|
|
Dark Regis
Może z projektu o nazwie NASK? Albo wcześniej łącza bibliotecznego na PW ze Szwecji do ściągania zachodnich publikacji naukowych, systemu komputerowego KAMAK z Węgier ("Do you know what is PIP!?"). Później może z takiej śmiesznej książeczko-filmu "Komputerowa Szkoła...", niewybrednych żartów studentów, które błąkają się po sieci, z obecnych firm, IDG.pl, artykułu w Computerworld, a może z powodu brata Wiktora, fizyka jądrowego pracującego w Rosji :)) Nie mam zielonego pojęcia...
youtube.com
computerworld.pl |
|
|
Dark Regis
Ach jeszcze te "zapowiadacze" ;)
Jest takie komiczne ujęcie małego twierdzenia Fermata. Jeśli w dowolnej bazie B w rozkładzie repunitu J(B;p-1) jest dzielnik p, to znaczy, że p jest liczbą pierwszą. Jeśli dodatkowo p^2 dzieli J(B;p-1), to p jest liczbą pierwszą Wiefericha dla bazy B. Od tej reguły są wyjątki:
1) jeśli q jest dzielnikiem bazy B, to nigdy nie wystąpi w rozkładach.
2a) jeśli q jest dzielnikiem pierwszym "dziewiątki" systemu, czyli B-1, to q zapowiada się samo: J(10;3) = 3*37 albo J(11;5) = (dec 16105=5*3221) i J(11;2) = 2*2*3, bo 10-1=9=3*3, 11-1=10=2*5.
2b) jeśli q jest dzielnikiem "jedenastki" systemu, czyli B+1, to w systemie -B mamy zapowiadanie wstecz:
J(-10;2) = 3*17 (-9=-3*3) normalna zapowiedź 3 z MTF
J(-10;3) = 7*193 (91=7*13)
J(-10;4) = 3*17*101 (-909=-3*3*101) zapowiedź wstecz 3
Oczywiście dla baz ujemnych też mamy wariant 2a, np.:
J(-4;2) = 11 (-3 prime) zapowiedź 3 z MTF
J(-4;3) = 111 ([31]=13 prime)
J(-4;4) = 11*101 (-[303]=-51=-3*17) zapowiedź wstecz 3 ("dziewiątka")
J(-4;5) = 131*321 ([3031]=205=5*41) samozapowiedź 5 ("jedenastka")
Dla B=-10 jest tak:
J(10) = 3*17*161*331*11111 (-909090909=-3*3*41*271*9091) brak zap. 11
J(11) = 191*183*16113*12839 (9090909091=11*23*4093*8779) samozap. 11 "jedenastka"
J(12) = 3*3*7*17*193*177*101*11901 (-90909090909=-3*3*3*7*13*37*101*9901) brak zap. wstecz.
Czyli będą to warianty 2a') i 2b') dla baz ujemnych.
I to jest właśnie uzupełnienie Małego Twierdzenia Fermata dla baz całkowitoliczbowych. Ciekawostek spodziewam się dopiero po opracowaniu mechaniki poruszania się rozkładach z pierwiastkami sqrt(n): arytmetyki, liczb pierwszych, nowych klas zapowiadaczy, wreszcie rozwinięć "dziesiętnych" okresowych jako analogii dla ułamków wymiernych.
Mamy np. problem z rozkładem J(10;323), tutaj: stdkmd.net
Ale widać dwa wzorce: J(323) = (2071723 * 5363222357) * 851908127328669427 * J(19) * [1056451947...<271>] (16.15%)
...=J(17)*J(19)*9000000000000000 09090000000000000 09090900000000000 09090909000000000 09090909090000000 09090909090900000 09090909090909000 09090909090909090 09090909090909090 99090909090909090 99990909090909090 99999909090909090 99999999090909090 99999999990909090 99999999999909090 99999999999999090 99999999999999991 (288 cyfr w 17 blokach po 17; wzorzec przechodzenia od "9" do "0")
...=J(17)*J(19)*900 0000000000000090900 0000000000009090900 0000000000909090900 0000000090909090900 0000009090909090900 0000909090909090900 0090909090909090900 9090909090909090990 9090909090909099990 9090909090909999990 9090909090999999990 9090909099999999990 9090909999999999990 9090999999999999990 9099999999999999991 (288 cyfr w 16 blokach po 19 inny wzorzec zanikania "9")
Fajne, co nie? A są tam tylko rozkłady liczb do J(300000) około 300KB cyfr ;))
W tym ostatnim rozkładzie warto zwrócić uwagę na 2+ rowery (inne rozłożone?) typu 100009999999899989999000000010001<33> |
|
|
Dark Regis
cd. Dla pierścieni liczbowych kwadratowych rzeczywistych można zastosować podobny trick przeliczania wartości względem bazy B, a nie tłuczenie rowera z pierwiastkiem. Jest tu nawet jeszcze śmieszniej, bo można natrafić na nieskończony zbiór jedynek (w przykładzie byłyby to jakby rozwiązania ad+cb-3ac=0, bd-7ac=1), które zmieniają wygląd kodów i rozkładów. Można mieć więcej niż dwa warianty rozkładu (Class Number), które są niezależne od tych jedynkowych modyfikacji wyglądu. Dla liczb pod pierwiastkiem, które nie są wolne od kwadratów mogą pojawić się dzielniki zera (w przykładzie byłyby to rozwiązania ad+cb-3ac=0, bd-7ac=0). Wreszcie w układzie współrzędnych (1,B) rysowałyby nam się jakieś inne "smoki".
