W nocy wszystkie koty sa czarne i ... prostokątne

Opiszę tu na przykładach pewien proces, taki sposób patrzenia na zagadnienie uczenia się, żeby zapamiętane informacje mogły w każdym momencie posłużyć do odtworzenia całości wiedzy z danego tematu, nawet dziesiątki lat po ukończeniu edukacji. Polega to nie na tępym zakuwaniu wszystkiego na pamięć, jak czyni to dziś gros uczniów oraz studentów, ale na stworzeniu subtelnych powiązań przyswajanych informacji z odpowiednimi obrazami, które można łatwo przywołać w wyobraźni. Będzie to więc opis pewnej mnemotechniki. Nie od dziś rozmaici cudotwórcy zwani "kołczami" przekonują ludzi, że dużo łatwiej zapamiętuje się teksty, gdy jednocześnie wykonuje się jakąś prostą czynność, uderza rytmicznie długopisem w blat, na widoku znajduje się jakaś maskotka, albo człowiek znajdzie się w określonym środowisku (np. "pamiętanie" umiejętności kierowania samochodem). To są już dobrze poznane i opisane przez psychologów fenomeny.

Współcześnie stosowany system testów ma jedną podstawową gigantyczną wadę. Zrozumiemy to jednak dopiero w momencie, gdy pomyślimy o tym, jak działa na nasz umysł i pamięć reklama. Już pewnie niektórzy uważni czytelnicy domyślają się o co chodzi. Tak jest, prezentacja kompletnych głupot we wszystkich punktach prócz jednego (czasem kilku - multiwybór), działa silnie podprogowo na naszą podświadomość. Powoduje zamulanie pamięci obrazami i treściami, które nie mają nic wspólnego z racjonalnym myśleniem i liczeniem. Jeśli komuś się wydaje, że dziecko na teście intensywnie liczy i szuka właściwej odpowiedzi, to niech sam spróbuje tego miodu i przestanie powtarzać głupoty. Dziecko jest poprzez sytuację i kontekst obligowanie do szybkiego strzelania w ciemno i to właśnie zazwyczaj robi. Bo "przecież nie będzie głupsze od kolegi Jasia", a jak zaczyna liczyć, to zazwyczaj we własnych oczach wygląda na takie, co nie zna właściwej odpowiedzi. Nawet ludzie dorośli zdający egzamin na prawo jazdy wpadają w ten sam kanał - doświadczony kierowca z wieloletnim stażem, gdy podejdzie do egzaminu z marszu, ma wielką szansę na oblanie, bowiem nie docenia trzech rzeczy:

1) stresu, presja czasu;
2) silnie sugerującego wpływu bzdurnych odpowiedzi na jakość prowadzonego rozumowania;
3) braku środowiska, w którym zwykle rozwiązywał te problemy automatycznie (np. trzymał kierownicę).

Brzmi to śmiesznie, ale matka Natura wyposażyła nas właśnie w taki mechanizm, żeby pewne czynności wykonywać rutynowo i nie zawracać za każdym razem głowy mózgowi, rozmaitymi bzdurami typu "czy postawić najpierw nogę prawą, czy może lewą"? W każdym razie cwaniaczek, który wynalazł i wprowadził w szkołach testy, albo musiał sobie z tego świetnie zdawać sprawę, albo był głośnym i niemniej bezczelnym nieukiem realizującym jakiś ukryty cel.

Kiedy uczęszczałem do szkoły średniej, nauczyciel matematyki terroryzował nas niemiłosiernie. Każdą lekcję matematyki każdego dnia w tygodniu poprzedzała klasówka lub seria miniklasówek. Nie było wyjątków. W klasówkach brali udział wszyscy uczniowie, zaś do miniklasówek losowane były trójki uczniów na podstawie numerów w dzienniku za pomocą rzutu kostkami do gry ewentualnie ciągnięcia z talii kart. Klasówki sprawdzały stan wiedzy dotyczącej aktualnie przerabianego tematu, a miniklasówki sprawdzały ogólnie stan całej wiedzy z całego okresu nauki (czyli przed maturą z całych 4 lat). System miniklasówek przypominał trochę to, co dziś można zobaczyć w programie prowadzonym przez pana Tadeusza Sznuka pod nazwą "Jeden z dziesięciu". Można też znaleźć podobieństwa do stosowanego współcześnie powszechnie przy nauce języków obcych systemu fiszek.

