Otrzymane komantarze

Do wpisu: W nocy wszystkie koty sa czarne i ... prostokątne
Data	Autor
29.12 [15:14]	Dark Regis Dokładniej to jesteśmy blisko nie tylko fizyki, ale także informatyki. Proszę sprawdzić hasła "teoria typów" (też intuicjonistyczna t.t.), "rachunek lambda", "programowanie funkcyjne", "monady w programowaniu". Najważniejsze typy zmiennych używane w informatyce w językach programowania są czymś w rodzaju algebr w matematyce. Mają swoje metody, które są funkcjami do operowania nimi, translacji do innych typów, a niektóre z nich mają cechy operacji algebraicznych. Typy obiektowe, które są starannie zaprojektowane pod tym matematycznym kątem, są znacznie prostsze w użyciu, generują mniejsze nakłady pracy przy operowaniu nimi i powodują mniej błędów. Chodzi o to, że język ich opisu jest bardziej logiczny niż typy dzikie zaprojektowane na kolanie na potrzeby tylko jednego programu. Przykładem mogą być drzewa (zwykłe, binarne, czerwono-czarne, B-drzewa), listy, kolejki, stosy, tablice itp. Wszystkie one mają tę własność, że można budować je rekurencyjnie z mniejszych elementów tego samego typu, co ułatwia tworzenie algorytmów. Jest jednak kolosalna różnica pomiędzy informatyką a matematyką w ujęciu klasycznym. Matematyka ma problem z używaniem pojęcia program i nie umie sprawdzać warunków zatrzymania się takiego programu (problem Collatza, czyli funkcji 3x+1). Do tego po prostu potrzebna jest logika modalna, a dokładniej jakiś rodzaj logiki temporalnej uwzględniającej czas. Kiedyś do tego tematu dojdę, a na razie pobudzę Pańską ciekawość stwierdzeniem, że typy danych w informatyce można różniczkować i rozwijać je w szeregi potęgowe w podobny sposób, jak robi się to z funkcjami w analizie matematycznej. Już tu mówiłem, że jesteśmy na progu gigantycznej rewolucji w nauce, w wyniku której powstanie nowa matematyka oparta na języku teorii kategorii, która pochłonie współczesną fizykę z teorią strun i mechaniką kwantową, na pewno informatykę, a być może także nadgryzie genetykę. Prawdziwy potwór nam się rodzi :))))
29.12 [13:46]	Każdy kot może być prostokątny a nawet okrągły bo wtedy jest dobry gdy go dobrze rozklepiemy dostosowując do kształtu blachy do pieczenie jaka dysponujemy.
29.12 [13:28]	Bez myślenia przestrzennego nie da rady pojąć zasad geometrii i trygonometrii nie tylko bo bez myślenia przestrzennego nie można zaprojektować ani wielkich ani małych budowli czy maszyn,pozbawieni takiego myślenia nie opracują strategicznych planów itp. Mam co innego do przemyślenia i racjonalnego rozwiązania-z komina na dach wychodzi na biało ubrany człowiek ,bez śladu sadzy ,za nim wynurza się kolejny też ubrany na biało ale cały usmarowany sadzą...!??????????
