|
|
Dark Regis
Wracając do Russela, to jego paradoks był zbyt prosty, żeby stanowił istotną przeszkodę. Chodzi o golibrodę. W matematyce "nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów". Nie zagłębiając się w szczegóły z poprzednich epok i przepisywane z książki na książkę, z doktoratu na doktorat i z magisterki na magisterkę siano logiczne, zastanówmy się nad takim oto obiektem. Jeżeli potrafimy określić, że dwa zbiory są równoliczne, to możemy na zbiorze tych zbiorów określić relację równoważności. Weźmy więc zbiór tych zbiorów X i tę relację R. Czym jest X/R? No to pozostaje nam pytanie, czy my rzeczywiście mamy skuteczną metodę określania równoliczności. Dodanie w trakcie budowy aksjomatyki teorii zbiorów hipotezy continuum jako niezależnego od pozostałych aksjomatu mówi nam, że nie. Pozbyto się tu kłopotu przez przyjęcie jako aksjomatu jednej z dwóch możliwości: hipotezy w jej brzmieniu, albo jej zaprzeczenia. No to pytamy dalej, czy my jesteśmy w stanie stwierdzić, że każde poprawnie zbudowane zdanie jest prawdziwe lub nie? Teraz przechodzimy na poletko Goedla i Chaitina (tym m.in. zajmował się Hilbert w swojej teorii numeracji):
ii.pwr.edu.pl
Co to jest prawda w logice? Co znaczy, że zdanie jest prawdziwe, nieprawdziwe, spełnialne, niespełnialne itd.? Co to oznacza dla formuł z kwantyfikatorami? Czym jest konsekwencja logiczna (vide operator domykania jak w topologii)? Co to jest system dowodzenia? Dlaczego zakłada się tam skończoność liczby kroków dowodu? No i wreszcie jak zjeść teraz zdania prawdziwe bez żadnego dowodu?
No to znów. Mamy przestrzeń topologiczną z operatorem domykania (przypadkiem okazuje się ona zbiorem zdań pewnej logiki). Możemy więc określić różne relacje równoważności R pomiędzy zdaniami ze zbioru X tej logiki: ze względu na długość, liczbę zmiennych, długość dowodu, rozmiar modelu (oczywiście mam na myśli najmniejsze), a potem tworzymy X/R dla jakiegoś R. Czy jesteśmy w stanie wykonać taką operację skoro są zdania prawdziwe bez dowodu (w teorii obliczalności są niepoliczalne)? Oczywiście zaraz pojawi się kolejna hierarchia ze względu na złożoność algorytmów i słynny problem N=NP.....
Jak Pani widzi, gdziekolwiek nie podrapać, to pod lakierem kryją się same znaki zapytania. Innej odpowiedzi na szereg pytań udzieli absolwent szkoły rytu moskiewskiego, jak np. Warszawa, zaś innej absolwent uczelni anglosaskiej. Mimo to niektórym naukowcom się wydaje, że nauczyli się i wiedzą już wszystko, a jako dowód przedstawiają pracę pewnego matematyka. Zupełnie tak samo reagują w życiu. Na pytanie czy potrafią policzyć funkcje zeta dla porządku opartego o spektrum pierścienia wielomianów podzielonego przez pewien ideał, zaczynają opowiadanie u kogo to nie studiowali i na jakie wykłady to nie chodzili. To jest mniej więcej ten sam dowcip jak ten w filmie "Chłopaki nie płaczą" o uzdrowicielu Harrym z Tybetu i tym koledze co siedział obok. Zresztą świetna seria dowcipów. Nie da się nauczyć kogoś przez indukcję. |
|
|
Edeldreda z Ely
To jest właśnie moc sztuki - "nie miecz, nie tarcz bronią języka - lecz arcydzieła..." |
|
|
Jan1797
W jeden dzień Sanah zrobiła więcej dla poezji naszego narodu niż wszystkie portale społecznościowe milionem tweetów w miesiąc
"Ona potrafi" |
|
|
Edeldreda z Ely
Pozwolę sobie nie do końca się zgodzić z zarzutem zawiłości, a postawić tezę, że stopień zawiłości odpowiada stopniowi trudności zagadnień. Poparciem dla niej są słowa Russella (nie wiem, dlaczego niektórzy mówią: Russlla) , który w swoich pamiętnikach wyznał, że wysiłek intelektualny towarzyszący pisaniu tego dzieła był tak wielki, że już nigdy później nie odzyskał takiej kondycji intelektualnej, jaką wówczas reprezentował.