Opowiem teraz trochę o tych minikartkówkach, które funkcjonowały w naszym LO pod śmieszną nazwą "Pucharki". Po pewnych przeróbkach mechanizm ten świetnie nadaje się na zaawansowany system akwizycji wiedzy. Innymi słowy zastępuje po prostu tępe bezmyślne zakuwanie i do tego pracuje w cyklu ciągłym, a nie tylko za 5 dwunasta. Gdy została przerobiona jakaś partia materiału, wtedy najważniejsze wzory i dziesiątki prostych zadanek trafiały do puli pytań systemu "Pucharków". Zbierane były po trzy i otrzymywały swój unikalny numer. Gdy rozpoczynała się lekcja, nauczyciel przeprowadzał losowanie trzech skazańców, którzy szli z krzesłami pod tablicę "na sankcję" i tam jeden z nich losował "wyrok", czyli kartkę z pytaniami. Jednego dnia mogły być dwa lub trzy takie losowania, np. za karę. Na udzielenie wszystkich odpowiedzi było bodajże 5 lub 10 minut (pucharki zwykłe i trudniejsze raz w tygodniu). Potem nauczyciel przypisywał punkty za adekwatność udzielonych odpowiedzi, a punkty sumowały się w skali miesiąca w oceny. Proszę zauważyć istotną różnicę: nie były to durne współczesne testy, ale takie mikromatury. Można było na dany temat pisać dosłownie wszystko, co się wie, co pozwalało zdobyć dodatkowe punkty za styl. Ten sam system nauczyciel wprowadził na przedmiocie nieobowiązkowym, jednak pozwalającym większości uczniów na niwelowanie wpadek z matematyki, a mianowicie nauce języka Esperanto, którego był zażartym propagatorem. Nawet zmusił uczniów do prenumeraty czasopisma "Hungara Vivo", co niespodziewanie miało też swoje dobre strony, bo z Węgrem po ludzku się nie dogada, a w Esperanto jest spora szansa. System domykał idiotyczny proceder zaliczania kilometrów zeszytów. Na zakończenie lekcji każdy, kto chciał zdobyć dodatkowe punkty, przynosił do nauczyciela swój zeszyt, a ten skreślał długopisem kolejne strony i doliczał punkty do puli ocen. Oczywiście mało go interesowało, kto co przynosił w tym zeszycie. Strony miały być tylko w miarę gęsto zabazgrane, dlatego gdy ja przynosiłem moje notatki z rozwiązywania zadań np. z egzaminu wstępnego na politechnikę, za co były duże punkty po wysłaniu ich do sprawdzenia na uczelnię, to inni przynosili stary zeszyt z polskiego, albo na każdej kartce były wypisane olbrzymie cyfry 1,2,3.... Wszystkie te omówione składniki ważyła sporządzona przez nauczyciela specjalne tabela przeliczników i dopiero stąd brała się ocena końcowa. Jak powiedziałem na wstępie system nadaje się do przeróbki i chyba widać gołym okiem dlaczego ;)

Ponieważ ja nie tylko przeżyłem ten brutalny system nauczania, ale dodatkowo miałem jeszcze czas na robienie na boku zadań olimpijskich, więc mogę chyba zasadnie założyć, że trochę się znam na rzeczy, gdy chodzi o uczenie się i ocenę metod uczenia, nieprawdaż? ;) Faktycznie, to z tymi zadaniami olimpijskimi nie było aż tak różowo, jak zapewne niektórzy myślą. Gdy nauczyciel zauważył, że nie uważam na lekcji tylko sobie coś tam w zeszycie skrobię (bo oczywiście ja ten jego materiał już dawno miałem w jednym palcu), to podchodził i konfiskował mi notatki. Nie ważne było co tam robiłem - zabierał i już. W ten sposób traciłem wiele świetnych pomysłów rozwiązania jakiegoś skomplikowanego zadania z olimpiad matematycznych, ale w zamian nauczyłem się sztuki konspiracji. Część czynności musiałem po prostu przenieść do wyobraźni i nauczyć się liczyć w pamięci. W ten sposób uratowałem przed szperą kilometry mojej ciężkiej pracy. Musiało to wyglądać naprawdę zabawnie, gdy ja, uśmiechnięty od ucha do ucha "czytałem" właśnie z tablic treści, lecz z miejsca, gdzie już dawno nic nie było. Zaalarmowany tym widokiem nauczyciel przybiegał szybko sprawdzić, czy nie mam tam jakichś lewych nielegalnych notatek, ale zwykle odchodził z kwitkiem. Przecież nie zrobi mi trepanacji czaszki, choć pewnie bardzo by chciał. Głupkiem można było być legalnie i w każdej chwili, a przynajmniej tak wyglądać, natomiast na bycie matematykiem wymagane były zezwolenia od tego jednoosobowego sanhedrynu. Lecz nie róbmy z siebie Einsteina, jakieś konieczne notatki były, np. treść zadania i konieczne wzory, ale tylko niezbędne i tak sprytnie wplecione w normalny zapis z lekcji, że nie dało się ich na pierwszy rzut oka dostrzec. Tę dziwną wojnę prowadziłem przez całe 3 lata liceum do matury. Potrafiłem nawet grać w karty w pamięci z kumplami na przerwie, konkretnie w brydża, bo karty również były bezwzględnie konfiskowane. Jeśli komuś wydaje się, że zaraz po lekcji pan nauczyciel zwracał mi te zarekwirowane notatki, to jest w głębokim błędzie. Dostawałem je dopiero po zakończeniu roku szkolnego. On realnie i praktycznie zwalczał moje spontaniczne zainteresowanie matematyką i usiłował stłumić wrodzone zdolności, a nie tylko dyscyplinował doraźnie. Kiedy najlepsi z matematyki uczniowie wybierali się pewnego roku na zawody wojewódzkie, zaproponował mi start tylko dlatego, że jeden z jego pupili akurat był zachorował. Spuściliśmy najlepsze szkoły z całego województwa kanałem.

Nie muszę już chyba nikogo dodatkowo przekonywać, dlaczego dziś tak bardzo nienawidzę i z taką pasją zwalczam bezmyślny automatyzm, ślepe zapatrzenie w procedury, wszelkie AI, roboty i komputery w roli niań, a konkretnie tych różnych ponadprzeciętnie cwanych ludzi, którzy się pod nie podszywają. Życie mnie tego nauczyło. No ale teraz do rzeczy. Mamy już sposób na pozyskiwanie wiedzy, a teraz zastanówmy się w jaki sposób można nią manipulować, żeby przyniosło to zapowiedziany efekt, czyli trwałe skojarzenie napisów z intuicjami oraz obrazami.