W takich rozkładach liczę na regularności takie jak te dla kwadratów baz i sześcianów baz, a może i wyżej. No bo raz system pozycyjny dla Z(sqrt(n)) uzyskujemy jak w powyższym przykładzie i w zasadzie jest on dla Z(sqrt(n),1/2), nie bardzo dobry zapis, bo nie chodzi o dołączenie wszystkich potęg 1/2, ale tylko o tę dwójkę z mianownika. Drugim razem wynika on z własności kwadratów baz np. B=sqrt(10) i -B, gdzie repunity, czyli liczby postaci N+Msqrt(10) służą do rozbicia każdego nieparzystego repunita J(2n+1) w bazie B^2. Przykład: J(4;13) = [222223*1333333] = J(-2;13)*J(+2;13), bo 2="10" binarnie, 3="11", 1="01". Dwójkowo J(-2;13)=[101010101011], co ciekawsze w negadwójkowym to odwrotnie [11010101010101](-2)=[11]*[1111111111111] jako drugi wariant zapisu ([11] to -1). Lepiej to widać w dziewiątkowym 3^2: J(9;13) = [666667*1444444] = J(-3;13)*J(+3;13), bo 4="11" w bazie 3, 6="20", 7="21". Mamy [202020202021](3) i [12020202020202](-3)=[12][1111111111111] ([12]=-1). Wreszcie trzecie potęgi i analogicznie rozkłady dla pierwiastków trzeciego stopnia widać na przykładzie B=8=2^3, B=27=3^3. Np. J(8;31) = [17777777777*44444444446666666667] i ten drugi to "cofnięty" wariant dziesiątkowego rowera typu J(39) = 3*37*53*79*265371653*900900900900990990990991 (ostatnia). Ponadto w B=8 jest druga podobna rodzina J(8;17)=[377777*22222266667]. Trzeciej rodziny nie ma, bo to wynika z takiego rytmu rozkładów dla J(3n)=111*coś:
2 : 7*11*13 = 11*91
3 : 3*333667 -
4 : 7*11*13*101*9901 = 1111*900991
5 : 31*41*271*2906161 = 11111*90090991
6 : 3*7*11*13*19*52579*333667 -
7 : 43*239*1933*4649*10838689 = 1111111*900900990991
8 : 7*11*13*73*101*137*9901*99990001 = 11111111*90090090990991
9 : 3*3*757*333667*440334654777631 -
Można policzyć na kalkulatorze. |
|
|
Dark Regis
@jazgdyni
U mnie również jest "koszula bliższa ciału" i bardziej jestem takim "inżynierem matematyki" niż teoretykiem. Tak mi zostało po PW. Ot, preferuję coś w rodzaju stylu uprawiania matematyki przez Donalda Knutha. Ponieważ nie lubię zostawiać otwartych kwestii, to pokażę na palcach, jak się liczy w "smoczej arytmetyce" w pierścieniu Z(sqrt(n)).
No więc to chodzi tak: w bazie B=(-3-isqrt(19))/2 (z plusem przed sqrt analogicznie, a nawet identycznie na poziomie zapisu). Pierwiastek z -19 oznaczę jako v, "dziesiątka" B=(-3-v)/2, "setka" BB=(-3-v)^2/4=(-5+3v)/2. Zapisuję to w zależności od bazy B, czyli B^2=-3B+coś=(9+3v)/2+coś=(-5+3v)/2 stąd coś=(-14+0v)/2=-7, czyli B^2=-3B-7. Liczymy dalej B^3=BB^2=18-v=2B+21,... itd. Darujemy sobie to przeliczanie na v. "Setka" + 3 "dziesiątki" da nam -7, a stąd -1=[136] (nawiasy kwadratowe oznaczają już reprezentacje liczby w tym systemie pozycyjnym). Analogicznymi sztuczkami dowodzimy, że aby zmienić rząd liczby o 1 trzeba dodać nie mniej niż 6 cyfr. Jest to więc system siódemkowy, tyle że z niestandardową (niewymierną i zespoloną) bazą. Teraz można zbudować tabele do przeliczania:
[1]=1,...,[6]=6, [10]=B (warunek systemu pozycyjnego)
[11]=B+1,...,[16]=B+6, [20]=2B (tu skok, dwie dziesiątki)
...
