Otrzymane komantarze

Do wpisu: Rozum i wola
Data Autor
Roz Sądek
@Imć Waszeć "Wy się teraz niczym nie różnicie od siwulca Dugina, Miedwiediewa machającego krzyżem i Putina w roli proroka. Ja wiem dlaczego tak się dzieje..."  ========= Ja się Pana pytam poważnie o wartość Waszej nauki, a Pan  mi wyskakuje z Putinem. I doskonale Pan wie, że nie chodzi mi o Wasze wynalazki czy patenty ale o SENS tych teorii i niczemu nie służących obliczeń. A czołgi i papiaki kupujemy w Korei, bo oni mają praktykę a my teorie.
Dark Regis
@u2 Spokojnie. Ja tą sektę napotykam na swej drodze co i rusz, dlatego zanim zobaczę to czuję ich nosem. Kiedyś tu był Andrzej herbu dwa koty, wcześniej nie pamiętam nicku ale też straszył Piekłem 24/7. Potem na krótko pojawiła się jakaś białogłowa cytująca z Biblii, potem Pani Anna, wreszcie to. Z inżynierią nie ma to nic wspólnego. Chyba, że z inżynierią społeczną.
u2
nic trwałego nie stworzyliście nawet jako najwybitniejsi z wybitnych inżynierów świata. Bez przesady, rzeczywiście za wiele nie stworzyłem w swojej dotychczasowej drodze inżynierskiej, ale też za dużo nie spieprzyłem. A zgodnie prawem Murphy`ego inżynier usuwa drobne usterki na drodze do wielkiej katastrofy :-) PS. Poza tym skrót mgr inż. deszyfruje się może guzić robić i nieźle żarobić :-)
Dark Regis
Widziałem ten film wielokrotnie, dlatego trudno mi jest "odnosić wciąż pierwsze wrażenie". Na szczęście Wasze paranoiczne "humanizmy" sklecone ze sprzeczności będą trwały najdłużej pokolenie (tak jak w Iranie), bo potem zabraknie wam wiedzy i kasy na propagowanie. Właśnie dlatego kupujemy reaktory jądrowe, czołgi i samoloty z Korei (zapomniałem jeszcze o samochodach Daewo), a nie odwrotnie. Skansen będzie utrzymywany tak długo jak długo będzie potrzebny w roli kolca w du... Rosji. I proszę nie liczyć na to, że mi żal Rosji, tylko że Wy się teraz niczym nie różnicie od siwulca Dugina, Miedwiediewa machającego krzyżem i Putina w roli proroka. Ja wiem dlaczego tak się dzieje. Przespaliście swój czas, spieprzyliście młodzież, która uciekła myć gary, nic trwałego nie stworzyliście nawet jako najwybitniejsi z wybitnych inżynierów świata (jak nie reaktor w Żarnowcu, to tunel wzdłuż Wisły). Teraz zależy Wam tylko na tym, żeby wszyscy wokół wpadli równo po pachy w GWno. Tak samo myślały komuchy przy sprzedawaniu nas Czwartej Rzeszy. Zgadłem? No to dzióbek: youtube.com
Roz Sądek
@Imć Waszeć a co Pan powie o pierwszym filmiku? Z punktu widzenia ziemskiego naukowca. Pytam, bo parę godzin temu wyliczał Pan liczby z niebotyczną ilością zer. I to po przecinku. Jak wielkim jesteśmy (wszyscy siedzący na kruszynce Ziemi) zerem, i ile funtów kłaków są warte te Wasze teorionauki?  
Czesław2
No cóż, wierzącemu człowiekowi chyba nie trzeba mówić, gdzie jest Bóg. ten niby problem został sprytnie wykorzystany przez komunistów , którym udało wmówić ludziom, że Boga można utożsamić z kapłanami. Że Kościół należy do hierarchów. Nic bardziej mylnego. Kościół ten przez małe i duże K należy do mnie ( też) i do Boga. Właśnie tam z Żoną się wybieramy na Mszę, a po mszy na mini koncert organowy, który zawsze w niedzielę po nabożeństwie gra miły chłopak po Konserwatorium Wiedeńskim. Może będzie Bach, może Dietrich Buxtehude może inny Mistrz.