29.12 [12:19]	Dark Regis Jeszcze pamiętam Pański wpis. Mówił Pan tam o zadaniu, więc prawdopodobnie o tym "Może nawet ktoś zechce zostać odkrywcą i sprawdzi, czy jakieś analogiczne twierdzenie nie zachodzi, gdy weźmiemy trzy odcinki prostopadłe do boków, które przecinają się w jednym punkcie?" Odpowiedź jest zaskakująco prosta, ale pokazuje w miniaturze całą kuchnię matematycznego rozumowania. Opisałem twierdzenie Cevy, które stosuje się do trzech prostych przechodzących przez wierzchołki i przecinających boki lub ich przedłużenia. Mamy też twierdzenie Menelaosa, które nic nie mówi o wierzchołkach, a po prostu opisuje prostą, która dzieli na dwie części boki lub ich przedłużenia. Ta obserwacja właśnie zrodziła moje pytanie. Proszę zauważyć, że gdy w trójkącie a,b,c weźmiemy dowolne trzy proste, które przecinają boki (nie mówmy na razie o przecinaniu przedłużeń boków) i wszystkie przecinają się w jednym punkcie, ale nie koniecznie przechodzą przez wierzchołki, to możemy zbudować mały trójkąt w środku, którego wierzchołkami będą te punkty przecięcia. Dla tego małego trójkąta już będzie zachodzić twierdzenie Cevy. Możemy więc oczekiwać, że jeśli jakikolwiek związek zachodził pomiędzy podziałami boków lub kątami przecięcia w większym trójkącie, to przeniesie się on do mniejszego trójkąta jako dodatkowy warunek obok równania Cevy. Na przykład można zadać pytanie o przecinanie się pod kątami prostymi, o połowienie boku, czy wreszcie o proste, które przecinają pary boków zgodnie z jakąś regułą wyrażaną stosunkiem długości odcinków i/lub kątów. Takich nieopisanych uogólnień twierdzeń jest w trygonometrii setki i tylko czasami trafią na olimpiady jako zadania z twardym orzeszkiem.
29.12 [12:05]	Dark Regis Tak na chłopski rozum teorie geometryczne idą jeszcze dalej niż to, co napisałem powyżej, bo wiążą za pomocą symboli operacji (a potem też relacji), elementy różnych klas. Na przykład punkty z wektorami, z prostymi, płaszczyznami, trójkątami itp. co dusza zapragnie. Po prostu język logiczny, w który zapisuje się spełniane w nich formuły jest jeszcze bogatszy. No ale niewielu ludzi ma w życiu okazje zetknąć się z tym Kosmosem ;) PS: Jest taka strona w Internecie, gdzie jest to dość przystępnie opowiedziane z różnych punktów widzenia w teorii kategorii: 1) ncatlab.org 2) ncatlab.org
29.12 [11:54]	Dark Regis No to proszę się dobrze przypiąć do fotela, bo w następnym tygodniu będziemy latać w hiperprzestrzeni. Przygotowuję właśnie nowy tekst. :))))
29.12 [11:48]	Dark Regis Właściwie nie tyle sama geometria, co specjalna zdolność widzenia matematycznej rzeczywistości poprzez teorie (ufundowane na logice) i ich różnorakie modele. Jeśli pamięta Pan jeszcze nasze wcześniejsze rozmowy, to kilkakrotnie używałem tam pojęcia teoria geometryczna (albo raczej teoria typu geometrycznego, geometryczny morfizm), której szczególnym przypadkiem jest teoria algebraiczna. Obie te klasy teorii odróżnia sposób budowania formuł. Teoria algebraiczna, albo w skrócie algebra, mówi o jakimś zbiorze elementów reprezentowanym przez zmienne, które są powiązane równościami. Równości te budujemy z dwóch termów, czyli zawierają dodatkowo symbole operacji algebraicznych i znak równości pomiędzy nimi. Takie wyróżnienie jest nieprzypadkowe, gdyż właśnie odwołanie się do języka logiki wprowadza pewien porządek do tej teorii. Dowodzi się na przykład, że każda klasa algebr zdefiniowana za pomocą równości jest