[60]=6B,...,[66]=6B+6, [100]=-3B-7 (B^2, warunek systemu pozycyjnego)
...dalej analogicznie ze skokami [(X-1)6] -> [X0]:=[(X-1)0]+B po każdej szóstce, za skokami [(X-1)66] -> [X00]:=[(X-1)00]-3B-7, ... itd. dla wyższych potęg. Przykładowo [1111]=(2B+21)+(-3B-7)+B+1=15, no bo przecież z tego warunku wyliczyliśmy bazę, prawda?
Teraz jak chodzi tutaj dodawanie: przykład [2426]+[66]=(-6B+20)+(6B +6)=26, mamy wartość, nie mamy zapisu. Robimy tak jak w szkole "słupek" ale każde przeniesienie, to [124] na następną pozycję - wynika to ze sporządzonych wcześniej tabel. Czyli ...=[1245]+[12410]+[2400], bo 6+6=7+5 przeniesienie, 2+6=7+1 p., 2 i 4 na początku bez p. Dalej ...=[124355]+[15000], bo 5+0+0=5, 4+1+0=5, 2+4+4=7+3 p., 15000 na początku bez przeniesienia. I teraz uwaga, bo wpadamy w pętlę nieskończona jak Mrówka Langtona, do nieskończoności ucieka takie dodawanie [124]+[13]=[1240]+[130]=[12400]+[1300] zostawiając za sobą ogon z samych zer. Tak więc wynik dodawania to [2355]=2(2B+21)+3(-3B-7)+5B+5=26, czyli się zgadza :)
Mnożenie w słupku tez można wykonywać w analogiczny sposób (brak tu miejsca). Teraz kwestia rozkładu na czynniki pierwsze. Mamy tu pierścień z niejednoznacznością rozkładu, ale sobie poradzimy. Możemy tłuc orzechy tak (aB+b)(cB+d) = acBB+(ad+cb)B+bd = ac(-3B-7)+(ad+cb)B+bd = (ad+cb-3ac)B+(bd-7ac) = sB+t, czyli s=ad+cb-3ac, t=bd-7ac, albo pomyśleć trochę. Można przecież zrobić to "metodą sita", bo to liczby całkowite w tym pierścieniu, mnożyć od mniejszych i sprawdzać co wyszło, jaki zapis [a...b]. Uwzględniamy też inny zapis dla negacji liczby np.
J(2) = 11 (B+1=B+)
J(3) = 136*2*13 = 135*13 = 2*124 (-2B-6) (-1=[136])
J(4) = 3*5 = 11*101 (15=3*5 lub (B+1)(-3B-6))
J(5) = 11111 = ? z sita. |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
Ważne pytane - skąd ja znam Marka Peryta? Będę się teraz nieźle dręczył.
Ad rem. Wracam do tego, co napisałem - na początek trzeba się nauczyć słownika. Bo to jest jak obcy język. No a potem - zrozumieć. Koniecznie zrozumieć, bo tego nie da się wyuczyć. A to kurcze totalna zmiana paradygmatu.
Tam mi gdzieś mignęło i mnie uspokoiło i zachwyciło - matematyka nie zajmuje się niczym innym, tylko czasem i przestrzenią. Znacznie lepiej się po tym czuję. Żadna abra-kadabra dla wariatów.
Aha, szkoda, że jest potrzebna translacja między poszczególnymi dziedzinami. Warto, by ktoś popracował i ujednolicił. |
|
|
Dark Regis
No dobrze już, odpuszczam profesorowi. Zwłaszcza, że byłem kiedyś w Toruniu na UMK w latach 80-tych z kolegą z roku jako reprezentanci Warszawy na studencką konferencję kosmologiczną i przyjęto nas tam ciepło i wylewnie. Niemal jak delegację naukowców z Princeton ;) Podbiegła do nas wtedy organizatorka, pani doktor, z rumieńcem na twarzy i okrzykiem "O, panowie z Warszawy tu są!" :] W zasadzie to nie miał kto pojechać, bo zaproszenie przyszło ogólnie na koło naukowe KAMAK prowadzone przez Marka Peryta, a my - studenci matematyki stosowanej - przechodziliśmy wtedy obok gabinetu z tragarzami :))) Tak zaczął się mój flirt z kosmologią. Później poznałem dr Sasina, który obiecał rekomendować mnie ks. prof. Hellerowi. Nic jednak z tego nie wyszło, bo musiałem po 3 roku ewakuować się z PW na UW, z przyczyn "proceduralnych" czyli po prostu politycznych. Nie pomogłoby mi pewnie nawet to, że dziekan główny FTiMS-u (Pluciński) był kumplem z wydziału i chyba nawet z roku (choć na uniwerku zawsze obowiązywały bardziej kierunki niż roczniki, np. probabilistyka, algebra z logika itp.) mojego Ojca. Co profesora to dodam jeszcze, że ja raczej poszedłem ścieżką prof. Semadeniego, który napisał chyba pierwszą w Polsce książkę o teorii kategorii (zaczytywałem się o tym w bibliotece PAN na Śniadeckich na drugim roku PW), a wkrótce potem kupiłem w ruskiej księgarni w PKiNie książkę "Teoria Toposów" P'T. Johnstone'a. To były czasy jeszcze przed Okrągłym Stołem, więc bardzo dawno.