Dark Regis
A co ma wspólnego relatywizm w fizyce z relatywizmem w ludzkim postępowaniu? Poza zbieżnością słów nie dostrzegam niczego innego. To tak jakby chrześcijaństwo porównywać do sado-maso ze względu na podobny zestaw akcesoriów i to tylko w niektórych kulturach.
sake2020
Demon intelektualizmu a demon wynaturzonego intelektualizmu.Czy o tym polu bitwy Pani pisze? Jest ktoś kto potrafi odpowiedzieć na pytanie ,,A gdzie w tym wszystkim Bóg'' Nie trzeba daleko szukać,to wieloletni bloger na NB ostatnio rzadko piszący -tsole.Często siegam do jego ,,Rozmów z Cieniem'' czy cyklu Gwiazda Zaranna''.Jego teksty zachęcają do rozmów z samym sobą o Bogu,aksjologii relatywistycznej  czy fizyki relatywistycznej..To pięknie napisane małe arcydziełka miłości do Boga intelektualisty filozofa,astronoma ,pasjonata nauk ścisłych ale też literatury i muzyki.
Edeldreda z Ely
Pierwsza myśl: brakiem nadziei...
Dark Regis
No i czym się ten film różni od tego czego doświadczają cywile pod ruskim mirem? Albo pod komunistycznym lub lyberalno-wymienno-narządowym, whatever.
Edeldreda z Ely
Dziękuję Panu Inżynierowi za te filmiki. W temacie zobrazowana naszej znikomości posługuję się czasem opisem Jastrowa i Thompsona. Analogię tę przytacza w swojej książce Francis Crick: "Niech Słońce ma wielkość pomarańczy. W tej skali Ziemia to ziarnko piasku krążące dookoła Słońca po orbicie w odległości dziesięciu metrów; Jowisz, jedenaście razy większy od Ziemi, to pestka wiśni krążącą w odległości siedemdziesięciu metrów, czyli od jednej przecznicy do drugiej, od Słońca. Galaktyka ma w tej skali miliard pomarańczy, z których każda odległa jest od swych sąsiadek średnio o półtora tysiąca kilometrów".
Roz Sądek
Tu gdzieś jest nasze Ego  youtu.be a taki możliwy finał youtu.be
Do wpisu: Dobra robota młodej artystki
Data Autor
JzL
Temu artyście nikt do pięt nie dorasta Amen youtu.be
Edeldreda z Ely
Na te słowa trzeba patrzeć przez pryzmat wychowania, a wychowywany był przez purytańską babcię - to Go bardzo uwierało, a myślę, że wiele lat nie zdawał sobie sprawy z dziedzictwa, które z tzw. dobrodziejstwem inwentarza od babci otrzymał... Na przykład - uczciwość i prawdomówność oraz alergię na fałsz. 
Dark Regis
Russell wcale nie był pokorny: "Why I Am Not A Christian," he wrote, "Religion is based . . . primarily and mainly upon fear . . . fear of the mysterious, fear of defeat, fear of death. Fear is the parent of cruelty, and therefore, it is no wonder if cruelty and religion have gone hand in hand."
Dark Regis
O ich prawdziwości decyduje nie jakaś specjalna własność teorii grup, lecz specjalna postać tych formuł. Nazywa się je formułami quasiuniwersalnymi. Dowód jest m.in. w książce "Podstawy teorii grup", Kargapołow, Mierzlakow. Jak więc Pani widzi od stosowanej logiki zależy strasznie wiele w matematyce. Opowiem jeszcze na koniec pewną anegdotę. Kiedyś zdawałem egzamin z logiki u Pawła Zbierskiego. Wszedłem do pokoju, a tam profesor siedział nad książka i poruszał ustami. Tak, każdy musi się uczyć i powtarzać do końca życia, żeby coś umieć, a nie tylko świecić innym w oczy papierkiem jak jakiś sowiet. Zauważył mnie i zaczęliśmy rozmowę. Dał mi jakieś zadanko i zaczęły się schody. Za nic nie mogłem ruszyć do przodu. Wtedy on zaczął mi pomagać i stanęło na tym, że pokazałem mu książkę z której się uczyłem. Był to "Klasyczny rachunek kwantyfikatorów" Pogorzelskiego. Ostrzegam, ta książka zabija wzrokiem jak bazyliszek ;) Wtedy Zbierski nagle złapał kontekst. "Aha, to pan się uczył z podręcznika, gdzie zakazane już używanie nieprzeliczalnych liczb symboli logicznych", a jego zadania właśnie się o to opierały "dorzuć nieprzeliczalnie wiele stałych indywiduowych i bla bla..." :D Teraz już Pani rozumie, że nie ma zgodności co do ostatecznej formy logiki matematycznej nawet na gruncie polskich uniwersytetów? Potem czytałem jeszcze "Wnioskowanie w logikach nieklasycznych" i jestem absolutnie pewien tego o czym mówię. Z okazji zajmowania się później sztuczna inteligencją trafił mnie jeszcze jeden piorun: zdania (teorie)) w logice binarnej zawierają tylko tyle informacji ile zawierają, czyli tylko własne konsekwencje i dlatego nie nadaje się ona na logikę dla systemów ekstrakcji wiedzy i przetwarzania informacji, dla sterowania autonomicznymi robotami, dronami itp. Są do tego stworzone specjalne logiki tak samo jak w informatyce do badania poprawności programów. Nie ma jednej logiki w tym sensie, w jakim są uczeni studenci w Polsce. Ten kto tak uczy po prostu się na tym nie zna i tyle. Naprawdę polecam przeczytać te "Logiki nieklasyczne", bo to doskonale odkłamuje i demitologizuje rzeczywistość.