jednocześnie klasą zamkniętą ze względu na branie obrazów homomorficznych, podalgebr i produktów, czyli w skrócie HSP. To jak widać już koresponduje z teorią kategorii. W jednym z moich tekstów opisywałem przypadek uogólniania w teorii grup, które to grupy już same stanowią klasę zdefiniowaną równościowo za pomocą swoich aksjomatów (łączność, odwrotność i jedynka), a podklasa grup abelowych dodatkowo za pomocą przemienności działania. Pokazywałem właśnie ciąg uogólnień klasy grup abelowych. Zaczynamy od grup nilpotentnych, przez rozwiązalne, dla których przechodzimy od definicji równościowych do definicji za pomocą własności ciągów ich podgrup (ciągów normalnych i subnormalnych o wyrazach abelowych), bo jest to właśnie uogólnienie rozwiązalności czyli także przemienności. Tak właśnie pojawiają się klasy Kurosza-Czernikowa (np. RN = grupa posiada rozwiązalną rodzinę subnormalną; RI = posiada rozwiązalną rodzinę normalną; Z = posiada rodzinę centralną; itp.). Dalej przechodzimy do własności lokalnych, czyli zachodzących dla dowolnych jej skończenie generowanych podgrup. Mówimy tu o pokryciu lokalnym, które znów koresponduje z pojęciami pojawiającymi się w teorii kategorii, a konkretnie toposów i snopów. No i wreszcie mamy twierdzenia Malcewa, które mówi, że dla pewnych klas Kurosza-Czernikowa zachodzi twierdzenie lokalne. No i właśnie w tym miejscu pojawia się kompletne zaskoczenie, bo w dowodzie swojego twierdzenia Malcew korzysta tylko z własności logicznych formuł opisujących te przypadki. Kolejne twierdzenie Malcewa mówi: jeśli formuła quasi-uniwersalna Φ jest prawdziwa na podsystemach A(i) lokalnie pokrywających system algebraiczny A, to Φ jest także prawdziwa na A. Dalej możemy obok symboli funkcji f:AxAxAx...xA->A, czyli symboli operacji algebraicznych, rozpatrywać symbole relacji (czyli podzbiorów iloczynów kartezjańskich AxAxAx...xA), a wtedy mówimy o algebrach uogólnionych, systemach relacyjnych, co kojarzy nam się od razu z bazami danych, SQL i bardzo słusznie.
29.12 [10:59]	Admin Naszeblogi.pl To nie bug :D
29.12 [10:55]	smieciu A jeśli geometria jest fundamentem matematyki to wydaje się że jesteśmy także bardzo blisko fizyki. Choć tam jeszcze jest czas. A z innej beczki to jest mały bug na stronie gdyż wystarczy zmodyfikować swój wpis by podskoczyć z nim wyżej na głównej stronie i przez to dłużej wisieć.
29.12 [10:48]	smieciu Jakby co to wykasowałem swój komentarz bo muszę przemyśleć parę rzeczy :P Fajnie w każdym razie że pan pchnął tą sprawę bo od dawna miałem ochotę zastanowić się nad paroma rzeczami i teraz mam okazję się zmobilizować.
29.12 [10:19]	Admin Naszeblogi.pl Z wyobraźnią matematyczną u mnie już kiepsko ale zauważyłem, że geometria jest fundamentem matematyki czego wcześniej zupełnie nie widziałem.
29.12 [01:08]	Dark Regis Tam po prostu zniknął nawias. Chyba miałem ochotę to wykasować i w efekcie zgubiłem. Dziękuje za wskazanie :) Uwaga 2: liniowość tak właśnie się definiuje. Z tym, że mogłem użyć neutralnych symboli, żeby nie mieszały się z bokami trójkąta. Teraz poprawiłem. No to nie dokładnie jest 1/8 koła. To jest ta "mniejsza połowa" ćwiartki. Dziś już jest trochę późno, ale jutro spróbuję trochę więcej napisać o sposobie wykorzystania wektorów trygonometrii. Każdy kontur zamknięty złożony z wektorów, w którym strzałki idą w jedną stronę np. zgodnie z ruchem wskazówek zegara, daje w sumie wektor zerowy. Właśnie po to są te różne