Tak jak w tytule, zacznę od podstawowej klasy trójkątów, czyli trójkątów prostokątnych. Nazwijmy jego boki w ten sposób, żeby przeciwprostokątna była oznaczana literą c, kąt naprzeciw przeciwprostokątnej, czyli kąt prosty awansem nazywał się C (albo γ gamma), tak samo jak punkt, przyprostokątne to a oraz b, a kąty naprzeciwko nich, to odpowiednio A oraz B (albo α alfa i β beta). Wierzchołki naprzeciwko boków a,b,c to odpowiednio A,B,C. Każdy chyba widzi, że wystarczą dwa egzemplarze takiego trójkąta, żeby po odpowiednim odwróceniu złożyć je w jeden prostokąt. W związku z tym, pole pierwotnego trójkąta będzie dokładnie połową pola prostokąta o bokach a i b. Jeśli weźmiemy cztery egzemplarze takiego trójkąta i ułożymy je w taki sposób w kwadrat o boku a + b, żeby w środku powstała pusta przestrzeń będąca kwadratem utworzonym z przeciwprostokątnych c, to otrzymamy wzór na cztery pola trójkąta 4S = (a + b)² - c². Czyli podstawiając 2ab = a² + 2ab + b² - c². Skracając czynnik 2ab i przenosząc c² na drugą stronę, otrzymujemy znany wzór Pitagorasa: a² + b² = c². Można też od razu policzyć pole trójkąta, traktując przyprostokątną a albo b jako jego wysokość i stosując wzór, który szczęśliwie większość ludzi pamięta: S=½ab. Zaręczam jednak, że podana powyżej heurystyka z dwoma egzemplarzami trójkąta jest dużo trwalsza na przestrzeni lat, a do tego uczy metod manipulacji obrazami, które przydadzą się przy omawianiu np. własności liczb trójkątnych. Zobaczymy to lepiej na trudniejszych wzorach. Teraz do gry wchodzi ciekawość i pytamy "A co się stanie, gdy spróbujemy policzyć pole, opuszczając wysokość z punktu C na bok c?" Dzieli ona trójkąt na dwa mniejsze trójkąty, które są pomniejszonymi kopiami trójkąta pierwotnego. Dlaczego? Proszę popatrzeć, że w każdym można z łatwością wskazać kąty odpowiadające sobie o tej samej mierze. Musi tak być choćby z tego powodu, że suma wszystkich kątów trójkąta jest równa 180 stopni (w tym miejscu wyobrażamy sobie prostokąt z przekątną, patrząc na kąt prosty i sąsiedni kąt podzielony przekątną na dwie części), a dodaliśmy tam tylko dwa nowe kąty proste, dzieląc przy tym jeden stary, również prosty (czyli na sumę nowych A i B). Podobieństwo. Z tego podobieństwa wynika, że stosunek h do a jest taki sam, jak stosunek c do b, h/a = b/c. Stąd h = ab/c, czyli S = ½ch = ½abc/c = ½ab.

Zanim przejdziemy dalej, wypróbujmy sobie nasz mechanizm przypominania wiedzy na prostym przykładzie. Wyprowadzimy wzór na jedynkę trygonometryczną, korzystając z naszych prostych definicji funkcji trygonometrycznych mamy: sin²A + cos²A = a²/c² + b²/c² = (a² + b²)/c², ale z tw. Pitagorasa a² + b² = c², a więc na końcu dostajemy c²/c² = 1. Gdy będziemy teraz wolno zniekształcać trójkąt tak, żeby bok a stawał się coraz dłuższy, zaś bok b krótszy, to pierwszy składnik sumy, czyli kwadrat sinusa będzie rósł, a drugi kwadrat cosinusa malał. Analogicznie możemy spojrzeć na to ze strony drugiego kąta i wtedy otrzymamy te same liczby zamienione miejscami sin²B + cos²B = b²/c² + a²/c² = 1. Jak pierwsza będzie powiedzmy zmieniać się tak: 0/4, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, to druga musi zmieniać się tak: 4/4, 3/4, 2/4, 1/4, 0/4, czyli w odwrotnej kolejności. Po pozbyciu się kwadratów, liczby te przyjmą postać (bierzemy najpierw gałąź dodatnią; pierwiastek kwadratu i na odwrót, to jest zawsze wartość bezwzględna! Opuszczając ją mamy plus i minus) 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1, a druga odpowiednio to samo, tylko malejąco. Ale przecież to były sinusy i cosinusy tego samego kąta, który zwiększaliśmy krokowo. Mamy więc prostą regułę, jak sobie szybko naszkicować wykresy obydwu funkcji na odcinku od x=0 do x=90 stopni. Gdy rozpatrzymy gałąź ujemną pierwiastka, to ciągowi idącemu od zera w kierunku ujemnych wartości 0/4, -1/4, -2/4, -3/4, -4/4, przyporządkowanego sinusowi, nie będzie już odpowiadał odwrócony ten sam ciąg, ale nadal ciąg liczb dodatnich 4/4, 3/4, 2/4, 1/4, 0/4, bo przecież jakoś trzeba zachować ciągłość marszu, gdy w zerze byliśmy na wysokości 1 dla cosinusa. Wartości x-ów dających te liczby nie są rozmieszczone na osi Ox równomiernie. Zero sinusa odpowiada x=0, dalej 1/2 odpowiada 30 stopniom, ale wyłamuje się √2/2 dla 45 stopni, dalej znów √3/2 dla 60 stopni oraz 1 dla 90 stopni.

Nie są to może najmądrzejsze rachunki, ale gładko uświadamiają każdemu, jak się rzeczy mają. Ludzie naprawdę mają ogromny problem z naszkicowaniem wykresów sinusa i cosinusa, że o tangensie nie wspomnę. Potem wystarczy jeszcze trochę wyobraźni, żeby sklonować fragmenty wykresów i mamy już pełen ogląd sytuacji. Wychodzi wtedy samo, że obie funkcje falują w nieskończoność, mają naprzemiennie w górę i w dół garby długości 180 stopni, czyli są okresowe z okresem 2*180 = 360 stopni, że są to w zasadzie przesunięte o 90 stopni kopie tego samego wykresu, a to daje nam dobry start do wypisania z marszu wszelkich tzw. wzorów redukcyjnych na podstawie wykresów. Na przykład właśnie takich: sin(90 + A) = cos(A), cos(90 + A) = −sin(A). Właściwie gdy spojrzymy na wykresy uważnie, to możemy zauważyć nawet jeszcze głębszy fakt, a mianowicie, że cosinus jest pochodną sinusa, ale to już materiał na inny artykuł. Używam tu co prawda notacji ze stopniami, ale każdy może to szybko przeliczyć na tzw. radiany, używając definicji liczby π. Liczba π jest to stosunek długości okręgu do jego średnicy, czyli właśnie 2πr/2r, gdzie 2r się skróci.