Dark Regis
Zna Pani paradoks Rossa i Littlewooda? Inaczej "The Balls in the Urn Paradox". jamesrmeyer.com Ja Pani pokażą podobny paradoks ale już bez stwarzających problemy logiczne "super"operacji. Wyobraźmy sobie nieskończony szereg z kul ponumerowanych od 1 do nieograniczenie dużej liczby, bo jak napiszę "nieskończoności", to ktoś się zaraz przyczepi, że kuli z numerem "nieskończoność" nie ma. Mamy więc ciąg w kroku 0: 1,2,3,4,5... Teraz w każdym następnym kroku wykonujemy następującą operację: Krok N: jeśli liczba daje resztę K z dzielenia przez N, to ustawiamy ją w szeregu K-tym, czyli w każdym kroku zwiększamy liczbę szeregów kul i w drugim mamy: 0,2,4,6,8... 1,3,5,7,9... Niech Pani zauważy, że po nieskończonej liczbie kroków (przejściu granicznym) będziemy mieli każdą kulę z numerem na pierwszym miejscu któregoś z szeregów. No to co będzie stało na kolejnych miejscach tej nieskończonej liczby szeregów? No i tu część matematyków odpowie: nic, bo wykorzystaliśmy już wszystkie liczby naturalne. Błąd! Zróbmy teraz taką samą akcję bez numerowania kul. Czyli mamy ciąg kul i tak jak w Hotelu Hilberta w pierwszym kroku wybieramy co drugą i wstawiamy do drugiego. W drugim kroku mamy więcej pracy, bo z dwóch szeregów musimy wybrać kule z odpowiednich pozycji, ale tez przerzucić kula pomiędzy szeregami 1 i 2, żeby wynik operacji był identyczny z wynikiem, który otrzymamy tworząc z jednego szeregu od razu trzy (biorąc co drugą i trzecią do szeregów niżej). To się łatwo da zapisać za pomocą funkcji i to pomimo tego, że kule nie są ponumerowane. Znacznie łatwiej jest napisać taką funkcję, gdy będziemy wykonywać tylko kroki podwajające liczbę naszych szeregów. Ale to da ten sam wynik. Znów po nieskończonej liczbie kroków w granicy otrzymamy nieskończenie wiele szeregów z nieskończoną liczbą kul w każdym i nic nie będziemy mogli powiedzieć o ich indeksach jak w przypadku z numeracją. Sprzeczność? Nie. Po prostu tak działa logika. Jeżeli mamy niesprzeczny zbiór formuł, a więc posiadający model, jeśli dalej nie jest to teoria kategoryczna (posiadająca z dokładnością do izomorfizmu jeden model), jeżeli w tym samym języku opiszemy pewne operacje prawdziwe dla każdego modelu, to może się okazać, że wykonujemy operacje na wszystkich modelach na raz (formuły teorii plus formuły opisujące operacje same tworzą inny model o ile są niesprzeczne, prawda?), a wynik końcowy zależy od tego jak go zinterpretujemy. Przypomina to trochę postępowanie w teorii homotopii lub homologii, te wszystkie retrakty deformacyjne i inne ściągnięcia. Nie wiem jak to Pani dokładniej wytłumaczyć, ale proszę sobie wygooglować temat powiedzmy teorii grup i uogólnienia grup cyklicznych, abelowych, nilpotentnych, rozwiązalnych, czyli klasy Kurosza-Czernikowa (lokalnie jakieś tam). Znajdzie się tam twierdzenie Malcewa i metoda dowodzenia twierdzeń lokalnych dla grup. Gdy twierdzenia teorii K-C przetłumaczy się na język rachunku predykatów, to
Edeldreda z Ely
A propos ostatniego akapitu, bo co do meritum, to pewnie w dużej mierze poza moim zasięgiem. Dlatego należałoby się inspirować rzadką cechą - pokorą i muszę tu wrócić do Russella, który był w stanie opublikować krytyczny sąd Wittgensteina o nim, a mianowicie, że wszystko, czego trzeba było wówczas dokonać w logice jest poza Jego możliwościami... I, zastanowiwszy się - przyznał rację przyjacielowi. 