metody sprawdzania poprawności własnego myślenia na prostych przykładach, żeby nie trzeba było się długo głowić nad każdym przypadkiem. Na przykład możemy wziąć pięć punktów A(1,0), B(2,1), C(0,1), D(-1,-1), E(-1,-3) i utworzyć wektory AB=[2-1,1-0]=[1,1], BC=[0-2,1-1]=[-2,0], CD=[-1-0,-1-1]=[-1,-2], DE=[-1-(-1),-3-(-1)]=[0,-2], EA=[1-(-1),0-(-3)]=[2,3]. W podanym kierunku A->B->C->D->E->A zamkną się one w taki wykoślawiony pięciokąt. Jak teraz je dodamy AB+BC+CD+DE+EA=[1,1]+[-2,0]+[-1,-2]+[0,-2]+[2,3]=[1-2-1+0+2,1+0-2-2+3]=[0,0], to jak widać otrzymamy wektor zerowy. Tak samo będzie to działać w przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów - np. kilka 3-wymiarowych wektorów [x(i), y(i), z(i)], powiedzmy cztery dla uproszczenia i=1,2,3,4 gdy stworzą zamknięty obwód. Weźmy jakieś punkty A(1,1,0), B(2,1,3), C(0,-1,2), D(-1,-2,2), utwórzmy wektory AB=[2-1, 1-1,3-0]=[1,0,3], BC=[0-2,-1-1,2-3]=[-2,-2,-1], CD=[-1-0,-2-(-1),2-2]=[-1,-1,0], DA=[1-(-1),1-(-2),0-2]=[2,3,-2], zsumujmy w kółko AB+BC+CD+DA=[1-2-1+2,0-2-1+3,3-1+0-2]=[0,0,0], czyli znów wektor zerowy. I nie ma tu znaczenia fakt, jak bardzo są one powyginane w różne kierunki od płaszczyzny, tylko czy tworzą zamknięty kontur. Jeśli dwa wektory V i U są równoległe, to można je zapisać w tej samej postaci V=[x,y,z] i U=s[x,y,z], gdzie s jest jakąś liczbą. Wreszcie można wygodnie używać wektorów do zapisywania równań prostych. Jeśli prosta przechodzi przez punkt (x0,y0) i jest równoległa do wektora [u,v], to wszystkie punkty prostej można "wskazać" tym wektorem skracając go, wydłużając i zmieniając zwrot. Chociaż trzeba uważać, bo operacja dodawania wektora do punktu może być zdefiniowana w tzw. przestrzeni afinicznej. Jest to prawie to samo co zwykła przestrzeń, ale właśnie można dodawać wektory do punktów co interpretuje się jako przesunięcie punktu wzdłuż tego wektora o jego długość. Prosta w tej interpretacji, to jest zbiór tych punktów płaszczyzny, która da się uzyskać przesuwając dany punkt początkowy (x0,y0) o dowolnie przeskalowany dany wektor [u,v]. Równanie to zapisuje się tak: (x,y)=(x0,y0)+s[u,v], gdzie s jest dowolną liczbą rzeczywistą. Dalej możemy modyfikować to równanie eliminując wektor i zostawiając punkty: (x,y)=(x0+su,y0+sv), a to daje dwa równania z parametrem x=x0+su, y=y0+sv, skąd eliminujemy s i mamy y=y0+v/u(x-x0).
28.12 [23:54]	smieciu x
28.12 [19:23]	Dark Regis Jako doskonałe uzupełnienie mojego tekstu (w warstwie krytycznej) polecam świetny wykład doktora Jana Przybyła: youtube.com

Do wpisu: Czy przedawkowanie trygonometrii szkodzi zdrowiu?
Data	Autor
22.12 [21:47]	Ptr Wspomnienie takiego zadania , o dziwo, może wzbudzić nostalgiczne uczucie. We mnie wzbudziło. Aby nie zapomnieć o żadnym rozwiązaniu muszę też uzupelnić : w zadaniu o płaszczyznach są 4 rozwiązania, 4 płaszczyzny równo odległe od 4. punktów. Podałem ideę jak je konstruować.
22.12 [18:52]	Dark Regis Ja to zawsze powtarzam, że pracujemy tylko na modelach i nie należy ich mylić z rzeczywistością, której zwyczajnie nie znamy. Jedyne co nam wychodzi, to echolokacja. Trącamy pewne struny, wsłuchujemy się w dźwięk i albo okazuje się, że jesteśmy blisko jakiejś prawdy, bo następuje rezonans, albo znów spudłowaliśmy i drażniący dźwięk jakoś nie trzyma się kupy. Ostatnie dwustulecie dowiodło, że rzeczywiście echolokacja jakimś dziwnym zbiegiem okoliczności w tym świecie działa i nawet poznajemy więcej, gdy zamkniemy oczy.
