnie, których współrzędne będą zależne od cech wyjściowego trójkąta. Na przykład, gdy trójkąt będzie miał boki o długościach będących liczbami całkowitymi, to tylko niektóre liczby będą mogły wystąpić we współrzędnych punktów na płaszczyźnie. Jest to pewna analogia dla problemu konstrukcji za pomocą cyrkla i linijki. Skoro nie wszystkie punkty płaszczyzny uda się zdefiniować za pomocą podanej metody odbić, nawet nie wszystkie z tych, które leżą na bokach wyjściowego trójkąta, to także musi zmienić się drastycznie definicja prostych w tej "geometrii". Podobnie możemy dokonać uogólnienia dowolnej siatki hiperbolicznej wychodząc od nieregularnego n-kąta na płaszczyźnie z metryką hiperboliczną.

Dalej zamiast zwykłych odbić względem boków, można wziąć takie "odbicia", np. względem boku a, które wnętrze trójkąta przekształcają na obszar kąta pomiędzy przedłużeniami boków b i c leżący na zewnątrz trójkąta. Podobnie dla pozostałych boków. Trudno to sobie wyobrazić bez specjalnych narzędzi, jakimi jest konforemność, czy choćby współrzędne jednorodne, ale proszę mi wierzyć, że to też działa. W zasadzie cały ten długi wstęp można potraktować jako wprowadzenie do zrozumienia ogromnej roli różnych rodzajów współrzędnych wewnętrznych, na przykład dla trójkąta (barycentryczne, trilinearne), jako potężnych narzędzi wspomagających zawodną ludzką wyobraźnię.

Istnieje nieskończenie wiele możliwości tworzenia nowych tropów. Teraz przybliżę odrobinę obrazy tworzących się tym ostatnim tropem regularności z niesamowitego i rzucającego o ziemię świata konforemności, czyli po ludzku mówiąc z analizy zespolonej. We wcześniejszej części podawałem przykład tworzenia dziwnego zapisu liczb rozrastającego się w postaci drzewiastej na kracie w nieskończenie wymiarowym układzie współrzędnych, którego osie odpowiadają kolejnym liczbom pierwszym. Wychodząc od liczb całkowitych i stosując na wpół symboliczny minus, dodaliśmy najpierw liczby wymierne (ułamki), potem pierwiastki (potęgi wymierne), a potem jeszcze coś (np. potęgi pierwiastkowe itd.), co jeszcze chyba nie otrzymało swojej stałej nazwy właściwej. Jednak taka konstrukcja ma pewien sens właśnie w kontekście dziś poruszanego tematu oraz całego cyklu "Dźgania".

Idę o zakład, że prawie nikt z czytelników (może poza jednostkami) nie zetknął się w życiu z tak ważnym tematem, jak wzory Christoffela-Schwarza. Wzory te znajdują zastosowanie w zagadnieniach bardziej technicznych, począwszy od aero- przez hydrodynamikę, aż po propagację fal elektromagnetycznych i konstrukcję anten kierunkowych, sektorowych, dla telefonów lub routerów WIFI. Oddają one nieocenione usługi w bardziej poważnych zagadnieniach rozpoznawania lub raczej ukrywania kształtów w radiolokacji (samoloty i łodzie klasy stealth). Co to takiego jest? Otóż twierdzenie nazwane od nazwisk tych dwóch panów mówi, że gdy na płaszczyźnie narysujemy dowolny wielokąt (nawet nie musi być wypukły), a wręcz może być z pewnymi bokami uciekającymi do nieskończoności (przypominam, że gdy chodzi o płaszczyznę zespoloną, to uzupełnia się ją punktem w nieskończoności, który niczym w zasadzie nie różni się od pozostałych punktów), to zawsze możemy napisać w miarę prosty wzór przekształcenia tego wielokąta na górną półpłaszczyznę. Oczywiście i odwrotnie też. W tym wzorze występują wyrażenia przypominające rozkłady wielomianów na pierwiastki ale z potęgami nie będącymi liczbami całkowitymi. Potęgi te zależą tylko od kątów pomiędzy sąsiednimi bokami wielokąta i przyjmują wartości dodatnie mniejsze od 2 (bo 2π, to kąt rozwarty aż tak, że go nie można wskazać). Widać również, że gdy dostawimy jakiś dodatkowy wierzchołek wielokąta na którymś z boków, to wzór się nie zmieni, bowiem potęga czynnika dla tego wierzchołka będzie równa 0. Wzór ten można łatwo wygooglować, więc nie będę tu uprawiać gimnastyki artystycznej:

http://www.me.unm.edu/~kalmoth...

