Dźganie trójzębem Newtona - pierwsza krew

Dziś chciałbym w ramach uzupełnień powiedzieć coś więcej o pewnych chwytach i technikach stosowanych w geometrii oraz trygonometrii, które wydają się być tylko małpimi sztuczkami zawodowych rozwiązywaczy zadań olimpijskich, ale kiedyś miały i dziś też mają poważne konsekwencje dla kierunku rozwoju całej matematyki, a nawet nauk pośledniejszego gatunku. Na pierwszy ogień pójdzie koncepcja wektorów, która jest najstarsza i najlepiej opisana, w sensie "jak to się ma do geometrii". Potem dokonam brutalnej wiwisekcji za pomocą wewnętrznych sposobów określania układów współrzędnych dla punktów w trójkącie, przez co już nic nigdy nie będzie takie jak kiedyś. Będzie to pewnie kolejna łzawa historia z tematu "dlaczego Polakom tak niewiele się udaje". Zakończę zaś tematem przerażającym, który na długo pozostawi czytelnika w stanie permanentnego szoku. Będzie o dziwnej geometrii w której wszystkie liczby całkowite zawarte są w kuli o promieniu 1, a mimo to da się tam odkryć krzywolustrzane odbicie całej znanej dotąd matematyki.

Nawiązując jeszcze do poprzedniego artykułu, pragnę zaznaczyć, że bez plastycznej i wytrenowanej w wizualizacjach wyobraźni, nawet tak proste zagadnienie jak wektor pozostanie poza zasięgiem młodego człowieka, co może ocenić sam na własnym przykładzie praktycznie każdy, kto ukończył liceum. Tak naprawdę tylko niewielki procent ludzi opuszcza szkołę z choćby śladową znajomością tego pojęcia. To właśnie m.in. pośrednio mówiła ocena wyników egzaminów maturalnych z fizyki. Mówiąc kolokwialnie, olanie zagadnienia wektorów pozbawia nas dożywotnio dostępu do dzikich krain innych zapierających dech w piersiach obiektów geometrycznych, których przedstawicielami są tensory, spinory, twistory, ale nie tylko, w których rasowy fizyk kąpie się codziennie. Jak to zwykle w życiu bywa, matematycy idą znacznie dalej i opierają na tym jeszcze bardziej niewyobrażalne i zakazane miraże. Ale jak to się ma do rozwoju wyobraźni?

Dr Adam Gazzaley zajmujący się neuronauką, ekspert w dziedzinie dystrakcji, mówi tak: "Według najnowszej wiedzy, gdy się na czymś świadomie skupimy, wyświetlamy w korze przedczołowej obrazy albo dźwięki. Na tej zasadzie łatwiej przyswajamy informacje, gdy coś nam ona mówi. A jeśli z niczym się nie kojarzy, IGNORUJEMY ją. Ten proces zwany góra-dół pozwala nam czytać książkę w głośnym wagonie, albo uczyć się w zgiełku pokoju w akademiku. Odkryliśmy, że kiedy pojawia się dystrakcja, zrywają się połączenia między przednią częścią mózgu oraz płatami odpowiedzialnymi za wzrok, a hipokampem." Jednym słowem człowiek, który zostanie skutecznie pozbawiony widoku obrazów, do których mózg będzie mógł kiedyś przyrównywać przeczytane treści, albo w inny sposób zostanie zakłócona uwaga pozwalająca te obrazy przywoływać, to człowiek w pewnym sensie intelektualnie oślepnie. Wtedy ma tylko dwa wyjścia: 1) albo zignorować informacje z tego źródła; 2) albo wykuć tekst na pamięć bez cienia zrozumienia. Niestety, niektórym nauczycielom w Polsce wciąż wydaje się, że nauczą dzieci matematyki tylko na samych symbolach, iksach oraz równościach, że aksjomaty zastąpią wszelkie inne treści. Ale to jest niemożliwe nawet na studiach, dlatego właśnie z trudnego wykładu studenci zapamiętują głównie obrazki prezentujące przykłady lub kontrprzykłady oraz opowiedziane przez profesora anegdoty. Dwie kolejne operacje "Dźgania" pójdą znacznie dalej i powiem bez ogródek, iż mają za cel dać wyobraźni po prostu w kość. Na tyle mocno, by czytelnik wreszcie dostrzegł jej istnienie i zaczął ją szanować.