1) Tom 45 BM "Wstęp do teorii kategorii i funktorów" - Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger. Na Allegro można kupić za 9 zł.
2) Ad. toposów proponuję to (przynajmniej wstęp): fuw.edu.pl
W algebrze abstrakcyjnej też są kategorie, ale jako grupoidy częściowe łączne. To tak jakby stworzyć jakiegoś potworka z działaniem binarnym, stwierdzić brak łączności działania, zamaskować to jakąś relacją zwrotną i przechodnią R i tylko dla tych par (a,b), gdzie aRb inaczej R(a,b)=1 (true), badać własności operacji, która może okazać się na tym wycinku łączna. Trochę to skomplikowanie wygląda, ale nie ma innych środków komunikacji w tym zakresie.
3) Tu jest taki skondensowany wykład o logikach w toposie a la P.T. Johnstone: oliviacaramello.com
4) A tu praca z CERN-u (toposy i fizyka): cds.cern.ch
5) albo arxiv.org
6) Warto zwrócić uwagę na temat "toposy i informatyka": nikgrozev.com
Nowy paradygmat bowiem wygląda tak: "logika (logiki niestandardowe) - teoria kategorii (matematyka) - informatyka (programowanie funkcyjne) - fizyka matematyczna (łącznie z kwantową)". Zagadnieniem głównym jest translacja pomiędzy tymi obszarami. |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
Zaraz, zaraz... nie napadałbym tak zaraz na tego gościa z Torunia. Wprost przeciwnie. Osobiście bardzo mu jestem wdzięczny. Gdyż w tej konkretnej dyskusji stanowi on łącznik pomiędzy MOIM światem a PAŃSKIM światem. Może jestem nieco nietypowy - bo zawsze chcę wiedzieć. I więcej - chcę rozumieć. Tymczasem >>90% ludzi na świecie, jeżeli chodzi o matematykę, to chce tylko tyle, żeby im się rachunki zgadzały.
"Ten pan z Torunia" - profesor Jarzembski, swego czasu nawet prorektor UMK, to ceniony matematyk od wielu lat [ sciencedirect.com ], który pojął, że chyba od nie tak wielu lat, powiedzmy, od prac Cantora, budującego podwaliny nowoczesnej matematyki, matematyka stała się hermetycznym obszarem działań stricte umysłowym, czym, chcąc nie chcąc przypomina filozofię. A żeby było jeszcze dowcipniej - mury grubsze, ściany wyższe, nowoczesną matematykę obudowano wieloma nowymi słowami, ba - nowym alfabetem, a także znakami graficznymi. By postarać się w tym poruszać, to tego dokładnie trzeba się nauczyć, jak liter i podstaw gramatyki w szkole podstawowej.
Zakończyłem studia w 1974. Do emerytury zajmowałem się inżynierią. Ważna w życiu była dla mnie głównie fizyka i wyłącznie matematyka stosowana. W matematyce się tylko liczyło i rozwiązywało zadania. Pan w nowoczesnej matematyce przeprowadza wielce skomplikowane i abstrakcyjne rozważania myślowe. I jak Pan pisze teksty matematyczne, to mają one niemalże zerowe przełożenie dla nie-matematyków. A tego nie lubię. Trzeba objaśniać jak najszerszemu audytorium. To właśnie stara się robić prof. Jarzembski.
Jak na to patrzę i zaczynam pojmować, to dla mnie rewolucyjna zmiana matematycznych paradygmatów. I tak, właśnie tak jak to zostało napisane w "Poukładać matematykę" trzeba iść powoli krok po kroku, by dokonała się umysłowa transformacja.
Podziwiam Pana za to i niewątpliwie jest Pan naukowcem i matematykiem. Czy profesorem - nie wiem. Raczej nie wykłada Pan podstaw nowoczesnej matematyki na pierwszym roku studiów. Jak już, to na trzecim, czyli zakładając, że podstawy są już opanowane.