Czyli: parafrazując jednego z blogerów: to nie są proste rzeczy 😉 |
|
|
Dark Regis
Po przeczytaniu powyższego muszę po raz trzeci uzupełnić, bo tam zabrakło bajtów ;)
LLPO wiąże się z zasadą logiczna wyłączonego środka (patrz operator równoważności), który na kanwie pozostałych aksjomatów matematyki (klasycznej) jest równoważny aksjomatowi wyboru i lematowi Kuratowskiego-Zorna. Przykład takiej równoważności jest opisany tu:
documents.kenyon.edu
Sprawa druga to Alonzo Church. Zna Pani tezę Churcha-Turinga?
en.wikipedia.org
Sprawa trzecia to istnienie logik innych niż binarna (bez skojarzeń z niebinarnością, proszę ;)) i zagadnienia np. automatyzacji wnioskowania (sztuczna inteligencja, informatyka):
olx.pl
Jak sobie jeszcze coś przypomnę to tu wrzucę, ok? |
|
|
Dark Regis
Smullyan to jeden z badaczy logik modalnych, uczeń Churcha.
Reasumując, mam u siebie w regale dzieło Hilberta o teorii numeracji, więc mniej więcej wiem jak zawile może wyglądać dzieło matematyczne z tamtego okresu. Zajmowałem się też przez chwilę Eulerem i jego spojrzeniem na arytmetykę. Dlatego uważam, że tłumaczenie Principia należy osadzić właśnie w ramach teorii kategorii i toposów, bowiem w innym przypadku moglibyśmy zakopać się w paradoksach, których próbki powyżej zasygnalizowałem. O, i przy okazji przypomniał mi się jeszcze paradoksalny rozkład kuli u Banacha, czyli paradoksy z teorii miary. Mam tu teraz pod ręką takie dziełko pt. "Geometryczna teoria miary" Herberta Federera, które powstało na długo przed spopularyzowaniem fraktali w matematyce. Czy wie Pani, że gdyby to dzieło recenzował któryś z "twardych" algebraików, ktoś zajmujący się teorią pierścieni albo geometrią algebraiczną, to wyrzuciłby trzy czwarte zawartości do kosza? To jest właśnie problem przed którym stają ludzie niezaznajomieni z matematyką, biorący zbyt serio tezę o jedności całej matematyki i uznawaniu wzajemnie wniosków płynących z analizy i topologii/teorii miary przez algebraików, geometrów i logików, albo wniosków płynących z algebry uniwersalnej, logiki i geometrii przez analityków i topologów. Przykładem niech będzie chociażby pojęcie kategorii. Algebraik powie, że jest to grupoid częściowy o pewnych własnościach, zaś analityk najpewniej nazwie to bzdurą. Obaj nie będą mieli racji. Algebraik myli się, bo próbuje upchnąć w szczególną kategorię zbiorów i funkcji Set wszystko to, co dzisiaj wiemy już o kategoriach, a więc także toposy. Analityk z gruntu nie lubi żadnych ścisłych gorsetów, które by mu przeszkadzały w swobodnym używaniu nieskończoności. Prawda na pewno nie leży po środku, tylko tam gdzie leży, albowiem (jak pisałem w poście powyżej) każda drobna zmiana języka matematyki może doprowadzić do katastrofalnych konsekwencji. Pewien Czach np. wymyślił kategorię zbiorów, które wszystkie zachowują się jak zbiory skończone i zbudował na tym algebrę, analizę, rachunek różniczkowy itd. Z kolei inni matematycy mogą wziąć dowolny pierścień (struktura algebraiczna) i jego spektrum (zbiór ideałów pierwszych, uogólnienie liczb pierwszych) i zasadnie powiedzieć, że pierścień R jest pierścieniem funkcji na zbiorze SpecR i zacząć wprowadzać tam całą resztę matematyki z całkami, różniczkami, operatorami itd. Tymczasem spektrum pierścienia liczb całkowitych z kształtu to jest to 2-3-5-7-...-p-... i samotne zero, które jest pod spodem wszystkiego. Czy na takim zbiorze można liczyć całki i pochodne? Okazuje się, że tak. O tym właśnie jest teoria toposów, która traktowana jako wzorzec postępowania jest ponad całą matematyką uważaną za współczesną. Dodam na koniec, że obejmuje też informatykę (bo tu są też logiki modalne, np. temporalne) i pewne aspekty fizyki matematycznej (proszę zobaczyć orbifoldy jako uogólnienie manifolds = rozmaitości w teoriach strun, bran itp.). |
|
|
Dark Regis
@Edeldreda z Ely, prawdę powiedziawszy nie bardzo rozumiem sformułowanie "z polskiego na nasze". Ja posługuję się językiem polskim od urodzenia i nie zauważyłem dotąd, żeby język matematyczny aż tak bardzo odbiegał od języka potocznego ;)
Ale oczywiście pomogę Pani zrozumieć tekst w zakresie, w którym będę mógł sam go zrozumieć ;).