No to zaczynamy naszą podróż.

Pierwsze obiekty przypominające wektory pojawiły się podczas badań nad geometrią euklidesową, gdy w 1835 r. włoski matematyk Giusto Bellavitis próbował określić relację wiążącą dwa zorientowane odcinki prostych, które są jednakowej długości i skierowane w tym samym kierunku. Związek ten nazwał "equipollenze". Miał na końcu języka pewną myśl, ale jeszcze nie istniały takie słowa, którymi mógłby ją wyrazić. Nazwę 'wektor' zaproponował dopiero Sir Hamilton, gdy akurat badał swoje wielkie odkrycie - kwaterniony. Traktował on kwaternion jako skalar, do którego doczepiony jest trzywymiarowy obiekt, nazwany przez niego po prostu 'wektor'. Co dziwne, trochę wcześniej niż notacja wektorowa pojawiła się notacja dziś znana jako zapis liczb zespolonych. Bardzo wielu matematyków w XIX wieku krążyło wokół tego pojęcia uparcie, tworząc własne mniej lub bardziej udane wersje w celu zrozumienia tych dziwacznych kwaternionów. Znane są dokonania w tym zakresie Cauchy'ego, Grassmanna, Möbiusa, Comte de Saint-Venanta, czy O'Briena. Najbliżej był Grassmann, ale to Clifford wprowadził symbole dla produktów skalarnego i wektorowego, a Gibbs oraz E.B. Wilson ostatecznie dokonali odpępowienia wektorów od zagadnienia kwaternionów. Widać więc, że wektory rodziły się w bólach.

Nie będę tu definiował tego wszystkiego co wiadomo o wektorach, bo dziś można to znaleźć praktycznie w każdym podręczniku geometrii lub w Wikipedii, lecz przejdę od razu do konkretnych zastosowań. Skoro mówimy o trygonometrii, to zobaczmy to zagadnienie dla dwóch prostych zadanek.

Załóżmy, że mamy udowodnić, że wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Z góry wiadomo, że każde dwie wysokości muszą się przeciąć w jakimś punkcie, a więc wystarczy tylko wykazać, że trzecia wysokość też przechodzi przez ten punkt. Niech w trójkącie ABC będą to wysokości h i g opuszczone odpowiednio na boki b i c, a punkt ich przecięcia to P. Utwórzmy wektory u=PA, v=PB, w=PC. Wystarczy pokazać, że wektor AP jest prostopadły do boku a, czyli wektora BC. Ponieważ PB jest prostopadły do AC, więc iloczyn skalarny wektorów v i AC=w-u jest równy zeru: v(w−u)=0. Stąd vw=vu. Podobnie dla drugiej wysokości w(u−v)=0, czyli wu=wv, a więc wszystkie iloczyny skalarne są równe: uw=uv=vw. Teraz obliczmy iloczyn skalarny wektorów u i BC=w−v, u(w−v)=uw−uv=0. To kończy dowód, bo to oznacza, że trzeci wektor określa trzecią wysokość, bo jest prostopadły do wektora BC, czyli boku a. Proste? No to może jeszcze takie trudniejsze zadanie: "Wykazać, że przesuwając równolegle środkowe dowolnego trójkąta ABC można utworzyć z nich nowy trójkąt." Środkowa to odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku. Pomysł na rozwiązanie jest taki, że gdy utworzymy wektory ze środkowych w określonym kierunku, to jako wektory dadzą sumę zero. Kierunek od wierzchołka wydaje się najlepszym rozwiązaniem. Dla uproszczenia notacji oznaczmy wektory symbolami boków: a=AB, b=BC, c=CA, a środki boków odpowiednio F,E i D. Wektory dla środkowych oznaczmy AD=p, BE=q, CF=r. Mamy następujące zależności: p=a+b/2, q=b+c/2, r=c+a/2. Stąd p+q+r=a+b/2+b+c/2+c+a/2=3/2(a+b+c)=0, bo wektory a,b i c tworzą zamknięty obwód (trójkąt wyjściowy). Jakoś poszło.