Skoro tak, to w zasadzie wszystkie wielokąty na płaszczyźnie zespolonej są ze sobą powiązane za pomocą pewnych quasi wielomianowych zależności. Co najważniejsze, wszystkie takie wzory będą opisywać przekształcenia konforemne, czyli będą zachowywać kąty. Jeśli powiedzmy na płaszczyźnie wybierzemy siatkę z prostopadłych i równoległych linii prostych, to siatka ta za pomocą przekształcenia Ch-S przeniesie się z zachowaniem tych kątów prostych z górnej półpłaszczyzny do wnętrza dowolnego wielokąta. Co ciekawsze nie musimy wychodzić od półpłaszczyzny, ale możemy przyjąć za kształt normujący koło jednostkowe z siatką złożoną z okręgów i promieni wychodzących z jego środka, lecz wtedy naturalnym układem odniesienia będzie układ współrzędnych biegunowych. Gdy za obszar normujący przyjmiemy nieskończony pas, to naturalnym opisem w takich przekształceniach będą jakieś logarytmy albo w innym przypadku funkcje trygonometryczne. Właśnie za pomocą takich prostopadłych siatek rysuje się odpowiadające sobie linie pola elektrycznego i magnetycznego, na przykład dla poruszającego się ładunku albo dla przekroju powierzchni, na której zgromadzony jest ładunek elektryczny. Czyli widać tu ścisły związek ze słynnymi równaniami Maxwella. Gdy weźmiemy zupełnie dowolny obszar na płaszczyźnie, który nie jest wielokątem, to o ile można go w miarę jednostajnie przybliżać jakimiś wielokątami, to w podobny sposób docelowe przekształcenie konforemne można przybliżać za pomocą wzorów Christoffela-Schwarza dla tych wielokątnych przybliżeń. W Internecie są setki obrazków pokazujących jak wyglądają takie siatki dla wielokątów różnych kształtów. Jest to też ulubione zagadnienie do tworzenia podchwytliwych zadanek na egzaminy z funkcji zespolonych.

Na początek oczywiście ćwiczenie rozgrzewające dla wyobraźni. Czy jesteś, drogi czytelniku, w stanie wyobrazić sobie sposób w jaki można wyróżnić każdą pojedynczą prostą na płaszczyźnie (bez powtarzania)? W pewien sposób uczyniłem to z kształtami różniących się od siebie trójkątów w jednej z poprzednich części bloga. Tutaj sprawa jest jeszcze prostsza. Wszystkie proste na płaszczyźnie można podzielić na klasy lub wiązki prostych równoległych, z których każda taka wiązka jest prostopadła do jednej tylko prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych. To wszystko. Nie ma już żadnych więcej innych zwykłych prostych. Czyli jest ich tylko "tyle", ile jest punktów na wszystkich prostych pęku przechodzącego przez punkt (0,0). Oczywiście posługiwanie się tu tego rodzaju pojęciami ilościowymi nie ma większego sensu, gdyż wszystkich punktów na płaszczyźnie, a nawet w przestrzeni n-wymiarowej, jest dokładnie tyle samo, ale chodzi tu o wskazanie pewnego intuicyjnego mechanizmu indeksacji. Za chwilę okaże się, dlaczego on jest taki naturalny.