Poza tym dla mnie to nie jest żaden istotny argument, że ktoś tam napisał dzieło, które przeczytało tylko czworo ludzi na świecie. Po prostu chyba zbyt zawile pisał. Niestety nie miałem styczności z Principia Matematica, gdyż nie zajmuję się zazwyczaj podstawami matematyki, lecz jej rozwiniętą formą przedstawioną w teorii kategorii i funktorów. Tamże jest też rozwinięta koncepcja toposów jako "miejsc uprawiania różnych matematyk". Czy słyszała Pani o intuicjonizmie lub konstruktywizmie w matematyce? Podam może przykład pochodzący bodaj od Markowa:
1. Limited principle of omniscience: en.wikipedia.org
Chwilowo nie będę tłumaczył szczegółowo, a chodzi tam po prostu o to, że wyrzucenie aksjomatu wyboru (równoważnego na bazie pozostałych aksjomatów teorii zbiorów ZFC, lematowi Kuratowskiego-Zorna) powoduje istotne zaburzenie w strukturze zdań prawdziwych w matematyce klasycznej (budowanej w oparciu o aksjomaty). Jakie to zaburzenia? Po uzunięciu lub zmianie aksjomatu na słabszy/silniejszy (patrz Stanford Encyclopedia of Philosophy artykuł o Axiom of Choice), zaczyna się cała kaskada zmian: dwa zdania równoważne stają się albo nierównoważne, brak jest płaszczyzny do udowodnienia równoważności, albo jedno staje się konsekwencją drugiego ale nie odwrotnie. Aby to zrozumieć trzeba poczytać o teorii zbiorów uporządkowanych, których najwybitniejszym przedstawicielem są kraty, zaś najbardziej zaawansowanym algebry Boole'a i ogólniej Heytinga. To właśnie w oparciu o najprostszą algebrę Boole'a {0,1} oparta jest cała klasyczna matematyka. Za to w oparciu o algebrę Heytinga w teorii kategorii stworzono zupełnie nową "matematykę" (tu jest ze dwie strony wyjaśnień;), która jest oparta o logiki modalne. W skrócie telegraficznym LLPO pokazuje, że przejście od algebry Boole'a do algebry Heytinga (bo tym skutkuje wyrzucenie AC) powoduje, że rozsypuje nam się podstawowy obiekt w matematyce i jednocześnie podstawowa metoda: obiekt liczb naturalnych równoważny zasadzie indukcji. Czy można bez niego żyć? Ależ jak najbardziej. Tu znów trzy strony wyjaśnień, które opisują model Peano i dlaczego ta teoria nie jest kategoryczna w logice I rzędu (ale jest w logice II rzędu, z tym, że to z kolei nic nie wnosi). Jak płynnie można przejść pomiędzy różnymi modelami arytmetyki Peano gdy się nie uważa pokazuje przykład paradoksu, który wymyśliłem. Z kolei "konieczność" logiki Boole'a ilustruje Najtrudniejsza Zagadka Świata o trzech boginiach autorstwa Raymonda Smullyana (dlaczego nie można jej rozwiązać bez operatora równoważności, co jest równoważne AC).