Teraz lekko zahaczę o trzy wymiary. Często ludzie zastanawiają się, jak napisać równanie prostej przechodzącej przez dany punkt, jeśli wiemy w którym ma ona biec kierunku. Jest to łatwe na płaszczyźnie, gdzie proste opisuje się jednym równaniem ax+by+c=0. Co jednak zrobić w przypadku trzech wymiarów? Tu bowiem do zdefiniowania prostej jedno równanie nie wystarczy, gdyż potrzeba ich dwa - jedno równanie ax+by+cz+d=0 opisuje płaszczyznę, a przecięcie dwóch płaszczyzn daje równanie krawędziowe prostej. Wtedy niezwykle pomocny okazuje zapis z użyciem wektora (x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+t[a,b,c], t∈ℝ, co czytamy jako zbiór punktów (x,y,z), które możemy wskazać końcem wektora [a,b,c] zaczepionego w punkcie (x₀,y₀,z₀), skracając go i wydłużając oraz odwracając kierunek, do czego służy parametr t. Inaczej mówiąc, zapisujemy tu równanie parametryczne prostej przechodzącej przez dwa punkty (x₀,y₀,z₀) i (x₁,y₁,z₁), jako (x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+t[x₁−x₀,y₁−y₀,z₁−z₀], t∈ℝ. Dalej mamy (x,y,z)=(x₀+t(x₁−x₀),y₀+t(y₁−y₀),z₀+t(z₁−z₀)), czyli trzy równania x=x₀+t(x₁−x₀), y=y₀+t(y₁−y₀), z=z₀+t(z₁−z₀), skąd z jednego równania możemy wyliczyć t=(x−x₀)/(x₁−x₀) i wstawić do dwóch pozostałych y=y₀+(x−x₀)(y₁−y₀)/(x₁−x₀), z=z₀+(x−x₀)(z₁−z₀)/(x₁−x₀). Jak widać zapis z wektorem jest o niebo czytelniejszy i łatwiejszy do zapamiętania oraz użycia. Zapis wektorowy jeszcze bardziej ułatwia życie gdy szukamy równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt (x₀,y₀,z₀) i prostopadłej do danego wektora [a,b,c]. Idąc tropem wektorów "wskazujących punkty", musielibyśmy "wymyślić" jakiekolwiek dwa wektory prostopadłe do danego, u i v, które nie są do siebie równoległe i one będą rozpinać tę płaszczyznę wzorem (x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+tu+sv, s,t∈ℝ,. Lecz życie jeszcze bardziej się upraszcza, gdy do tego celu używamy iloczynu skalarnego. Wiadomo bowiem, że dla wektorów prostopadłych wynosi on 0 (długość rzutu jednego wektora na kierunek wskazywany przez drugi). Czyli ax+by+cz=0, jest po prostu równaniem płaszczyzny przechodzącej przez początek układu i równoległej do danej. Przesuniemy ją tylko w całości do punktu (x₀,y₀,z₀), czyli o wektor [x₀,y₀,z₀] i jesteśmy w domu a(x−x₀)+b(y−y₀)+c(z−z₀)=0, czyli ax+by+cz-(ax₀+by₀+cz₀)=0. W zapisie łącznym wygląda to tak: {X:XA=0}, {X=X₀+V:VA=0}={X:(X-X₀)A=0}.