Dark Regis
Wracając do Russela, to jego paradoks był zbyt prosty, żeby stanowił istotną przeszkodę. Chodzi o golibrodę. W matematyce "nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów". Nie zagłębiając się w szczegóły z poprzednich epok i przepisywane z książki na książkę, z doktoratu na doktorat i z magisterki na magisterkę siano logiczne, zastanówmy się nad takim oto obiektem. Jeżeli potrafimy określić, że dwa zbiory są równoliczne, to możemy na zbiorze tych zbiorów określić relację równoważności. Weźmy więc zbiór tych zbiorów X i tę relację R. Czym jest X/R? No to pozostaje nam pytanie, czy my rzeczywiście mamy skuteczną metodę określania równoliczności. Dodanie w trakcie budowy aksjomatyki teorii zbiorów hipotezy continuum jako niezależnego od pozostałych aksjomatu mówi nam, że nie. Pozbyto się tu kłopotu przez przyjęcie jako aksjomatu jednej z dwóch możliwości: hipotezy w jej brzmieniu, albo jej zaprzeczenia. No to pytamy dalej, czy my jesteśmy w stanie stwierdzić, że każde poprawnie zbudowane zdanie jest prawdziwe lub nie? Teraz przechodzimy na poletko Goedla i Chaitina (tym m.in. zajmował się Hilbert w swojej teorii numeracji): ii.pwr.edu.pl Co to jest prawda w logice? Co znaczy, że zdanie jest prawdziwe, nieprawdziwe, spełnialne, niespełnialne itd.? Co to oznacza dla formuł z kwantyfikatorami? Czym jest konsekwencja logiczna (vide operator domykania jak w topologii)? Co to jest system dowodzenia? Dlaczego zakłada się tam skończoność liczby kroków dowodu? No i wreszcie jak zjeść teraz zdania prawdziwe bez żadnego dowodu? No to znów. Mamy przestrzeń topologiczną z operatorem domykania (przypadkiem okazuje się ona zbiorem zdań pewnej logiki). Możemy więc określić różne relacje równoważności R pomiędzy zdaniami ze zbioru X tej logiki: ze względu na długość, liczbę zmiennych, długość dowodu, rozmiar modelu (oczywiście mam na myśli najmniejsze), a potem tworzymy X/R dla jakiegoś R. Czy jesteśmy w stanie wykonać taką operację skoro są zdania prawdziwe bez dowodu (w teorii obliczalności są niepoliczalne)? Oczywiście zaraz pojawi się kolejna hierarchia ze względu na złożoność algorytmów i słynny problem N=NP..... Jak Pani widzi, gdziekolwiek nie podrapać, to pod lakierem kryją się same znaki zapytania. Innej odpowiedzi na szereg pytań udzieli absolwent szkoły rytu moskiewskiego, jak np. Warszawa, zaś innej absolwent uczelni anglosaskiej. Mimo to niektórym naukowcom się wydaje, że nauczyli się i wiedzą już wszystko, a jako dowód przedstawiają pracę pewnego matematyka. Zupełnie tak samo reagują w życiu. Na pytanie czy potrafią policzyć funkcje zeta dla porządku opartego o spektrum pierścienia wielomianów podzielonego przez pewien ideał, zaczynają opowiadanie u kogo to nie studiowali i na jakie wykłady to nie chodzili. To jest mniej więcej ten sam dowcip jak ten w filmie "Chłopaki nie płaczą" o uzdrowicielu Harrym z Tybetu i tym koledze co siedział obok. Zresztą świetna seria dowcipów. Nie da się nauczyć kogoś przez indukcję.