cdn |
|
|
Edeldreda z Ely
Tak, zastosowano jakiś baśniowy i wymowny filtr 😊 |
|
|
Edeldreda z Ely
W Bawarii nie byłam, ale mam do Pana, jeśli Pan pozwoli pewną prośbę. Jest taki artykuł z 1948 roku Ojca Marii Bocheńskiego "O analogii". Pojęcie analogii jest fascynującym tematem i raz na jakiś czas siadam do tego artykułu, sprawdzając, czy jestem już wystarczająco mądra, by go zrozumieć i na razie bez satysfakcjonujących rezultatów.... Bocheński pisze w nim, że zakłada, iż czytający obeznany jest z Principia Matematica... Jak pewnie Pan wie, anegdota podaje, że Russell i Whitehead twierdzili, że Principia przeczytało i zrozumiało 5 osób (wśród tego, aż trzech Polaków - zakładam, że mieli na myśli, m. in. Chwistka). Czy kiedyś, w wolnej chwili, gdybym przysłała skan na pańskiego maila, przetłumaczyłby Pan ten artykuł z polskiego na nasze? 😏 |
|
|
sake2020
Wspomniał Pan artystkę Ninę Hagen.Tak to wielka postać w muzyce.Nawet nie wiedziałam,że przez pewien czas mieszkała w Polsce w Krakowie,była znajomą marszałka Terlekiego. |
|
|
sake2020
Mnie oprócz pieknej muzyki podoba się klimat i urokliwość scenerii. Tak sobie wyobrażam czasy wiedźmina Geralta, nimf ,druidów Może to Pani wyda się śmieszne,ale spokój tego miejsca,pustego jeziora jesienną chyba porą nastraja własnie baśniowo. |
|
|
Dark Regis
O przepraszam, miała być wersja wokalna Nibelunga:
youtube.com
O jeszcze bonus: youtube.com |
|
|
Dark Regis
Bardzo ciekawa aranżacja i również mi się ten utwór podoba. Głównie w miejscach, gdzie konieczne jest uwypuklenie śpiewanego tekstu. Dykcja i artykulacja artystki świetne jak na współczesne czasy, brzmi tak trochę z ukraińska (palatalizacja ;). Nie żebym się czepiał, bo sam pochodzę z regionu, gdzie na wsiach mówi się wciąż po chachłacku. Jednak co do artyzmu, to bym podyskutował. Artyzm to coś kompletnie innego. Proszę zobaczyć to w krzywym zwierciadle w tym oto utworze:
youtube.com
Proszę się nie przejmować tymi niemieckimi wąsatymi Zenkami w spoconych podkoszulkach, lecz posłuchać głosu samej Niny Hagen. Utwór rozpoczyna niemal jak u Wagnera. Była Pani w Bawarii? Tam jest to świętość. Jak byłem w Burghausen, to kupiłem sobie nawet płyty miejscowej orkiestry ze względu na uwertury. W linku poniżej pojawiają się m.in. waltornie. Nie lubię tego instrumentu. Kiedyś na przeciwko mojego wuja w Warszawie mieszkał waltornista z filharmonii, który pewnego dnia wypróżnił się na wycieraczkę w odwecie za psa. Nie rozumiem takiej ekspresji i wydało mi się zrazu, że to przez dmuchanie w zbyt cienką rurę dochodzi czasem w mózgu muzyków do defektu, skutkiem czego może być "przypadkowa" defekacja. Ale nie brnijmy w szczegóły. Oto próbka:
youtube.com
No więc Nina zakpiła sobie z tej niemieckiej świętości. Dalej było już tylko gorzej. Po uwerturze utwór zmienia się płynnie w jakiś psychodeliczny rock, rzekłbym suitę Pink Floydów. To co David Gilmour wycisnął był z gitary, ona z łatwością zmajstrowała własnym głosem. Słuchając tego serce tak krwawi, że sam Ojciec Pio z Pietrelciny poczułby się tu niezręcznie. Ja zawsze powtarzam, że do artyzmu trzeba długo dojrzewać niczym sery pleśniowe. Wtedy dopiero słuchacz osiąga poczucie wybornego smaku. Tylko czym jest smak? Oto proszę Górecki:
youtube.com
Gdy się tego słucha, to zaczyna się w jedno składać parę wątków współczesnych: na pierwszy rzut oka, a raczej ucha, to brzmi niczym wynurzenia Marii Peszek pt. "Naku*wiam zen", partia wokalna z ojcem w obszytych futerkiem bamboszach, potem pojawia się skojarzenie ze starym kościołem gdzieś na prowincji i rozstrojonymi organami z dziurawym miechem, aż wreszcie na koniec widzimy już w wyobraźni scenę jakby z kreskówki, gdzie Myszka Miki goni ulicą złodzieja albo Pies Huckleberry próbuje otruć notorycznego termita. Chcę tu po prostu zaznaczyć, że w starciu z prawdziwym artyzmem szeregowy słuchacz nie ma lekko, a wręcz ma czasem konkretnie przegwizdane. Sądzenie po pozorach to z kolei wyróżnik złego słuchacza, chałturnika młoteczka i strzemiączka, bez specjalnych zalet.
Aby podtrzymać nastrój i gładko powrócić do wątku pierwszego, zaproponuję na koniec innego artystę, który śpiewa o tym, o czym tu stale myślą i czasem złowrogo milczą co poniektórzy komentatorzy, gdy widzą takie jak ten elaboraty:
Nohavica: youtube.com
Z pozdrowieniami ;)) |
|
|
Edeldreda z Ely
I to jeszcze, pragnę zwrócić uwagę - wypuszczone w Dzień Edukacji Narodowej... |
|
|
u2
Magiczna sceneria klipu i magiczny tekst wieszcza Julka Słowackiego. Brawa dla młodej artystki za sięgnięcie do polskiej klasyki i piękne soulowe wykonanie :-) |