Kontynuując zagadnienie policzenia pola dowolnego trójkąta, nie koniecznie prostokątnego, spójrzmy jeszcze raz na wzór: S=½abc/c=½ac(b/c). Przecież z definicji ten ułamek w nawiasie to nic innego, tylko sinus kąta B. Niechcący wyprowadziliśmy więc wzór na pole trójkąta w zależności od sinusa: S = ½ac*sinB. Analogicznie S = ½bc*sinA i S = ½ab*sinC. Ten ostatni wzór kryje dodatkową niespodziankę: ponieważ zajmowaliśmy się trójkątem prostokątnym, to sinus kąta prostego wyszedł równy 1. Jest to ważna obserwacja, gdyż zaoszczędza machania rękami przy liczeniu sinusów kątów, gdy zbieganiu długości przeciwległego boku do zera przy zachowaniu pierwotnego kąta prostego, towarzyszy powolne rozwieranie się kąta zainteresowania do prostego, a kąt przeciwny do niego kurczy się do zerowego. O trójkątach zdegenerowanych porozmawiamy trochę później.

Proszę zauważyć, jak łatwo odbywa się tu przechodzenie od jednego kąta, do kąta przeciwnego w trójkącie prostokątnym. To nie jest przypadek. W rzeczywistości mamy tylko jedną funkcję trygonometryczną, czyli sinus, zaś cosinus jest po prostu sinusem kąta przeciwnego. Wzmocnię to wrażenie próbą uogólnienia trygonometrii płaskiej na przypadek 3-wymiarowy. Hipotetycznie mielibyśmy tam do czynienia ze specjalnym rodzajem czworościanu prostokątnego, który można wyobrazić sobie jako rozpięty na trzech odcinkach leżących na osiach Ox, Oy i Oz. Jak wtedy nazwalibyśmy nasze stosunki pól trójkątów-boków leżących odpowiednio na płaszczyznach OxOy, OxOz, OyOz, do trójkąta-przekątnej rozciągniętego na końcach tych odcinków? Sinus, cosinus, cocosinus, czy może Atos, Portos i Aramis? A co w przypadku większej liczby wymiarów? Właśnie dlatego użyto tu charakterystycznego przedrostka co-, który sugeruje pewien ścisły związek dwóch pojęć i dodatkowo przyjęto zasadę, że coco- jest równoważne brakowi przedrostka.

Ktoś zaraz zarzuci mi, że przecież jest jeszcze co najmniej tangens. Ale jak spojrzymy na definicje wszystkich możliwych stosunków boków w trójkącie prostokątnym, czyli a/b, a/c, b/a, b/c, c/a, c/b i nazwiemy je zgodnie z podręcznikiem tgA, sinA, ctgA, cosA, secA i cscA (tangens, sinus, cotangens, cosinus, secans, cosecans), to wyrażają się one tylko w zależności od wartości naszych dwóch sinusów i można to policzyć na palcach, znając jedynie operacje na ułamkach (stosunkach boków z definicji). Kolejno tgA=sinA/cosA, ctgA=cosA/sinA, secA=1/sinA, scsA=1/cosA. Nie ma tu żadnej magii.

Jesteśmy już gotowi do przedstawienia dwóch fundamentalnych twierdzeń. Twierdzenia sinusów oraz twierdzenia cosinusów. Twierdzenie sinusów jest prostą konsekwencją porównywania wzorów na pole trójkąta, które wyprowadziliśmy powyżej. Po odrzuceniu stałej 1/2, pozostaną trzy równości ac*sinB = bc*sinA = ab*sinC. Dzieląc je przez abc, dostajemy znaną postać twierdzenia: sinB/b=sinA/a=sinC/c (jeszcze raz kontrolnie przypomnę, że nie udowadniamy twierdzenia, tylko staramy się je efektywnie zapamiętać). Brakuje tu tylko ostatniej równości z promieniem koła opisanego, czyli ...=2R. Ale przecież 2R dla trójkąta prostokątnego to jest dokładnie c. Ponieważ raczej nie może być 1/c=c, więc widać od razu że to c/sinC = 2R i analogicznie pozostałe. Mamy więc ostatni element, który może posłużyć nam do weryfikacji, czy zapamiętaliśmy dobrze treść twierdzenia. Kolejne twierdzenie cosinusów jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa na trójkąty nieprostokątne, więc tu niewiele zobaczymy. Trzeba jakoś na moment wyjść poza klasę trójkątów prostokątnych. Możemy na przykład zbudować z dwóch trójkątów prostokątnych równoległobok, sklejając je wzdłuż jednego boku (tej samej długości). I to jest to właściwe skojarzenie słowa, albowiem reguła równoległoboku służy przy dodawaniu wektorów, a za pomocą cosinusa liczy się tzw. iloczyn skalarny - gdy potraktowalibyśmy bok a i c z pierwszej kopii trójkąta jako wektory BC i BA, to ich suma byłaby dłuższą przekątną d tego równoległoboku, a iloczyn skalarny AC*AB = |AC||AB|*cosB = cb*cosB. Nie będę tu wprowadzał pojęcia wektora, tylko np. policzę długość d elementarnie. Zauważmy że przekątne równoległoboku, czyli u nas d i b, połowią się wzajemnie. Dlatego łącząc informacje dla tego nowego trójkąta o bokach a,c i d, łatwo można już zweryfikować ten wzór.