Oto jeszcze inny niby problem, który czasem bywa trudny do wyobrażenia sobie z marszu. Przez każde trzy punkty nieleżące na jednej linii przechodzi płaszczyzna. Czy prawdą jest, że przez każde dwie proste też przechodzi płaszczyzna? Odpowiedź jest prosta, gdy dla dwóch dowolnych nierównoległych prostych uda nam się zbudować trzy wektory liniowo niezależne. Weźmy więc najprostszy przypadek dwóch prostych, które biegną prostopadle, ale się nie przecinają. Od razu widać, że wektor leżący na najkrótszym odcinku AB łączącym proste, wektor łączący pierwszy punkt A tego odcinka z dowolnym punktem drugiej prostej różnym od B, oraz wektor łączący punkt B z dowolnym punktem pierwszej prostej różnym od A, spełniają te warunki. Jeśli ktoś jeszcze tego nie widzi, jako pierwszą prostą można wziąć oś Ox w 3-wymiarowym układzie współrzędnych (x,y,z)=(0,0,0)+t[1,0,0]=(t,0,0), jako drugą prostą wziąć (x,y,z)=(0,0,1)+t[0,1,0]=(0,t,1), a jako trzy wektory u=[0,0,1], v=[0,1,1], w=[-1,0,1]. Są one liniowo niezależne, bo au+bv=[0,b,a+b] dla żadnych a i b nie będzie równy [-1,0,1]; nie musimy nawet liczyć, bo to widać po pierwszej współrzędnej. Otrzymaliśmy kontrprzykład. Wniosek: jeśli przyjmiemy postulat o prostych i płaszczyznach na podobieństwo piątego postulatu Euklidesa, to o ile nie będzie sprzeczności w aksjomatach, nasza geometria będzie daleko różna od zwykłej geometrii. A teraz już nie będzie się z czego śmiać, bo..., że sparafrazuję Jana Kobuszewskiego.

Uwieńczeniem zastosowań wektorów w geometrii jest cały dział zwany geometrią analityczną, będący rozwinięciem stereometrii, który z czasem przeewoluował w geometrię różniczkową, a potem w algebraiczną. Zaczęło się to mniej więcej w tym momencie, gdy stało się jasne, że pewne zagadnienia łatwiej jest policzyć w krzywoliniowym układzie odniesienia, a pozorna komplikacja równań wynika głównie z niedostosowania układu do specyfiki zagadnienia. Z czasem nauczono się też przemieszczać układ współrzędnych wzdłuż krzywych wraz z trajektorią rozwiązania. Jeszcze dziś spotyka się czasem na wykładach tzw. trójścian Fréneta, który tworzy taki mobilny układ współrzędnych dla krzywej, złożony z wektora stycznego, normalnego i binormalnego do tej krzywej w każdym jej punkcie, a który był wiele razy bardziej skomplikowaną koncepcją niż szczególna teoria względności Einsteina. Na tej podstawie właśnie wydedukowano później tensory krzywizny oraz skręcenia. Zanim jednak do tego doszło, całe lata w powszechnym użytku były takie pojęcia jak gradient, rotacja oraz dywergencja, których liczenie mogło zająć pół zeszytu i oblało to kilka pokoleń inżynierów. Można więc powiedzieć, że bardzo długo kręcono się wokół wektorów zanim ktoś sprytny znów je uogólnił i przeniósł na wyższy poziom.

Należy jednak uważać z odwoływaniem się do wektorów w geometrii, a zwłaszcza do iloczynu skalarnego. Nie są to bowiem pojęcia stricte geometryczne. Geometria klasyczna nie opisuje bowiem takich obiektów jak iloczyny skalarne, a także nie wszędzie pary punktów będą dawały przyjazne znane nam wektory. To scheda po modelu kartezjańskim, który bardziej przypomina podejście algebraiczne niż geometryczne. Gdy odchodzimy choć odrobinę od geometrii euklidesowej, to natychmiast w każdym punkcie warstwa po warstwie przestrzeń zwykłych wektorów w dziwny sposób okleja się od naszej przestrzeni i rozpoczyna własne życie jako tzw. wiązka styczna. A wtedy do szukania wektorów równoległych musimy już użyć tzw. koneksji (operacji przeniesienia równoległego) i nie ma zmiłuj. To już zagadnienie poruszane w zakresie geometrii różniczkowej i wymaga wielu dodatkowych definicji. Na razie pomijam.

Teraz popatrzmy z innej strony - z punktu widzenia abstrakcyjnych przestrzeni wektorowych. Tam wektorem może być praktycznie wszystko, co spełnia aksjomaty przestrzeni wektorowej: ciągi, funkcje ciągłe, funkcjonały, operatory, miary. W tym świecie nie ma nawet pojęcia punktów, których współrzędne możemy odejmować w celu uzyskania wektora. Tu iloczyn skalarny jest tylko pewnym przekształceniem, które odwzorowuje pary wektorów w liczby (elementy ciała nad którym jest zbudowana przestrzeń wektorowa) i może nie mieć nic wspólnego z operacją sumowania iloczynów współrzędnych. Ponadto definiując iloczyn skalarny przechodzimy do przestrzeni unitarnych, których na jednej tylko przestrzeni wektorowej można mieć multum. Dla przestrzeni unitarnych nad ℝ możemy jeszcze od biedy jakoś zdefiniować pojęcie kąta, prostopadłości itp. Ale jeśli to nie jest ciało liczb rzeczywistych ℝ, to nie mamy nawet pojęcia kąta za wyjątkiem prostopadłości związanej z pojęciem sprzężenia.