22.12 [18:42]	Dark Regis Ja akurat lubię poezję. Kiedy tworzyłem pierwszą moją stronę, to zawsze była ona obecna dla stworzenia odpowiedniego nastroju, podkreślenia mojego stosunku do cytowanej treści, no i dla przyjemności. Również życzę szczęśliwych i spokojnych Świąt. W końcu spotkałem jeszcze dziwnego człowieka, Który po swych rodzicach nie nosił żałoby, Nie rozpaczał przy ludziach, nie chodził na groby; Lecz czasem tylko jego zapadła powieka Przyjmowała do siebie promyczek wesela, A ten tak blado, drżąco spod rzęsów wystrzela, Jakby się od księżyca nauczył mrugania. Ten człowiek od pierwszego z światem przywitania Był bardzo nieszczęśliwy, ale się nie zrażał, Patrzył w niebo i, pełniąc swoje obowiązki, Na ziemię mało zważał. On nawet w drobnych rzeczach był prześladowany, Jakby go los trefnisiem dla siebie uczynił; On często cierpiał potwarz, choć nic nie zawinił; On, pragnąc zerwać różę, rwał ostre gałązki... Ten więc człowiek, sierota, od nieszczęść ścigany, Patrząc w górę, ze świętym uśmiechem proroctwa Mówił do mnie, że nie ma bynajmniej sieroctwa! Ja zaś jakoś niechcący ku niebu spojrzałem, A niebo było gwiaździste; W gwiazdach więc tajemnicę tych słów wyczytałem, Bo one tam wyraźne były, oczywiste; Potem, gdy dusza swego skosztowała chleba, Nie mogłem się już więcej oderwać od nieba, Które mnie wciąż ciągnęło silnym, wonnym tchnieniem.
22.12 [18:34]	Dark Regis Najgorsze jest to, że po nadaniu tych tysięcy tytułów naukowych na krechę, taki Gowin liczy, że wykształcą oni kogoś mądrzejszego od siebie. Ciekawe skąd ma tyle optymizmu? ;)
22.12 [18:32]	Dark Regis Pewnie sporo by się jeszcze znalazło dobrych nauczycieli matematyki (nie mylić z zawodowcami matematykami i wykładowcami na uczelniach). Problem w tym, że to pomysły MEN wykrzywiają tych ludzi i sprowadzają na manowce. O ile widzę potrzebę tworzenia programów nauczania dla takich przedmiotów jak historia albo polski, to w przypadku matematyki powinno być raczej od określonego poziomu minimalnego wzwyż. Określanie górnych pułapów nie ma po prostu sensu, bo i tak czas to ogranicza. Niech każdy nauczy uczniów przynajmniej tego minimum,a do tego swojej rybki i będziemy w domu. Ja miałem nauczyciela, który skończył metody numeryczne. U niego właśnie nauczyłem się tworzenia wzorów i rekurencji dla rozwiązania rozmaitych zadań, choć nie było wtedy jeszcze żadnych komputerów w szkole. Liczyliśmy to na suwaku logarytmicznym. Mam do niego masę zastrzeżeń, ale to co udało mu się zrobić przez 4 lata, to dziś nie wyrabia stu belfrów. Między innymi poznałem wyznaczniki dowolnego stopnia, odwracanie macierzy, różniczkowanie, numeryczne metody znajdowania miejsc zerowych, całkę Riemanna, ułamki łańcuchowe, system szesnastkowy i inne, funkcje logiczne za pomocą kart perforowanych na drucie do dziergania, i masę innych ciekawostek, nawet liczyłem pierwiastki w tych innych systemach liczbowych na lekcji. A dziś?