Teraz omówimy okrąg opisany i okrąg wpisany na naszym trójkącie prostokątnym. Czym one są i jak to zjeść? Gdy spróbujemy opisać okrąg na trójkącie, to szybko zauważymy, że kąt prosty czyni tu cuda. Ponieważ wszystkie trzy wierzchołki muszą znaleźć się na tym okręgu, wymusza to sytuację, że jego centrum musi leżeć na każdym z trzech prostopadłych odcinków, poprowadzonych przez środek boku. Jeśli tego jeszcze nie widzimy, to narysujmy sobie okrąg i jakąkolwiek cięciwę w jego środku. Z symetrii tej figury od razu wynika, że tylko odcinek prostopadły, poprowadzony przez środek cięciwy, będzie zawierał punkt w centrum okręgu. Z dowolności wyboru cięciwy wynika wniosek, że tak też będzie dla dowolnych trzech lub więcej cięciw. Gdy już znudzimy się rysowaniem dziesiątek cięciw, może zdarzyć się przypadek, że dostrzeżemy wśród nich jakiś zamknięty trójkąt. To będzie właśnie odpowiedź na pytanie "gdzie on jest"? Mianowicie środkiem koła opisanego na trójkącie jest punkt, w którym przecinają się symetralne boków (nie mylić ze środkowymi!). Bok c będzie jednak szczególny, bowiem to właśnie na nim będzie leżał punkt przecięcia, z uwagi na to, że symetralne każdej z przyprostokątnych będziemy musieli poprowadzić równolegle do drugiej. Powstanie podział trójkąta na cztery mniejsze identyczne kopie podobnych trójkątów prostokątnych - dwie przy wierzchołkach i dwie sklejone w prostokąt. Ta równoległość powoduje, że to jest również widoczne z tw. Talesa. Skoro więc centrum okręgu opisanego znajdzie się na przekątnej, to jego promień musi być równy połowie długości tej przekątnej. Jeśli kąt prosty zaczniemy powoli rozwierać, to centrum okręgu opisanego będzie wypychane na zewnątrz trójkąta, a jego promień stanie się dłuższy niż c/2. Przy zmniejszaniu kąta prostego, centrum zostanie wessane do jego środka, ale promień nadal będzie większy niż c/2 (tzw. nierówność trójkąta). Ciekawym wnioskiem z tego jest równość wszystkich kątów, którego wierzchołek porusza się po okręgu, zaś ramiona przechodzą przez końce ustalonej średnicy tego okręgu. Nawet więcej, bo gdy weźmiemy dowolną cięciwę i stworzymy kąty, których środek będzie poruszał się po fragmencie okręgu z jednej jej strony, zaś ramiona będą przechodzić przez końce cięciwy, to te kąty też będą wszystkie równe. Gdy przejdziemy na drugą stronę cięciwy, ten wspólny kąt będzie wynosił 180 stopni minus kąt po drugiej stronie. Wreszcie na koniec, gdy na średnicy oprzemy z dwóch stron dwa takie kąty proste A i A', powstała figura będzie prostokątem o tej własności, że dwa pozostałe kąty B₁ i B₂ zsumują się do 180 stopni. Po prostu potraktujmy obie przekątne jako cięciwy. W przypadku, gdy odcinek łączący wierzchołki A i A' przejdzie przez środek okręgu, kąty B₁ i B₂ staną się proste i otrzymamy całe spektrum różnych prostokątów i jeden kwadrat dla odcinka AA' prostopadłego do do średnicy. Znaleźliśmy ciekawy warunek: prostokąt można wpisać w okrąg tylko w tym przypadku, gdy jego przeciwległe kąty sumują się do 180 stopni. Dodatkowo, gdy sumy przeciwległych boków czworokąta są równe, to jeszcze da się w niego wpisać okrąg i o wpisywaniu dla trójkątów pomówimy dalej. Całą wagę tej prostej obserwacji docenimy dopiero przy omawianiu i dowodzeniu wzoru Herona na pole trójkąta, albo przy szukaniu środka ciężkości.

Okrąg wpisany w trójkąt ma najprostsze własności dla trójkąta równobocznego. Zresztą opisany też. Ale skoro omawialiśmy najpierw trójkąt prostokątny, to dokonajmy tu transgresji i to porządnie. Najpierw pomyślmy sobie o pojedynczym kącie, pomiędzy ramiona którego wpiszemy okrąg. Z miejsca widać, że ramiona kąta będą stycznymi okręgu, a co za tym idzie, w punktach przecięcia promieni poprowadzonych ze środka okręgu do obu punktów styczności, będą kąty proste. Stąd i z symetrii mamy prosty wniosek, że odcinek łączący środek i wierzchołek kąta, będzie dwusieczną tego kąta. Gdy dodamy jeszcze dwa podobne kąty, w które wpisany będzie ten sam okrąg, to nic się nie zmieni. Znów bawiąc się rysowaniem kolejnych kątów dojdziemy do wniosku, że z niektórych trójek uda nam się złożyć jeden pełny trójkąt. Będą to dokładnie te trójki kątów, dla których każda para będzie miała wspólne ramię. W związku z tym środek okręgu będzie po prostu punktem przecięcia się dwusiecznych kątów. To dowód istnienia takiego punktu i że nie przetną się po dwie w trzech różnych punktach. Jak więc widać kształt trójkąta nie ma tu wiele do gadania, dlatego przejdziemy od razu dalej. Podobną własność mają symetralne, o czym wspomniałem wyżej (ale nie dowiodłem jeszcze), wysokości oraz środkowe. Istnieje jedno wspólne wytłumaczenie, ale o tym później. Promień okręgu opisanego będzie grał rolę w twierdzeniu sinusów, a promień okręgu wpisanego wielokrotnie pojawi się przy liczeniu pola. Wiąże je związek zwany wzorem Eulera d² = R(R − 2r), gdzie d jest odległością środków tych okręgów, który zapisany inaczej przypomina twierdzenie Pitagorasa: (R − r)² = d² + r². To są zazwyczaj treści różnych podchwytliwych zadań.