Wracając do geometrii, gdy problem jest sformułowany w języku czystej geometrii i nic nie sugeruje związku ze zwykłą płaszczyzną, wektorami, to niektóre sprawy poważnie się komplikują. To, że geometria licealna wydaje się prosta wynika właśnie z faktu, że posłużono się tu bardzo wygodnym i bogatym w dodatkowe pojęcia i metody modelem przestrzeni kartezjańskiej, w której wszystkie twierdzenia można sprowadzać do operacji na liczbach. Ponadto cichcem gwarantuje się istnienie nieskończonej liczby punktów na prostej, co z miejsca utrąca wszelkie geometrie skończone. Nota bene również ciekawe, bo pokazujące wkraczanie geometrii na tereny kombinatoryki i teorii liczb. W czystej geometrii należy posługiwać się zdaniami wyprowadzanymi z aksjomatów, a wśród nich może nie być aksjomatu mówiącego o gęstości punktów na prostej, archimedesowości, który gwarantuje wraz ze zwykłym porządkiem liczb rzeczywistych także pewien rodzaj sztywności. Podejście aksjomatyczne również wprowadza własne artefakty.

Typowo podawane aksjomaty geometrii euklidesowej są następujące: 1) Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem; 2) Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie do prostej; 3) Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości; 4) Wszystkie kąty proste są przystające, inaczej mówiąc wszystkie są równe; 5) Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony. Jak widać używa się tu języka opisowego, odnoszącego się do sytuacji na jakiejś płaszczyźnie, a nie formalnego. Formalnie powinno się definiować własności obiektów za pomocą formuł w języku logiki, nic nie zakładając o istnieniu jakiejś ich wewnętrznej struktury lub związków a priori. Dlatego pojęcia pierwotne, takie jak punkt, prosta czy kąt, nie są definiowane formalnie w teorii geometrycznej, ale są rodzajem symboli zmiennych, których własności i wzajemne relacje opisują aksjomaty i o których mówią dalsze twierdzenia oraz definicje, wprowadzane głównie w celu skrócenia zapisu lub dowodów. Z gołych aksjomatów można potem tworzyć różne takie modele teorii geometrii Euklidesa, które wcale nie muszą być intuicyjnie przyswajalne, albo mogą dotyczyć obiektów, które na chłopski rozum nijak nie kojarzą się z geometrią. Na przykład silnie zależą od tego, jakie przyjmujemy aksjomaty niższego rzędu, czyli teorii mnogości. Gdy Euklides w swoich "Elementach" podał najpierw definicje punktu, prostej, powierzchni, różnych rodzajów trójkątów, to nie wiedział jeszcze, że czeski matematyk Petr Vopěnka wymyśli taką pokręconą teorię mnogości, w której wszystkie zbiory będą zachowywać się jak skończone. Przy okazji warto wiedzieć, że Vopěnka jest jednym z tłumaczy na czeski klasycznych dzieł Euklidesa i Al-Khwarezmi.