Ćwiczenie drugie jest dużo trudniejsze. Teraz wyobraźmy sobie przestrzeń w której rolę "punktów" grają wszystkie proste na płaszczyźnie, zaś nowe "proste" musimy sobie dopiero jakoś wymyślić. Takie konstrukcje prowadzą niechybnie do tzw. Grassmannianów, a więc to już poważna sprawa. Niemniej jednak da się to jakoś w miarę elementarnie zrobić. Najprostszym pomysłem na nowe "proste" jest przyjęcie za nie pęków prostych przechodzących przez dowolny punkt P. Oznaczmy taki pęk symbolem L(P). Z miejsca widać, że każde dwa pęki L(P) i L(P'), gdzie P jest różny od P', mają dokładnie jedną prostą wspólną. Jest to właśnie ta prosta przechodząca przez punkty P i P'. Mamy więc pierwszy ślad: każde dwie "proste" (czyli pęki) "przecinają się" w jednym "punkcie" (czyli mają wspólną prostą). Jeszcze mamy poważny problem z wiązkami prostych równoległych, gdyż one nie "przecinają się" się ze sobą w żaden sposób (nie mają wspólnych prostych), choć "przecinają się" z każdym pękiem L(P) w dowolnym punkcie P, bowiem jest to dokładnie ta prosta z pęku, która jest równoległa do wiązki. W jaki sposób uzupełnić ten schemat, czyli sprawić by każde dwie wiązki równoległe także "przecinały się"? Inaczej mówiąc, jak zrobić z nich pęki prostych? Jest to możliwe, ale musimy w tym celu założyć istnienie pewnych dodatkowych punktów w nieskończoności, a nawet całej prostej w nieskończoności. Prostą tę tworzą "punkty przecięcia" każdych dwóch wiązek, przez co stają się one równoważne zwykłym pękom (L(Q), gdzie Q jest jakimś punktem na prostej w nieskończoności) i od teraz można posługiwać się już wspólnym terminem pęków oraz "prostych". Ponadto wskazaniem, że w nieskończoności musi być jakaś prosta, może być obserwacja, że zwykłe pęki można pogrupować w ten sposób, że leżą wzdłuż określonych wspólnych prostych. Tak samo wyobrażamy sobie prostą w nieskończoności. Dokładniej mówimy tu o okręgach przechodzących przez jakiś punkt w nieskończoności w roli zwykłych prostych, ale to już wyjaśniałem w poprzednim tekście. Proszę też rozróżniać pojęcia punktu i "punktu" oraz prostej i "prostej", bo to jest kluczowe dla zrozumienia tego zagadnienia.

W ten oto prosty sposób udało nam się na piechotę skonstruować przestrzeń rzutową. Z jednej strony wiadomo, że powstaje ona dzięki ściągnięciu do punktu każdej prostej przechodzącej przez (0,0,0) w przestrzeni trójmiarowej, z drugiej strony mamy naszą konstrukcję (czyli jest w miarę prostym Grassmannianem), aż wreszcie z trzeciej topologicznej strony, można ją skleić z prostokątnej kartki papieru podobnie jak demonstruje się tworzenie rurki i potem torusa, albo tworzenie wstęgi Mobiusa. Przestrzeń rzutowa powstaje prawie tak samo jak torus, z tą różnicą, że nie klei się prostokąta w dwie rurki, ale w dwie wstęgi Mobiusa (jak kleimy jedną rurkę i jedną wstęgę, lub odwrotnie, to powstaje Butelka Kleina). Teraz właśnie przyda się nam owa analogia z pękami oraz zależność pomiędzy wiązką prostych równoległych, które wszystkie są prostopadłe do jakiejś ustalonej prostej przechodzącej przez (0,0). Nawiasem mówiąc, to jest właśnie ta kolosalna różnica, która każe nam inaczej myśleć o przestrzeni wektorowej (czyli liniowej), niż o przestrzeni afinicznej (gdzie kopię przestrzeni wektorowej zaczepiamy w każdym punkcie). Chodzi o to, że zapisów izometrii płaszczyzny w formie macierzowej (macierze 2 na 2) nie daje się składać w taki sposób, żeby w rezultacie powstała inna macierz będąca wynikiem mnożenia macierzy dla składowych izometrii. Można za to osiągnąć taki efekt w przestrzeni rzutowej i to właśnie nazywamy współrzędnymi jednorodnymi. Co prawda macierze takie dla przesunięć, skalowań, czy obrotów będą miały wyrazy zależne od jakichś parametrów, ale to tylko mała uciążliwość w porównaniu z wyjściowym problemem zapisu w tej formie. Skoro więc proste na płaszczyźnie potraktowaliśmy jako nowe "punkty", to można je obecnie zapisać w jakiejś takiej formie (a:b:c), gdzie ax+by+c=0 jest równaniem tej prostej. Teraz niektóre takie trójki będą sobie równoważne, a mianowicie te, które są postaci (ta:tb:tc) dla niezerowej liczby t. Skoro tak, to aż kusi, żeby zapis jeszcze bardziej uprościć i podzielić przez ostatni wyraz (a/c:b/c:1). Ale co zrobimy, gdy prosta przechodziła przez początek układu, czyli miała c=0? Otóż punkty postaci (a:b:0) odpowiadają właśnie naszym punktom na prostej w nieskończoności.