W zasadzie w tym miejscu skończyliśmy omawianie trójkątów prostokątnych. Jak widać te najważniejsze wzory i twierdzenia trygonometrii daje się na piechotę "wywnioskować" ze zwykłego trójkąta prostokątnego, a przy tym łatwo się liczy w pamięci i/lub na palcach wszystkie nasze przypuszczenia i pozwala tą drogą odrzucić błędne hipotezy. Chodziło nam przecież o mechanizm, który pozwoli na szybką weryfikację naszej wiedzy lub przypomnienie sobie "jak to szło", no więc go mamy. Teraz głupie testy są już jakby mniej groźne ;)

Idąc jeszcze za ciosem zatrzymam się na twierdzeniach geometrii ogólnej, znanych już od czasów starożytnej Grecji. Uruchamiamy więc naszą ciekawość i pytamy "a ile będzie takich różnych trójek, jak owe środkowe albo dwusieczne?" Na to pytanie odpowiada twierdzenie Cevy - "ile dusza zapragnie, nieskończenie wiele". Twierdzenie to mówi, że gdy podzielimy boki dowolnego trójkąta w taki sposób, że bok a będzie równy sumie odcinków a1 i a2, bok b sumie odcinków b1 i b2, bok c sumie odcinków c1 i c2, idąc np. zgodnie z ruchem wskazówek zegara, połączymy punkty tych podziałów z przeciwnymi wierzchołkami i odcinki z tych punktów do wierzchołków przetną się w jednym punkcie (nie na brzegu) to iloczyn stosunków a1/a2*b1/b2*c1/c2 = 1 [*]. Odwrotne twierdzenie Cevy mówi, że ze wzoru [*] wyniknie przecinanie się w jednym punkcie. Oczywiście są tam jeszcze pewne detale, które są np. poparte treścią starego tw. Menelaosa. Jeśli poprowadzimy prostą przecinającą wszystkie boki lub ich przedłużenia, to wzięcie w kolejności co drugi trzech z nich i wymnożenie, da dokładnie tę samą liczbę, co wzięcie i wymnożenie trzech pozostałych. Jak się przedstawi jedno mnożenie nad drugim, to otrzymamy jedynkę. Kiedyś w Delcie było takie zadanie: oblicz wartość najmniejszą wyrażenia a1/a2 + b1/b1 + c1/c2 i robi się je właśnie z powyższego twierdzenia. Może nawet ktoś zechce zostać odkrywcą i sprawdzi, czy jakieś analogiczne twierdzenie nie zachodzi, gdy weźmiemy trzy odcinki prostopadłe do boków, które przecinają się w jednym punkcie? Jakoś nie widzę, żeby ktoś ten przypadek dyskutował ochoczo na łamach Wikipedii :D

Wróćmy znów do wątku głównego. Trójkąty inne niż prostokątne mogą służyć do dalszej weryfikacji postawionych hipotez dotyczących tego, jak mogłyby wyglądać słynne wzory lub twierdzenia. Szczególnym przypadkiem trójkąta równoramiennego jest trójkąt równoboczny, który ma wszystkie boki identycznej długości. W rodzinie tej załapał się też jeden z trójkątów prostokątnych - pół kwadratu. Można prześledzić jeszcze raz wszystkie poznane wyżej pojęcia, ale to już będzie wymagało sprawnego operowania wartościami sinusów i cosinusów, a także sprytnego doboru długości boków. Na przykład biorąc trójkąt równoboczny, łatwo liczy się sinus 60 stopni. To akurat jest niemal oczywiste, bo już w przypadku trójkąta prostokątnego mogliśmy "przypadkiem" zauważyć, że suma wszystkich kątów trójkąta wynosi 180 stopni. Oczywiście chodzi mi o obserwację a nie dowód. W związku z tym, w trójkącie o wszystkich bokach równych, a więc i kątach równych, wystarczy podzielić 180 stopni przez 3. Gdy teraz poprowadzi się jedną z wysokości, to podzieli ona pewien kąt na dwa i dostaniemy 30 stopni. Połówka trójkąta będzie już trójkątem prostokątnym (definicja wysokości), a zatem sin30 będzie stosunkiem połowy długości boku do długości boku, czyli 1/2. Teraz weźmy kartkę papieru w kratkę i zacznijmy konstruować inne kąty. Na przykład 2 kratki na 3 kratki, czyli trójkąt równoramienny o dwóch bokach 3 i jednym 4, da wartość sinusa dla tego samego połówkowego kąta równą 2/3. W ten sposób można sprawnie uzupełnić wykresy funkcji sinus i cosinus.