Zresztą nie trzeba sięgać aż tak głęboko. Już w XIX wieku Moritz Pasch pokazał, że układ aksjomatów Euklidesa jest niewystarczający, żeby udowodnić prawdziwość lub fałszywość wszystkich twierdzeń tej teorii (była niezupełna). Dodał więc jeszcze jeden aksjomat: "Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi" i to pozwoliło np. na zdefiniowanie półpłaszczyzny. Wielu matematyków na przestrzeni wieków dorzucało w ten sposób coś od siebie z różnym skutkiem. Tworzenie zupełnego zbioru aksjomatów zakończył w 1899 Dawid Hilbert. Żeby przekonać się co jest nie tak z tą aksjomatyką, trzeba wprowadzić pojęcie geometrii afinicznej i przy okazji projektywnej (rzutowej). Na skończonej płaszczyźnie afinicznej pojęcie równoległości istnieje w zwykłym sensie, zaś na płaszczyźnie projektywnej dowolne dwie proste przecinają się w jednym punkcie, a zatem proste równoległe w zwykłym sensie nie istnieją. Na projektywnej każde dwa punkty określają prostą, zaś każde dwie proste definiują punkt, czyli jest jeszcze mniej euklidesowo. Jeśli jednak uznamy, że równoległe są te, które przecinają się w nieskończoności (na prostej w nieskończoności), to wszystko wraca do normy. Afiniczność jest pewnym zubożeniem euklidesowości, gdyż do podobieństw (przesunięć, obrotów i jednokładności) dorzuca się jeszcze rozciąganie, kurczenie wzdłuż prostej. Ponieważ te ostatnie deformacje mogą być efektem rzutowań równoległych, w klasyfikacji Kleina (program erlangeński) geometria afiniczna jest pewną grupą odwzorowań pośrednią między grupą podobieństw a grupą przekształceń rzutowych.

Pewnie powstaje błędne wrażenie, że to jakieś odrębne sprawy. Ale wbrew pozorom cały czas mówimy o tej samej rodzinie geometrii w różnych jej aspektach, czyli uogólnieniach wynikających z różnego rodzaju sztuczek na aksjomatach. Geometria afiniczna to po prostu taka, w której podstawową figurą geometryczną jest (podobnie jak w geometrii euklidesowej) prosta, podstawowym pojęciem jest równoległość dwóch prostych, a podstawowy rodzaj przekształceń, to tzw. odwzorowania afiniczne. Przekształcenia te zachowują równoległość oraz przecinanie się prostych, relację leżenia punktu między dwoma innymi punktami, stosunek długości dwóch odcinków leżących na prostych równoległych. Z tego wynika, że obrazem odcinka jest odcinek i zachowywany jest środek odcinka (odpowiada tw. Talesa), trójkąt zawsze przechodzi w trójkąt, a obrazem figury wypukłej jest figura wypukła. Nie można za to porównywać odcinków leżących na prostych nierównoległych, nie da się porównywać kątów o nierównoległych ramionach, nie można zdefiniować kąta prostego, a więc nie ma pojęcia prostopadłości, a także nie można odkładać trójkąta. Jeszcze raz przypomnę, że geometria ta po prostu bada obiekty niezmiennicze ze względu na zbiór (grupę) przekształceń afinicznych. Fachowo rzecz ujmując, geometria afiniczna jest to geometria euklidesowa zubożona o pojęcie przystawania. Mimo tych wszystkich problemów spora liczba twierdzeń z geometrii euklidesowej jest tu prawdziwa. Geometria rzutowa polega na zachowywaniu obiektów przy przekształceniach rzutowych, co jeszcze bardziej zawęża liczbę możliwości i dla laika wygląda jeszcze dziwniej. Wystarczy jednak wyjrzeć za okno, popatrzeć na horyzont i przypomnieć sobie lekcje perspektywy oraz rysunku i, o ile nie spojrzymy centralnie w Słońce, to przynajmniej część rzeczy stanie się jasna. Dla przejrzystości zaniedbam tu te wszystkie techniczne detale i w pierwszym czytaniu skupię się jedynie na meritum.