Rozbudził Pan moje zainteresowanie i ten esej prof. Jarzembskiego będzie bardzo pomocny. Muszę opanować słownik i nową symbolikę. A potem dopiero będę w stanie jako tako podjąć dyskusję i mieć swoje zdanie. Na razie rzuca Pan perły przed wieprze. |
|
|
Dark Regis
A ten pan z Torunia najwyraźniej się nudzi, skoro pomieszał matematykę z filozofią w takich stopniu, jak to widać w załączonym traktacie ;)
Ja bym mu dał lepszą robotę. ;)
Na przykład B=(N+sqrt(M))/2 jest bazą systemu pozycyjnego. Należy znaleźć opis dla arytmetyki w tym systemie [a...b]+[c...d] = [e..f], [a...b]*[c...d] = [g..h] (*), zbadać rozwinięcia "dziesiętne" okresowe [0.(a...b)] i znaleźć kryteria podzielności oraz rozkłady na czynniki pierwsze/nierozkładalne. Kiedyś cytowałem jak to wygląda w systemie z bazą B=(-3+sqrt(19)), czyli w takim, gdzie 15 ma reprezentację [1111].
A w takim systemie B (link niżej) co my w ogóle wiemy?
"Rozwiązanie" w programie Wolfram Matematica x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=8934: wolframalpha.com
które odpowiada na "głupie" pytanie "w jakiej bazie B liczba 8934 ma przedstawienie [111111]?" Uszy przy rozwiązaniu są celowe, bo nie jest to żadna satysfakcjonująca postać, która mogłaby posłużyć do dalszych badań. Już lepsze byłyby "inżynierskie" ułamki łańcuchowe.
Dlaczego to jest interesujące? Bo [111111]=[11][111][91] w każdym systemie (jako pochodzące z rozkładu wielomianu), a co za tym idzie prowadzić może do nieznanego rozkładu na czynniki pierwsze w systemie całkowitoliczbowym, np. dziesiątkowym dla bardzo dużych liczb. To jest akurat krótka liczba ale można wziąć J(p*q*...*r). Inaczej, biorę rowera długości kilku kilobajtów, który jest kluczem szyfrującym w algorytmie RSA (ransomware), przepuszczam to przez niestandardowe systemy liczbowe tak, aby natrafić na wyspę liczb całkowitych, znajduję charakterystyczne cechy rozkładów repunitów ("szwy") i gdy mam szczęście to wracam z rozkładem na czynniki pierwsze. Właśnie dlatego tak ważne są systemy arytmetyki dowolnej precyzji, wykorzystujące wiedzę matematyczną. Kolejnym zastosowaniem inżynierskim będzie precyzyjne naprowadzanie sond i minerów na obiekty w Układzie Słonecznym, ale to dopiero za "kuuuuupę lat", a może dłużej :D
(*) "Smocza arytmetyka" zob. math.uwaterloo.ca
Też "smok Heighwaya", A175337 - OEIS, A176416 - OEIS, R5 Dragon Curve. Porównaj z: math.ucr.edu
download.tuxfamily.org |
|
|
Dark Regis
Muszę też nawiązać do tego fragmentu "z dokładnością do równoważności". Równoważność jest przecież relacją binarną w danym zbiorze czyli podzbiorem w AxA. Używamy funkcji charakterystycznej tego podzbioru do jej opisania: f(a,b)=1 wtw. a~b. Dlatego jeśli w toposie przyjmę inną definicję "wartości prawdy" (klasyfikator podobiektów), to muszę też inaczej odnosić się do pojęcia "równoważności", prawda? Dlatego w tym celu wymyślono słownictwo teorii kategorii, które zakłada raczej strukturalne podobieństwa pomiędzy kategoriami, niż realne ich związki. Przykładem "klasycznym" niech będzie algebra homologiczna. W teorii kategorii posługujemy się tylko pojęciami obiektu, powiedzmy w kategorii Set zbioru, którego punktów nie musimy wymieniać, oraz morfizmów (strzałek), których nie musimy wiązać z żadnymi realnymi funkcjami. Jeśli powiedzmy na kategorii zbiorów i funkcji Set określimy na każdym zbiorze strukturę grupy, to nie będzie to dobra konstrukcja, bo na zbiorze 100-elementowym możemy takich struktur określić multum, także takich, w których dokonujemy permutacji elementów w ramach już utworzonej struktury. Przykład: zbiór {0,1,2,3,...,99} z działaniem dodawania modulo 100, można swobodnie zamienić takim {s(0},s(1),...s(100)}, gdzie s jest dowolną permutacją i rolę zera będzie grał napis 7 no i co z tego? Tylko że to nic nowego nie wnosi. Dlatego mówimy tylko o funktorze zapominania F:Grp -> Set, który zapomina o strukturze grupy na danym zbiorze i milczymy o różnych takich niejednoznacznościach, twierdząc że jest taki funktor sprzężony G:Set->Grp do F.