Edeldreda z Ely
To jest właśnie moc sztuki - "nie miecz, nie tarcz bronią języka - lecz arcydzieła..."
Jan1797
W jeden dzień Sanah zrobiła więcej dla poezji naszego narodu niż wszystkie portale społecznościowe milionem tweetów w miesiąc         "Ona potrafi" 
Edeldreda z Ely
Pozwolę sobie nie do końca się zgodzić z zarzutem zawiłości, a postawić tezę, że stopień zawiłości odpowiada stopniowi trudności zagadnień. Poparciem dla niej są słowa Russella (nie wiem, dlaczego niektórzy mówią: Russlla) , który w swoich pamiętnikach wyznał, że wysiłek intelektualny towarzyszący pisaniu tego dzieła był tak wielki, że już nigdy później nie odzyskał takiej kondycji intelektualnej, jaką wówczas reprezentował. Czyli: parafrazując jednego z blogerów: to nie są proste rzeczy 😉
Dark Regis
Po przeczytaniu powyższego muszę po raz trzeci uzupełnić, bo tam zabrakło bajtów ;) LLPO wiąże się z zasadą logiczna wyłączonego środka (patrz operator równoważności), który na kanwie pozostałych aksjomatów matematyki (klasycznej) jest równoważny aksjomatowi wyboru i lematowi Kuratowskiego-Zorna. Przykład takiej równoważności jest opisany tu: documents.kenyon.edu Sprawa druga to Alonzo Church. Zna Pani tezę Churcha-Turinga? en.wikipedia.org Sprawa trzecia to istnienie logik innych niż binarna (bez skojarzeń z niebinarnością, proszę ;)) i zagadnienia np. automatyzacji wnioskowania (sztuczna inteligencja, informatyka): olx.pl Jak sobie jeszcze coś przypomnę to tu wrzucę, ok?
Dark Regis
Smullyan to jeden z badaczy logik modalnych, uczeń Churcha. Reasumując, mam u siebie w regale dzieło Hilberta o teorii numeracji, więc mniej więcej wiem jak zawile może wyglądać dzieło matematyczne z tamtego okresu. Zajmowałem się też przez chwilę Eulerem i jego spojrzeniem na arytmetykę. Dlatego uważam, że tłumaczenie Principia należy osadzić właśnie w ramach teorii kategorii i toposów, bowiem w innym przypadku moglibyśmy zakopać się w paradoksach, których próbki powyżej zasygnalizowałem. O, i przy okazji przypomniał mi się jeszcze paradoksalny rozkład kuli u Banacha, czyli paradoksy z teorii miary. Mam tu teraz pod ręką takie dziełko pt. "Geometryczna teoria miary" Herberta Federera, które powstało na długo przed spopularyzowaniem fraktali w matematyce. Czy wie Pani, że gdyby to dzieło recenzował któryś z "twardych" algebraików, ktoś zajmujący się teorią pierścieni albo geometrią algebraiczną, to wyrzuciłby trzy czwarte zawartości do kosza? To jest właśnie problem przed którym stają ludzie niezaznajomieni z matematyką, biorący zbyt serio tezę o jedności całej matematyki i uznawaniu wzajemnie wniosków płynących z analizy i topologii/teorii miary przez algebraików, geometrów i logików, albo wniosków płynących z algebry uniwersalnej, logiki i geometrii przez analityków i topologów. Przykładem niech będzie chociażby pojęcie kategorii. Algebraik powie, że jest to grupoid częściowy o pewnych własnościach, zaś analityk najpewniej nazwie to bzdurą. Obaj nie będą mieli racji. Algebraik myli się, bo próbuje upchnąć w szczególną kategorię zbiorów i funkcji Set wszystko to, co dzisiaj wiemy już o kategoriach, a więc także toposy. Analityk z gruntu nie lubi żadnych ścisłych gorsetów, które by mu przeszkadzały w swobodnym używaniu nieskończoności. Prawda na pewno nie leży po środku, tylko tam gdzie leży, albowiem (jak pisałem w poście powyżej) każda drobna zmiana języka matematyki może doprowadzić do katastrofalnych konsekwencji. Pewien Czach np. wymyślił kategorię zbiorów, które wszystkie zachowują się jak zbiory skończone i zbudował na tym algebrę, analizę, rachunek różniczkowy itd. Z kolei inni matematycy mogą wziąć dowolny pierścień (struktura algebraiczna) i jego spektrum (zbiór ideałów pierwszych, uogólnienie liczb pierwszych) i zasadnie powiedzieć, że pierścień R jest pierścieniem funkcji na zbiorze SpecR i zacząć wprowadzać tam całą resztę matematyki z całkami, różniczkami, operatorami itd. Tymczasem spektrum pierścienia liczb całkowitych z kształtu to jest to 2-3-5-7-...-p-... i samotne zero, które jest pod spodem wszystkiego. Czy na takim zbiorze można liczyć całki i pochodne? Okazuje się, że tak. O tym właśnie jest teoria toposów, która traktowana jako wzorzec postępowania jest ponad całą matematyką uważaną za współczesną. Dodam na koniec, że obejmuje też informatykę (bo tu są też logiki modalne, np. temporalne) i pewne aspekty fizyki matematycznej (proszę zobaczyć orbifoldy jako uogólnienie manifolds = rozmaitości w teoriach strun, bran itp.).