Piąty postulat Euklidesa mówi, że jeżeli prosta przecina dwie inne proste, tworząc dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przecinają się po tej stronie, po której znajdują się owe kąty wewnętrzne. Czyli suma kątów musi być mniejsza niż 180 stopni, choć jeden z kątów może być np. rozwarty. Na przestrzeni wieków jego postać zmieniała się wraz ze zdobywaną wiedzą. Dziś znane jest sformułowanie piątego postulatu podane przez szkockiego matematyka Johna Playfaira "Na płaszczyźnie, dla danych prostej i punktu nie leżącego na niej, przez ten punkt może być poprowadzona co najwyżej jedna prosta równoległa do danej" (1795). Właśnie taką jego formę ustalił David Hilbert pisząc w 1899 swoje "Podstawy geometrii". Próby dowodzenia postulatu piątego z pozostałej czwórki doprowadziły do ujawnienia szeregu zdań równoważnych jemu. Posidonius już w I wieku n.e. dowiódł że istnieją trzy różne współliniowe punkty tak samo odległe od danej prostej. Profesor geometrii na Oksfordzie John Wallis, który wymyślił symbol nieskończoności, ok. 1650 stwierdził, że "istnieją dwa trójkąty podobne, ale nieprzystające". Węgier Wolfgang Bolai (ojciec Janosa) dowiódł równoważności ze zdaniem "na każdym trójkącie można opisać okrąg". Francuz Adrien-Marie Legendre, który był autorem podręcznika geometrii, dowiódł równoważności z "przez dowolny punkt wnętrza kąta wypukłego można poprowadzić prostą przecinającą oba jego ramiona" oraz z "prostopadła i pochyła do danej prostej zawsze się przecinają" (około roku 1800). Nawet tak wydawałoby się banalna rzecz, jak "istnieje trójkąt, którego suma kątów wewnętrznych równa się dwóm kątom prostym" czy wręcz "istnieje prostokąt"!

Piąty postulat już Euklidesowi wydawał się nieco podejrzany. Lecz odrzucenie go, prowadzi do iście rewolucyjnych skutków. Jest to jednocześnie odrzucenie wszystkich podanych powyżej zdań, więc można sobie łatwo wyobrazić tę katastrofę. To wprost prowadzi do rozszczepienia się płaskiej geometrii euklidesowej na dwie różne geometrie: sferyczną (eliptyczną) i hiperboliczną. Tę drugą odkryli niezależnie Bolyai, Gauss i Łobaczewski. Otrzymujemy dwa nowe zdania: 1) przez dany punkt nie przechodzi żadna prosta równoległa do danej innej prostej; 2) przez dany punkt przechodzi wiele prostych równoległych do danej. Przypomnę, że definicja równoległości w tym drugim przypadku wymagała pewnego retuszu. Jest to też ten moment, w którym zaczynamy sobie uświadamiać, że rolę prostych mogą odgrywać z powodzeniem okręgi, a wręcz, że proste i okręgi to są obiekty w jakiś tajemniczy sposób ściśle ze sobą powiązane. Na sferze bowiem prostymi są okręgi wielkie, czyli przechodzące przez punkty antypodyczne, zaś najbardziej znanym modelem płaszczyzny hiperbolicznej jest model Poincare'ego, który jest górną półpłaszczyzną, a prostymi są wszystkie połowy okręgów przecinających pod kątem prostym oś iksów (absolut, prosta w nieskończoności) oraz półproste pionowe. Dokładnie o tym samym obiekcie mówi model Poincare'ego w dysku (kole, którego brzeg jest absolutem). W pełni zrozumiemy jednak to dopiero wtedy, gdy poznamy pojęcie konforemności, czyli zachowywania kątów przy przekształceniach, a także geometrię traktującą odbicia jako podstawowy typ przekształceń w miejsce afinicznych. Odbicia (inwersje) względem okręgu nie są czymś specjalnie skomplikowanym rachunkowo, jednak prowadzą do arcyciekawych wniosków. Obrazy prostych przy tych inwersjach mogą stać się okręgami i odwrotnie. Jednocześnie wydaje się, że gdzieś tam w nieskończoności tkwi pewien punkt w jakiś niepojęty sposób traktowany tak, jak każdy inny punkt, a przynajmniej analogicznie jak środek okręgu. Coś zmusza całą płaską przestrzeń do zaginania się, a to kłóci się wyraźnie z naszym potocznym pojmowaniem nieskończoności na płaszczyźnie. Dzieje się tam coś epokowego.