Współrzędne jednorodne są blisko związane ze współrzędnymi barycentrycznymi w trójkącie. Współrzędne te pojawiają się w zagadnieniu szukania środka ciężkości trójkąta i są kluczem do zrozumienia dziwacznego wzoru na pole trójkąta, zwanego wzorem Herona. We wzorze tym wystarczy podstawić za p, czyli połowę długości obwodu, wyrażenie (a+b+c)/2 i skrupulatnie przemnożyć. Następnie porównać wyniki pojawiające się po drodze ze współrzędnymi barycentrycznymi środka okręgu opisanego lub ortocentrum (punkt przecięcia się wysokości) i wszystko powinno być jasne. Zanim przejdziemy dalej do konkretów znów trochę musimy pochodzić w miejscu szukając odpowiedniej analogii. Powiedzmy, że mamy za zadanie znaleźć taki sposób opisu położenia punktu P w trójkącie, który nie zależy od niczego innego, prócz samych tylko długości boków a,b,c i ewentualnie kątów A,B,C. Jest cała seria twierdzeń, które mówią o punkcie P i długościach rzutów na poszczególne boki (czyli po prostu o odległościach punktu P od boków trójkąta), albo o trójkątach utworzonych z punktów, które otrzymamy po przeniesieniu punktu P na boki trójkąta wzdłuż jakichś specyficznych prostych. Oczywiście od razu narzuca nam się tutaj twierdzenie Cevy i bardzo słusznie. Nie będę tu przytaczać treści tych wszystkich twierdzeń, może poza jednym anegdotycznym przypadkiem.

Jest mianowicie taki trójkąt pochodny w stosunku do wyjściowego, który młodzież zdążyła już pieszczotliwie nazwać pedałem. Powstaje on właśnie dokładnie z punktów będących rzutami punktu P na boki trójkąta. Takie rzuty mają bardzo ciekawe własności. Jest twierdzenie Vivianiego, które stwierdza, że dla każdego punktu P wnętrza trójkąta równobocznego suma jego odległości od boków trójkąta jest stała i wynosi tyle co wysokość trójkąta. Dowód: Powierzchnia trójkąta ABC jest sumą powierzchni trzech trójkątów ABP, ACP i BCP, wystarczy zapisać wzory na pola i skrócić. Twierdzenie można rozszerzyć na punkty leżące poza trójkątem. Jeśli punkt leży po przeciwnej stronie prostej tworzącej dany bok, to przyjmuje się, że jego odległość od tego boku jest ujemna. Gdybyśmy chcieli określić jakieś jego wewnętrzne współrzędne, to postępowalibyśmy w następujący sposób. Wprowadzamy na prostej, będącej przedłużeniem odcinka łączącego punkt P z pewnym jego rzutem Q, podziałkę, w której Q ma współrzędną 1 albo 0 wedle woli, zaś wierzchołek przeciwległy do tego boku współrzędną 0 lub 1 odpowiednio. Podobnie dla dwóch pozostałych rzutów. Czy można jednoznacznie wyznaczyć pozycję punktu P w trójkącie za pomocą takich trzech liczb? Ależ oczywiście, tyle tylko, że nie będą one od siebie niezależne. A czy gdybyśmy zastosowali do tej operacji nie odległości od boków i wierzchołków, tylko kąty? Również nie widzę problemu. Jednym problemem jest to, że tego rodzaju systemów współrzędnych jest kilka rodzajów.

Wyróżnia się trzy główne standardowe rodziny systemów zapisu współrzędnych wewnętrznych m.in. w trójkącie: barycentryczne, arealne i trilinearne, które nie doczekały się chyba jeszcze jakiegoś terminu polskiego. Wszystkie trzy są związane z nazwiskiem Cayleya, który prowadził badania w zakresie wprowadzania takich rodzajów współrzędnych w różnych algebrach, w tym nazwanych jego imieniem i w algebrach Liego. Czyli są też związane ze wspomnianymi w poprzedniej części kwaternionami. Jednak ja przedstawię tu pogląd Conwaya na tę sprawę jako znacznie prostszy. Użyję tu oznaczeń (x:y:z) dla barycentrycznych, na przykład {x:y:z} dla arealnych (chociaż nie będę używał tu tej notacji) oraz [a:b:c] dla trilinearnych. To nie są tylko pojęcia czysto matematyczne, lecz pojawiają się w informatyce, a konkretnie w grafice komputerowej, w zagadnieniach renderowania obrazów, gdzie oparte na nich są konkretne algorytmy. Pewną modyfikację współrzędnych arealnych i barycentrycznych zaproponował w 1975 Eugene Wachspress, co dziś wykorzystuje się w pewnych zagadnieniach z grafiki komputerowej.