Dark Regis
@Edeldreda z Ely, prawdę powiedziawszy nie bardzo rozumiem sformułowanie "z polskiego na nasze". Ja posługuję się językiem polskim od urodzenia i nie zauważyłem dotąd, żeby język matematyczny aż tak bardzo odbiegał od języka potocznego ;) Ale oczywiście pomogę Pani zrozumieć tekst w zakresie, w którym będę mógł sam go zrozumieć ;). Poza tym dla mnie to nie jest żaden istotny argument, że ktoś tam napisał dzieło, które przeczytało tylko czworo ludzi na świecie. Po prostu chyba zbyt zawile pisał. Niestety nie miałem styczności z Principia Matematica, gdyż nie zajmuję się zazwyczaj podstawami matematyki, lecz jej rozwiniętą formą przedstawioną w teorii kategorii i funktorów. Tamże jest też rozwinięta koncepcja toposów jako "miejsc uprawiania różnych matematyk". Czy słyszała Pani o intuicjonizmie lub konstruktywizmie w matematyce? Podam może przykład pochodzący bodaj od Markowa: 1. Limited principle of omniscience: en.wikipedia.org Chwilowo nie będę tłumaczył szczegółowo, a chodzi tam po prostu o to, że wyrzucenie aksjomatu wyboru (równoważnego na bazie pozostałych aksjomatów teorii zbiorów ZFC, lematowi Kuratowskiego-Zorna) powoduje istotne zaburzenie w strukturze zdań prawdziwych w matematyce klasycznej (budowanej w oparciu o aksjomaty). Jakie to zaburzenia? Po uzunięciu lub zmianie aksjomatu na słabszy/silniejszy (patrz Stanford Encyclopedia of Philosophy artykuł o Axiom of Choice), zaczyna się cała kaskada zmian: dwa zdania równoważne stają się albo nierównoważne, brak jest płaszczyzny do udowodnienia równoważności, albo jedno staje się konsekwencją drugiego ale nie odwrotnie. Aby to zrozumieć trzeba poczytać o teorii zbiorów uporządkowanych, których najwybitniejszym przedstawicielem są kraty, zaś najbardziej zaawansowanym algebry Boole'a i ogólniej Heytinga. To właśnie w oparciu o najprostszą algebrę Boole'a {0,1} oparta jest cała klasyczna matematyka. Za to w oparciu o algebrę Heytinga w teorii kategorii stworzono zupełnie nową "matematykę" (tu jest ze dwie strony wyjaśnień;), która jest oparta o logiki modalne. W skrócie telegraficznym LLPO pokazuje, że przejście od algebry Boole'a do algebry Heytinga (bo tym skutkuje wyrzucenie AC) powoduje, że rozsypuje nam się podstawowy obiekt w matematyce i jednocześnie podstawowa metoda: obiekt liczb naturalnych równoważny zasadzie indukcji. Czy można bez niego żyć? Ależ jak najbardziej. Tu znów trzy strony wyjaśnień, które opisują model Peano i dlaczego ta teoria nie jest kategoryczna w logice I rzędu (ale jest w logice II rzędu, z tym, że to z kolei nic nie wnosi). Jak płynnie można przejść pomiędzy różnymi modelami arytmetyki Peano gdy się nie uważa pokazuje przykład paradoksu, który wymyśliłem. Z kolei "konieczność" logiki Boole'a ilustruje Najtrudniejsza Zagadka Świata o trzech boginiach autorstwa Raymonda Smullyana (dlaczego nie można jej rozwiązać bez operatora równoważności, co jest równoważne AC). cdn