22.12 [18:20]	Dark Regis W zasadzie można przyjąć, że to są dwa rodzaje rozwiązań, bo w punkcie drugim rozbicie na dwie rodziny mówi tylko tyle, że możemy zjechać po zboczu cosinusa w prawo oraz w lewo tam, gdzie ma on wartość -1/2. jak się narysuje cosinus i linię prostą y=-1/2, to widać, że jednym wzorem trochę trudno jest wszystkie punkty objąć. Tu mam jeszcze takie dwa zadanka ze starej książki mojego ojca z 1964 roku, "Konkursnye zadachi po matematike" N. S. Zalogin (wtedy jeszcze były po rusku): 868. Uprościć wyrażenie: sin²α + sin²β + 2sinα·sinβ·cos(α + β) 901. Udowodnić: cos(α − β) − sin(α + β) = (cosα − sinα)(cosβ − sinβ) 1009. Wykluczyć α z układu równań: cos(β + α) = m, cos(β − α) = n. Kiedyś to się właśnie tak robiło - trzaskało się trzysta takich zadanek i człowiek wiedział na czym stoi ;)
22.12 [14:39]	Ptr Gdzieś już mogłem się zetknąć z niegdyś z tymi zadaniami w realu , ale nie na google. Kolega robił cos3x+cos5x+cos7x i znależł dwa rodzaje rozwiązań. Ale dla zaawansowanych były trzy jak się okazuje.
21.12 [19:48]	Ptr Everett robi karierę z niczego i Elon Musk coś tam powiedział i już wielkie halo. Wystarczy sobie uświadomić czym jest symulacja.Mam na myśli to ,że jest to rozszerzenie zbioru praw fizyki do różnych zdarzeń. To znaczy , gdy nie możemy zrozumieć i sformułować prawa fizyki, sadzimy ,że to "zaprogramowana" rzeczywistość i jest taka dlatego ,że takie są zmieniające się parametry symulacji. Gdyby to była symulacja szybko odkrylibyśmy niespójności w jej działaniu- brak reguł. Czyli nie jestem zwolennikiem tej hipotezy. Natomiast warto to rzeczywiście dokladnie sformułować o udowodnić logicznie , matematycznie jej nieadekwatność.
21.12 [18:58]	Dark Regis Może odpowiem wybiórczo z braku miejsca. Jakby sobie nie wyobrażać zagięcia czasoprzestrzeni pod wpływem materii, to na pewno trzeba zrewidować jedno wyobrażenie - owej głębokiej studni, dołka w miejscu planety lub gwiazdy. Nie koresponduje ona bowiem z faktem, że grawitacja w środku kulistego obiektu o w miarę jednorodnym rozkładzie mas w każdym kierunku jest równa zero. Jeśli jest tam w tym dołku jakieś dno, to nie powstaje w wyniku działania grawitacji, lecz innego czynnika, np. masy. Możemy sobie jednak wyobrażać obiekty wydrążone w środku, na przykład hipotetyczne miasta przyszłości na orbitach innych gwiazd, dla których również grawitacja w środku będzie zerowa. Takie obiekty mogłyby być znacząco większe niż Ziemia, nawet wielkości Jowisza, gdyż nie groziłaby im duża grawitacja szkodząca życiu, a także zapadanie się materii pod wpływem grawitacji. Nie wiem czy znalazłoby się tyle surowców i siły roboczej, żeby w przeciągu czasu, w którym nie grozi rozpadnięcie lub zapadnięcie się tej konstrukcji, usztywnić ją i zabezpieczyć, ale to już rybka naszych dalekich krewnych ;) W każdym razie z tą grawitacją w środkach obiektów kosmicznych trzeba coś zrobić. Podobnie sprawa będzie się miała gdzieś w środkach np. gromad kulistych czy tym podobnych. Każdy obiekt będzie oczywiście przyciągał tak