Współrzędne barycentryczne związane są z wierzchołkami trójkąta. Jeśli dla pewnego punktu P zachodzi wzór (a₁+a₂+a₃)P=a₁A+a₂B+a₃C, to trójkę liczb (a₁,a₂,a₃) nazywamy współrzędnymi barycentrycznymi punktu P. Współrzędne barycentryczne można zdefiniować dla dowolnego wielokąta wypukłego. W przypadku trójkąta współrzędne arealne są tym samym co w przypadku współrzędnych barycentrycznych, ponieważ te współrzędne punktu P są równoważne stosunkom pól trójkątów PAB, PCA, PBC do całego pola. Współrzędne trilinearne zaś są związane z podanym wyżej przykładem "pedała", który jest szczególnym przypadkiem trójkąta Cevy, a kluczową rolę gra tu rzutowanie ortogonalne punktu P na boki trójkąta. Przeliczenie współrzędnych trilinearnych na barycentryczne dokonuje się za pomocą wzoru [x:y:z]=(ax:by:cz), gdzie a,b,c są długościami boków trójkąta. W drugą stronę należy podzielić (x:y:z)=[x/a:y/b:z/c]. We współrzędnych barycentrycznych wierzchołki trójkąta mają współrzędne (1:0:0), (0,1,0), (0,0,1), środek ciężkości (1:1:1), środek okręgu wpisanego (a:b:c) albo (sinA:sinB:sinC), środek okręgu opisanego (sin2A:sin2B:sin2C) i tak dalej. Jak widać, dzięki zastosowaniu tych współrzędnych wychodzą na światło dzienne symetrie i zależności w trójkącie, o których nie mieliśmy dotąd bladego pojęcia. Znacznie bardziej skomplikowanie wygląda przeliczenie na współrzędne kartezjańskie, ale to nie jest tutaj naszym celem.

Conway w jednym ze swoich listów dokonał oceny przydatności tych rodzajów współrzędnych ze względu na różne zastosowania. Wyszło mu, że na 12 obszarów zastosowań, tylko w dwóch współrzędne trilinearne okazały się lepsze od barycentrycznych/arealnych. Jednak twórcy atlasów dla centrów trójkąta zdają się preferować współrzędne trilinearne. Może to przyzwyczajenie. Twierdzenie Cevy dla punktów X,Y,Z zrzutowanych odpowiednio na boki BC,CA,AB tak, aby odcinki AX,BY,CZ przecinały się w punkcie P wygląda tak: istnieją x,y,z takie, że X=(0:y:x), Y=(x:0:z), Z=(x:y:0). Conway wymyślił zaś coś takiego: Jeśli symbolem S(x) oznaczymy podwojone pole trójkąta razy cotangens x, czyli 2Sctg(x), to S(A)=(b²+c²-a²)/2, S(B)=(c²+a²-b²)/2, S(A)=(a²+b²-c²)/2. Stąd wynika, że ortocentrum ma współrzędne barycentryczne (1/S(A):1/S(B):1/S(C)). Inny jego wynik mówi, że jeśli weźmiemy punkt P poza trójkątem, leżący tak, że tworzy wraz z bokiem a trójkąt PBC oraz kąty PBC=h, PCB=k, to jego współrzędne barycentryczne są równe (-a²:S(C)+S(k):S(B)+S(h)). To ośmiela, żeby wyjść ze współrzędnymi barycentrycznymi poza trójkąt i zobaczyć jak się naprawdę sprawy mają.

Zarówno wewnątrz jak i na zewnątrz trójkąta istnieje ogromna liczba różnych ciekawych centrów, których współrzędne zapisuje się za pomocą współrzędnych barycentrycznych lub trilinearnych. Ile? Nieskończenie wiele. Dziesiątki, a może nawet setki tysięcy jest już poznanych i skatalogowanych. W tej mrówczej pracy nieocenione zasługi oddały specjalne programy komputerowe podobne do systemów automatycznego dowodzenia twierdzeń. O tym jednak napiszę kolejnym razem. Dziś kończę już ten przydługi wstęp i mam nadzieję, że zebrane i podane w tej formie fakty ułatwią Państwu zrozumienie pewnych (lub PWNch;) pojęć podstawowych z tego fragmentu matematyki oraz przyczynią się do przybliżenia zrozumienia kolejnych. W drugiej części tego "Dźgnięcia" będę kontynuował temat tropów i spróbuję opisać już praktycznie jeszcze bardziej zaskakujące i nieintuicyjne w sensie chłopskorozumowym związki. Będzie jeszcze więcej dziwacznych struktur, a tym razem pójdziemy w ich kierunku tropem geometrii algebraicznej, która wyłoni się leniwie, ku naszemu wielkiemu zaskoczeniu, z każdego zwyczajnego trójkąta, niczym zombie o podgniłych pośladkach z omszałego grobu i już nigdy nie przestanie nas straszyć ;).