Tu moja opowieść zatacza pełne koło, gdyż geometria powtórnie spotyka się z wektorami. Dotarliśmy bowiem do przedsionka analizy zespolonej, dla której podstawowym modelem jest płaska przestrzeń uzupełniona punktem w nieskończoności, przez co staje się ona w pewnym sensie równoważna ze sferą. Zresztą jednym z modeli dla tego przedstawienia jest tzw. rzut stereograficzny, w którym przekształcamy sferę jednostkową o równaniu x²+y²+z²=1 na płaszczyznę z=0, prowadząc proste z bieguna sfery N=(0,0,1), albo też odwrotnie płaszczyznę na sferę. Punkty, w których prosta ta przetnie sferę i płaszczyznę odpowiadają sobie wzajemnie. Punktowi w nieskończoności odpowiada sam biegun. Na sferze liczb zespolonych, zwanej sferą Riemanna, proste i okręgi są przedstawicielami tej samej rodziny krzywych, zachowują się dokładnie tak samo, a podstawowym pojęciem staje się konforemność, czyli zachowywanie kątów przy przekształceniach. W pewnym sensie liczby zespolone przypominają wektory, lecz ich mnożenie przypomina raczej obroty. Jest to pierwotny zamysł Sir Hamiltona.

Kwaterniony, z których narodziły się wektory, to również takie liczby zespolone stopnia drugiego. Dla liczb zespolonych bierzemy pary liczb rzeczywistych i jednostkę urojoną i, która spełnia równanie i²=−1, a następnie zapisujemy z=a+bi. Dla kwaternionów bierzemy pary liczb zespolonych i wymyślamy kolejną jednostkę (jeszcze bardziej urojoną;) j, która również spełnia j²=−1, a dalej zestawiamy q=z+wj (konstrukcja Cayleya, czasami podawana także jako odpowiednia operacja sprzężenia). W ten sposób dostajemy gratis jeszcze jedną jednostkę o analogicznych własnościach, która spełnia k=ij, albo −k=ji, a to oznacza nieprzemienność mnożenia. Kwaterniony są jeszcze bliżej związane z obrotami w przestrzeni 3-wymiarowej, co wykorzystywane jest m.in. w grafice komputerowej. Konstrukcję Cayleya, a więc wymyślanie kolejnych jednostek coraz to bardziej urojonych (upiornie podoba mi się to określenie:), można prowadzić w nieskończoność, ale praktyczne znaczenie mają jeszcze tylko dwa obiekty - oktoniony (8- wymiarowe) oraz sedeniony (16-wymiarowe). Jednocześnie powstaje druga, a nawet trzecia rodzina obiektów, gdy zamiast typowego warunku dla jakiejś jednostki urojonej j²=−1, przyjmiemy j²=+1, zwanych rozdzielonymi (split) lub z przedrostkiem ko-, albo też w jakiejś innej kolejności przeprowadzimy proces produkcji jednostek (np. tessariny = bicomplex numbers). Pierwsza linia jest najważniejsza, gdyż trzej pierwsi jej przedstawiciele, ℝ,ℂ,ℍ to tzw. algebry z dzieleniem, zaś dwaj kolejni 𝕆,𝕊 tylko w kilku aspektach są gorsi. Oczywiście w niczym to nie umniejsza roli pozostałych, jeśli chodzi o inne pokręcone zagadnienia tego rodzaju dzikich geometrii. Wszystkie mają tam jakąś rolę do odegrania.

To już nie są żarty, lecz prawdziwie przemysłowa produkcja przestrzeni, w których istnieją geometrie w różny sposób naruszające warunki euklidesowości, ale w sposób można powiedzieć bardzo regularny i dający się opisać analitycznymi regułami. Pojęcie hiperboliczności należy się tu jak psu zupa i to kilku rodzajów na raz. Najprostsze przypadki powstają oczywiście przy badaniu funkcji zespolonych i dostajemy rodzinę powierzchni Riemanna. Są to przykładowo torus, powierzchnia arcus sinusa, logarytmu, czy rozmaitych potęg liczby zespolonej z, w tym pierwiastków. Dużo bardziej skomplikowane są przestrzenie oparte o kwaterniony, czy pozostałe twory. Tak jak napisałem wyżej, zachowują się one jak twory wektoropodobne, ale jednocześnie jakże inaczej, z uwagi na nieprzemienność kwaternionów, niełączność oktonionów i dzielniki zera sedenionów. Wręcz trudno sobie wyobrazić, co tam żyje. Dopiero od tego miejsca można zacząć dostrzegać prawdziwe piękno modeli fizyki i oblicze geometrii w fizyce, teorii względności i wielkiej unifikacji. O tym napiszę już innym razem.