jak dotąd, lecz mogą znaleźć się miejsca, gdzie nastąpią anomalie grawitacyjne z powodu oddziaływania całej masy gromady. Oczywiście trudno sobie wyobrazić jaka liczba odległych obiektów musiałaby zrównoważyć siłę przyciągania bliskiego obiektu, ale jest po prostu taka możliwość. Nie wykluczam, że i na Ziemi znajdą się miejsca, gdzie cała masa Drogi Mlecznej wywiera jakiś wpływ na lokalną grawitację, tworząc anomalie. Jeśli chodzi o zakrzywienia przestrzeni i wleczenie czasoprzestrzeni za sobą w wyniku rotacji planety, to jest to fakt dowiedziony, gdyż w którymś momencie posypały się nam wczesne GPS-y i ludzie wjeżdżali w bagna i na drzewa bez pewnej poprawki relatywistycznej. Te zakrzywienia są wielkie tylko na prezentacjach medialnych dla lemingów, w rzeczywistości obiekty wielkości Ziemi zmieniają geometrię dosłownie o milimetry. Sprawa laserów jest rozwojowa, gdyż w projekcie europejskim, bodaj niemieckim użyto sześciu laserów, ale nie udało się ustrojstwa wykalibrować. Ktoś podał podpowiedź, że może chodzić o zasadnicza trudność operowania czasoprzestrzenią na długościach rzędów długości Plancka. Tak, jakby jej już tam nie było. Nie wiem jaki jest obecnie stan tego projektu, ale spróbuję to zbadać. Co do pytania, czy żyjemy wobec tego w Matrixie, są już nowe dane z tego roku: businessinsider.com.pl
21.12 [18:19]	Dark Regis Rozwiązanie jest trochę bardziej skomplikowane. Ponad trzydzieści lat temu rozwiązałem to tak: 0 = cos3x+cos5x+cos7x = cos(5x−2x)+cos5x+cos(5x+2x) = cos5x·cos2x+sin5x·sin2x + cos5x + cos5x·cos2x−sin5x·sin2x = 2cos5x·cos2x + cos5x. Czyli cos5x·(2cos2x+1)=0, które zachodzi w dwóch przypadkach (spójnik logiczny "lub"): 1) cos5x=0, stąd 5x=π/2 + kπ, k∈ℤ, x=π(1+2k)/10 2) 2cos2x+1=0, cos2x=−1/2, ale mamy 2 przypadki 2x=4/3π + 2kπ oraz 2x=2/3π + 2kπ. Czyli: x=2/3π+kπ lub x=1/3π+kπ, k∈ℤ. Są zatem trzy rodziny rozwiązań. Skorzystałem ze wzoru: cos(α ± β) = cosα·cosβ ± sinα·sinβ. Dowód: Tworzymy trójkąt, którego jeden z kątów jest równy α+β (ramiona a i b) i którego wysokość h spuszczona z tego wierzchołka na przeciwległy bok c dzieli ten kąt właśnie w tym stosunku na kąt α oraz β. Mamy cosα=h/a, cosβ=h/b, sinα=x/a, sinβ=(c−x)/b, gdzie x i c−x są długościami odcinków na które wysokość dzieli bok c. Z twierdzenia cosinusów dla kąta α+β (uogólnienie tw. Pitagorasa na dowolne trójkąty) mamy c²=a²+b²−2ab·cos(α+β). Potem np. x wraz z h eliminujemy z tw. Pitagorasa dla mniejszych trójkątów: x²+h²=a² oraz (x−c)²+h²=b², a dodatkowo rozkładamy c we wzorze z tw. cosinusów na x i resztę c−x, żeby skorzystać z policzonych sinusów. Potem dokonujemy serii podstawień, by wyeliminować ze wzoru wszystkie długości boków i korzystamy przy tym m.in. z tw. sinusów..... Dowód jest dość długi i można go wygooglować. Ale warto też zrobić do końca samemu.
21.12 [17:25]	Interesujący tekst :) Mnie, od kiedy przeczytałem wiersz: malowane-wierszem.blogspot.jp; geometria zawsze kojarzy się z poezją. Dobrych, spokojnych Świąt dla Pana Waszeci.

Primary tabs

Otrzymane komantarze