A co do teorii liczb, to kiedyś już wspominałem, że pewien Chińczyk podał warunki, przy których możliwe jest udowodnienie praktycznie wszystkich starych hipotez np. o liczbach pierwszych bliźniaczych, n-tkach bliźniaczych, hipotezy Goldbacha, Riemanna i Bóg wie jeszcze czego. Tak zwana funkcja Jianga (pewna funkcja sita):
vixra.org
i mamy tam tak dla każdego z problemów, że jeśli funkcja Jianga J(n,w) jest różna od zera, to mamy nieskończenie wiele rozwiązań problemu, ale gdy zero to jest ich skończenie wiele. Na przykład repunitów dla każdej bazy całkowitej jest skończenie wiele, ale dowodu na to nadal brak; podobnie liczb pierwszych Wiefericha ("zapowiadaczy w kwadracie") wydaje się być tam skończenie wiele, ale też dowodu brak. Wreszcie nie wiadomo jaka jest dokładnie grupa klas ideałów dla pierścieni będących rozszerzeniami Z o liczbę algebraiczną kwadratową. Wiemy za to, że każda grupa abelowa tam jest (zadanie domowe: znaleźć ten fakt, twierdzenie ;). W linkowanej z tydzień lub dwa wcześniej pracy o tym właśnie stoi:
mast.queensu.ca
Tam jest mniej więcej tak "nie możemy dowieść, że jest ich skończenie czy nieskończenie wiele" i "nie ma dowodu, że tych pozostałych jest nieskończenie wiele". Czy to aby nie przypomina jako żywo problemu z określeniem dopełnienia zbioru (alg. Heytinga wyżej)? No właśnie. :))) |
|
|
Dark Regis
@jazgdyni Faktycznie straszny tam mętlik ;)
Może zacznijmy od "klasyfikatora podobiektów". Jeśli chcemy w jakiś sposób "funkcyjnie" powiedzieć, że interesuje nas dany podzbiór B w zbiorze A, to jest na to znany od wieków sposób - funkcja charakterystyczna podzbioru f:A->{0,1}. Przyjmuje ona wartość 1 dla każdego elementu z B i zero dla każdego elementu z A\B. Proste. To jest właśnie klasyfikator podobiektów w toposie booleowskim (taka "zwykła matematyka"). Natomiast jeśli zamiast {0,1} wezmę np. coś takiego {0,a,b,1}, gdzie pomiędzy a i b nie mam żadnej relacji porządkującej, to tworzę pewien topos. Wszystko tam "chodzi" w zasadzie podobnie do kategorii zbiorów i funkcji Set, ale np. nie jestem w stanie poprawnie oddzielić "funkcyjnie" podzbioru od tego, co jest jego dopełnieniem. Powinien szanowny się tego domyślić po flircie ze zbiorami rozmytymi. Dodatkowo ten nowy zbiór "wartości logicznych" nie może być dowolny i przypadkowy, jak to próbowano robić jeszcze w czasach Łukasiewcza (np. postulowano wzięcie {0,1/2,1}), tylko musi spełniać pewne własności, które razem nazywają się aksjomatami teorii krat w ogólności, a specjalnej rodziny krat zwanych algebrami Heytinga w szczególności. Np. {0,1} jest najmniejszą algebrą Boole'a, a o reszcie można wygooglować i poczytać. Algebrą to zwiemy dlatego, że nie ograniczamy się jak w klasycznej definicji krat do relacji porządku lub kresu dolnego i górnego elementów (oznaczanych ^ i v), ale postulujemy też istnienie innych operatorów np. pseudodopełnienia zamiast negacji i pseudoimplikacji zamiast implikacji. Ad. "pseudo" i "implikacji" bez filozofii proszę ;)
pl.wikipedia.org
no i teraz mamy tak: algebra Boole'a to nasza normalna logika wraz z "zasada wyłączonego środka". Ale ta zasada nie obowiązuje dla algebr Heytinga. Wystarczy wziąć najprostszą znaną ze szkoły algebrę zbiorów (X,suma,przecięcie, dopełnienie,...), konkretnie to "dopełnienie" i zobaczyć, że w definicji alg. Heytinga już nie mówimy o "negacjach", a "implikacja" ma inną definicję. Pod koniec artykułu jest powiązanie tego z topologią, co oznacza, że "logiczne relacje konsekwencji" czyli wynikania, są czymś w rodzaju domknięcia zbioru. Domykamy zbiór przesłanek w pewnej przestrzeni topologicznej, ale domykanie jest tu pewną funkcją. Ostatni akapit odnosi się do tego, że każdy zbiór uporządkowany jest w naturalny sposób kategorią, której obiektami są elementy zbioru, zaś morfizmami relacje porządku pomiędzy nimi. Kategoria zbiorów uporządkowanych po prostu jest kategorią kategorii, zaś kategoria krat, czy algebr boole'a jest jej "podkategorią" (piszę w uproszczeniu, bo musiałbym tu namachać całą teorię funktorów sprzężonych i równoważności pomiędzy kategoriami). Czyli "klasyfikator podobiektów" to w pewnym sensie mierzenie stopni "przynależności" albo "prawdziwości" (vide logika) w kategorii za pomocą innej kategorii. W angielskiej wersji jest więcej z obrazkami:
en.wikipedia.org |
|
|
jazgdyni
@Imć CD
W 1964 roku W. Lawvere26 sformułował własności, które charakteryzują kategorię zbiorów „z dokładnością do równoważności” . Chciał uchwycić i wyrazić w języku kategorii te cechy kategorii zbiorów które zdecydowały, że została ona uznana za podstawę współczesnej matematyki. To, co ostatecznie stało się definicją toposu, to część wyróżnionych przez Lawvere’go własności:
topos to kartezjańsko domknięta kategoria, w której istnieją wszelkie skończone granice i specjalny obiekt - klasyfikator podobiektów Ω .
I co? Jajco! Tak prosto się nie da. Muszę wrócić do strony 206 i dokładnie postudiować i pojąć takie grube sprawy, jak kategorie i funktory. A tam na samym początku taki zgrabny, zachecający cytacik:
„Mathematics is the art of giving the same name to different things” H. Poincare
Jak żyć we współczesnej matematyce Imć Waszeci?! Im więcej chcecie doprecyzować tym większy chaos stwarzacie.
Ale ja jestem uparty, więc wracam do początku.
Jeśli uważasz, że trud poznania jest uzasadniony tylko wtedy, gdy przynosi praktyczną korzyść - daj sobie spokój. (Faktycznie, przez większość inżynierskiego działania tak uważałem)
Jeśli choć raz na jakiś czas pytasz o sens tego, co robisz, to ten tekst jest dla ciebie. To tekst dla tych, którzy zechcą zmierzyć się z pytaniem „czym jest matematyka?” w sposób wolny od edukacyjnego przymusu, powodowani li tylko czystą ciekawością.
Ale jak to pogodzić z tym, że teraz do szpiku kości jestem filozofem. A C. F. von Weizseacker brutalnie stwierdził: unikanie filozofii jest warunkiem możliwości uprawiania nauk/ [!!!]
Byłbym zdruzgotany, gdyby dalej nie było: (...) reguła ta załamuje się wtedy, gdy nauka dokonuje tzw. wielkich kroków.
Ufff... właśnie dokonuje. Więc pora postudiować. |
|
|
jazgdyni
Wielce Szanowny Matematyku, Imć Waszeci
którego podziwiam bardzo, szczególnie po obejrzeniu po raz 24 genialnego filmu Guya Ritchiego "Snatch", kiepsko u nas zatytułowanego "Przekręt" [youtu.be], ponieważ dziedzina którą kocha i w której żyje, posługuje się językiem tajemnym (jak Cyganie w filmie), że nawet wielu wytrwałych matematyków wymięka.
Postanowiłem w pełni zrozumieć matematyczne pojęcie topos. Mówię matematyczne, bo już wieki całe temu, termin ten zastosował chyba Arystoteles w mojej ukochanej metodzie argumentacji, związanej z sylogizmem.
Dzisiaj topos (nie mylić ze spolszczonym topik) to twierdzenie tak oczywiste, że przyjmowane bez dowodu. Na co zawsze rozlega się wrzask nielotnych komentatorów krzyczących - Dowody!; dowód proszę, a gdzie tak jest napisane, itd.
Ale jest szerzej z tym słowem:
W nauce sformułowano wiele innych wyjaśnień pojęcia topos. Definicje te różnią się przede wszystkim ze względu na to, jaką dyscyplinę naukową reprezentuje badacz, który definicję sformułował. Topos uważa się bowiem za pojęcie interdyscyplinarne, występujące w ramach teorii argumentacji i tekstu, które jest wykorzystywane podczas badań szczegółowych w różnych dyscyplinach naukowych i rozmaicie definiowane[1]. Wprowadzony przez Arystotelesa do dialektyki i retoryki termin topos używany jest współcześnie między innymi w teorii literatury, biblistyce, politologii, filozofii, reklamie, public relations, semiologii czy metodologii nauk.