Chociaż ogólnie mówię tu o banałach, to cały czas służy to trenowaniu wyobraźni. Nauka, a zwłaszcza uczenie się bardzo młodego człowieka, to ciągłe stawianie sobie szeregu głupich pytań, gdyż innych stawiać jeszcze nie potrafi, na które musi znaleźć lub od kogoś otrzymać mądre odpowiedzi. Po prostu musi i to szybko, bo inaczej zajmie się czymś innym i sprzyjający moment życia zostanie bezpowrotnie zmarnowany. Tylko w wyjątkowych przypadkach zachodzi uczenie się bez nadzoru. We wszystkich innych mentor oraz ćwiczenie wyobraźni są wręcz niezbędne. Nie oznacza to jednak, że taki uczeń jest od urodzenia matematycznym głąbem. Lecz raczej to, iż jego potencjał prawdopodobnie nie został jeszcze wyzwolony. Kiedy mentorowi, a konkretnie takiemu współczesnemu nauczycielowi, wydaje się, że uczeń sam sobie to wszystko wyobrazi i sam znajdzie wymagane odpowiedź, to znaczy, że kompletnie nie ma pojęcia o pedagogice. Zdolności oraz talenty należy rozbudzać, a nie przytłaczać niepowodzeniami. Oczywiście obecny system służy pewnej kaście, elicie, która zawsze sobie zatrudni prywatnego belfra do Syxtuska, najczęściej kolegę, gdy tymczasem cała reszta dzieci sczeźnie z nudów w jakiejś ponurej podstawówie. Prawdziwy nauczyciel nie może i nie ma moralnego prawa blokować ucznia w rozwoju i przycinać go na siłę do obowiązującego programu. Nie może dopuszczać się świadomego marnotrawstwa, bo ludzi naprawdę genialnie uzdolnionych matematycznie jest w populacji naprawdę niewielu i nie ma innego miejsca na ich wyłowienie jak szkoła. Obruszamy się na Żydów, ale to oni właśnie filtrowanie wszelkich talentów doprowadzili do perfekcji i stąd mają tyle wybitnych osiągnięć w nauce. Biologicznie zaś niczym szczególnym nie różnią się od wszelkich innych nacji. Miejmy to na uwadze.

Powtarzam, nie podaję cudownej metody na błyskawiczne nauczenie się tego fragmentu wiedzy, lecz metodę na skuteczne jej zapamiętanie na długie lata lub nawet do końca życia, by zawsze móc ją odtworzyć na podstawie choćby szczątków informacji, które nam pozostaną w pamięci po wielu latach. Nie można jednak nauczyć się tylko samych obrazków, wolnych skojarzeń i analogii, dlatego że muszą znajdować gdzieś w pamięci te wszystkie słowa klucze (nazwy twierdzeń i nazwiska), do których można przyporządkować odpowiadające im treści. Etap nauki pamięciowej nas nie ominie, będzie jednak o wiele znośniejszy.

W powyższym wywodzie użyłem przynajmniej raz pojęcia wektora. Otóż cała geometria klasyczna wraz z trygonometrią da się opowiedzieć tylko i wyłącznie za pomocą wektorów. Na przykład twierdzenie Pitagorasa wraz z uogólnieniem do twierdzenia cosinusów jest wyrażeniem trywialnego faktu, że gdy dla trzech punktów A,B,C określimy wektory AB, BC i CA (dokładnie w tej kolejności liter), to suma AB + BC + CA = 0. Widać to wyraźnie gdy narysujemy sobie to na kartce i zaznaczymy strzałki - otrzymamy zamknięty obwód. W jakiejkolwiek teraz kolejności byśmy nie sumowali ich parami, to zawsze w następnym kroku otrzymamy dwie strzałki z jakiegoś punktu X do Y i odwrotną. Za pomocą wektorów można dowodzić twierdzenia o przecinaniu się w jednym punkcie różnych odcinków, np. wysokości, środkowych, dwusiecznych, wreszcie dowieść wspomniane tw. Menelaosa oraz Cevy. Tymczasem w szkole średniej wektory traktowane są per noga. I nic dla nauczycieli mózgowców nie znaczy fakt, że i tak wrócą w trybie palącym na fizyce - nie bo nie, zbyt trudne do wyłożenia na matematyce, niech fizycy odwalą całą robotę. Po prostu żenada.

W przypadku trójkątów, wektory posłużyłyby jeszcze do wyrażenia całkowicie oczywistego w innych warunkach faktu, że każdy dowolny trójkąt można za pomocą przesunięć, obrotów i przeskalowania wyjściowego układu współrzędnych (x,y), zamienić w trójkąt prostokątny, nawet z przyprostokątnymi równymi 1, leżącymi grzecznie na osiach Ox' i Oy' tego docelowego układu (x',y'). Nawet więcej, bo da się przekształcić tak samo dowolny trójkąt w dowolny inny trójkąt, wraz z obowiązującymi w nim równaniami. Chociaż już w klasie przedostatniej tłuczone są do znudzenia układy równań liniowych rzędu drugiego (czyli zapisy równań prostych), wyznaczniki oraz kompletnie nieintuicyjna metoda wyznaczników, mimo to nikomu z układaczy programów nawet nie przemknęło przez myśl, aby wprowadzić pojęcia właśnie przekształcenia liniowego na płaszczyźnie, jako takiego, które przekształca każdą prostą w inną prostą lub w punkt. To właśnie ta treść jest zapisana w oficjalnym warunku liniowości z definicji: F(sx + tx) = sF(x) + tF(b). W ten sposób edukacja średnia mogłaby się chociaż odrobinkę spinać, bo powiedzieliśmy w ten sposób właśnie coś takiego: istnieją pewne wzory oraz twierdzenia, które są odporne na działanie pewnego rodzaju przekształceń i również po przekształceniu możemy dostrzec dużo regularności. Inaczej, pewne rodziny przekształceń zachowują prawa geometrii (ma to związek z symetriami), tak samo jak pewne układy współrzędnych zachowują prawa fizyki. Prawda jak zgrabnie przechodzimy do teorii Einsteina?

Tak jak w tytule "W nocy wszystkie koty są czarne i prostokątne", bo każdy trójkąt przekształcimy liniowo w inny, tak w dalszej edukacji będzie można zauważyć, że pewne wybrane obiekty geometryczne przekształcimy za pomocą jakiejś wybranej grupy przekształceń w inne obiekty, a wraz z tym przekształcą się nasze prawa. Będzie można wyłowić wtedy taką postać zapisu tych praw, która będzie niezmienna w tej rodzinie przekształceń. Tak właśnie powstała ta współczesna fizyka. Nie mówię tu już tylko o wektorach, ale także o tensorach, spinorach czy innych obiektach geometrycznych o dziwnych tajemniczych nazwach. Zrozumiałe staną się liczby zespolone i kwaterniony. Jeśli na samym wstępie wyleje się solidny fundament, to będzie na czym oprzeć i zbudować piękny, duży dom. Budując na byle czym, sklecimy co najwyżej szopę. To właśnie będę starał się rozwinąć w następnym artykule.

Na zakończenie zaprezentuję małe ćwiczenie pamięci i wyobraźni. Czy ktoś umie odpowiedzieć na pytanie "Jak wygląda przestrzeń wszystkich możliwych trójkątów?" Oczywiście chodzi tu o trójkąty unikalne, czyli takie, które nie są do siebie podobne: przesunięte, przeskalowane, obrócone, odbite względem osi i te rzeczy. No to na początek stwórzmy sobie jakiś model. Gdy zaznaczymy na kartce (płaszczyźnie) trzy wierzchołki dowolnego trójkąta, to stwierdzimy, że potrzeba nam aż trzech par liczb do jego zapisu. Będą to współrzędne tych trzech punktów w układzie współrzędnych (x,y). Trójkąty przesunięte wyeliminujemy zaczepiając jeden z wierzchołków w początku układu. Ponieważ jedna para liczb (0,0) nie niesie żadnej informacji, to zostały nam jeszcze cztery. Aby wyeliminować obroty dodatkowo zaczepiamy drugi wierzchołek gdzieś na osi Ox, czyli w jakimś punkcie (a,0). Znów mamy jedno zero, a to daje nam trzy liczby na trójkąt. W zasadzie to już da się zobaczyć, czyli narysować w układzie trójwymiarowym, ale nadal informacja jest powielona. Wyeliminowanie odbić wymaga subtelniejszej metody. Przede wszystkim musimy założyć, że wolny wierzchołek może mieć współrzędne tylko dodatnie, czyli wartości x i y są dodatnie. Jednak tak nie uda nam się wyeliminować dwóch identycznych par trójkątów, np. prostokątnych gdy wolny wierzchołek będzie miał współrzędne (0,b) dla pierwszego i (a,b) dla drugiego (odbite względem osi x=a/2). Par podobnych trójkątów jest tu nieskończenie wiele, a do tego mamy jeszcze przeskalowane, gdy wolny wierzchołek jest np. w punkcie (0,a) oraz w (t,t), dla takiego t, że tworzy się tam kąt prosty.

Zanim wykonamy kolejny krok przyjrzyjmy się sytuacji. Mamy trzy rodziny trójkątów prostokątnych (w zależności od wolnego wierzchołka): 1) cała dodatnia półoś Oy, 2) cała półprosta pionowa x=a, 3) górny półokrąg S0 o środku w punkcie (a/2,0) i promieniu a/2 - to akurat wiemy z wywodu o kątach opartych na cięciwach. Analogicznie mamy trzy rodziny trójkątów równoramiennych: 1) cała półprosta x=a/2, 2) ćwierć okręgu S1 o środku w (0,0) i promieniu a, 3) ćwierć okręgu S2 o środku (a,0) i promieniu a. Na przecięciu poszczególnych rodzin prostokątnych z równoramiennymi znajdują się różne szczególne przypadki, np. trójkąt równoboczny, albo trójkąt jednocześnie równoramienny i prostokątny. Cały odcinek od (0,0) do (a,0), to są trójkąty zdegenerowane. Gdy spojrzymy jeszcze raz na powyższe wywody, to zauważymy, że ten parametr a jest tam potrzebny jak piąte koło u wozu. Mogliśmy go już dawno wyeliminować poprzez warunek a=1, ale wtedy mielibyśmy trochę kłopotu z właściwym odczytaniem różnych informacji.

Zostały nam już tylko dwa parametry, czyli współrzędne wolnego wierzchołka. Zastąpimy je teraz dwoma innymi, będącymi długościami odpowiednich boków trójkąta u i v. Wreszcie możemy pozbyć się redundancji, czyli nadmiarowej informacji, gdy zażądamy, aby zawsze zachodził warunek u ≤ v ≤ 1 (bok na osi Ox jest najdłuższy), a bok u wychodził z punktu (1,0) (pamiętamy, że wcześniej (a,0), ale przyjęliśmy a=1). Teraz nasz wolny wierzchołek może poruszać się tylko w ograniczonej przestrzeni pomiędzy półprostą x=1/2, półprostą x=1 i ćwiartką okręgu o środku w (0,0) i promieniu 1. To już wszystko. Każdy unikalny kształt trójkąta jest reprezentowany przez dokładnie jeden punkt z tego obszaru. Nawet trójkąty zdegenerowane. Wewnątrz obszaru okrąg S0 oddziela od siebie trójkąty ostrokątne od rozwartokątnych; na półprostej x=1/2 są wszystkie trójkąty równoramienne rozwartokątne, a na wycinku okręgu S2 wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne - przecinają się w punkcie dla trójkąta równobocznego. Znacznie "porządniej" sytuacja wygląda, gdybyśmy od samego początku najdłuższy bok trójkąta umieścili pomiędzy punktami (-1,0) i (1,0), bo wtedy okazuje się, że wszystkie kształty trójkątów (klasy) poindeksowaliśmy punktami (x,y) z pierwszej ćwiartki takimi, że (x + 1)² + y² < 2, 0 ≤ y,x.

To jest naprawdę świetne ćwiczenie i dodam, że w większości napisałem ten tekst bez sporządzania rysunków. Z pamięci. Taka umiejętność przydaje się bardzo, gdy rozwiązujemy znacznie trudniejsze problemy matematyczne, a także przy programowaniu. Więcej ciekawostek z zakresu trygonometrii i geometrii podam w następnym artykule. Celowo w tym przydługim wstępie nie zamieściłem obrazków, gdyż można je łatwo wygooglować, a mi chodziło głównie o poruszenie śpiącej wyobraźni.