Lecz pragnąłem dokładnie zrozumieć to pojęcie stosowane tutaj hurtownie przez IW w matematyce. Więc jadę dalej. I mamy takie coś:
W matematyce , a topos [,,,] to kategoria , która zachowuje się jak kategorii snopy z zestawów na przestrzeni topologicznej (lub ogólniej: na miejscu ). Toposy zachowują się podobnie do kategorii zbiorów i posiadają pojęcie lokalizacji; są one bezpośrednim uogólnieniem topologii zbioru punktów . Grothendieck topoi znaleźć zastosowanie w geometrii algebraicznej ; bardziej ogólne toposy elementarne są używane w logice . Toposy - pl.qaz.wiki
No ładnie... wiele mi to mówi.
Na szczęście wreszcie trafiłem tu: "Poukładać matematykę (lub przynajmniej próbować)" Grzegorz Jarzembski, Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu [www-users.mat.umk.pl]. Poczułem w tej chwili nawet szczęśliwy. Nie dam się już więcej Imciemu walić we mnie słowami.
Tam w rozdziale 12, Kategorie, funktory i toposy, w podrozdziale 12.2 Toposy, na stronie 210 mam: |
|
|
Dark Regis
Jeszcze raz podam brzmienie paradoksu, który jeszcze chyba nie został odkryty ;)
Mamy liczby naturalne: (1,2,3,4,5,6,7,8,9,...)
Możemy je ustawić tak (1,3,5,7,9,...;2,4,6,8,...), są to reszty z dzielenia przez 2.
Albo tak (1,4,7,...;2,5,8,...;3,6,9,...) dla reszt mod 3.
W efekcie można to zrobić dla dowolnego k i reszt mod k i przejść z konstrukcją do nieskończoności. I tu zaczynają się schody, bo wtedy otrzymamy takie ciągi (1,...;2,...;3,...;4,...; ...), czyli już na początku będą stały wszystkie możliwe liczby naturalne. A co będzie stało w nieskończonych ciągach za każdą z tych liczb? Odpowiedź "NIC" nie jest zadowalająca, bo można przeprowadzić identyczną konstrukcję bez numerowania elementów, tak jak w paradoksie hotelu Hilberta. Zobaczmy to z numeracja do pomocy: k=5, (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...) -> wyjmujemy co piąty (1,6,11,...) i reszta to (2,3,4,5,7,8,9,10,12,...) -> wyjmujemy co czwarty (2,7,12,...) i reszta (3,4,5,8,9,10,...)
-> wyjmujemy co trzeci (3,8,13,...) -> dalej co drugi (4,9,14,...) i reszta (5,10,15,...). Widać wyraźnie, że efektywną procedurą (algorytm) osiągam ten sam cel jak liczenie reszt z dzielenia nawet, gdy nie widzę etykietek elementów ciągu (numeracji). Oczywiście aby uzasadnić efektywność procedury trzeba jeszcze napisać jawną postać przekształcenia, które z przypadku k=n przechodzi do k=n+1. No i teraz mamy efektywna procedurę (obliczalną, Church-Turing), która przy przejściu do nieskończoności prowadzi do kompletnie rozbieżnych wniosków. Miodzio, isn't it? :)))
PS: Przypomnę tylko, że moje węszenie w tym temacie rozpocząłem od zagadnienia LPO i LLPO:
1) en.wikipedia.org
2) ncatlab.org
3) Warto rzucić okiem na pracę Yasuhito Tanaki "Undecidability of Uzawa equivalence theorem and LLPO", tam jest jeszcze więcej o tym paradoksie wyłażenia poza klasyczną matematykę z jej wnętrza. Praca jest niedostępna ale mam to: emis.impa.br
"Undecidability Of Uzawa Equivalence Theorem And Cantor’s Diagonal Argument" - chodzi o ten słynny "dowód" na równoliczność zbiorów Z i Q. Ja od siebie dodam jeszcze jeden problem: "tabelki działania" dla grup nieskończonych. Wiadomo, że "jest ich nieskończenie wiele", ale praktycznie potrafimy podać tylko kilka przykładów (w tym (Z,+)) i to tendencyjnie uporządkowanych, ale nie (Q,+), (Q,*). Jeśli te zbiory są idealnie "równoliczne", to dlaczego algebry na nich aż tak się różnią? To efekt innego porządku.
PPS: A oto związek systemów pozycyjnych z toposami: mathoverflow.net |
|
|
Dark Regis
@jazgdyni może wyklaruje nieco wypowiedź podanie odpowiedniego przykładu. Najpierw uzupełnię jeden z poprzednich wątków. Oto przykład równania 3-go stopnia, które ma 3 pierwiastki rzeczywiste, które wyrażają się za pomocą pierwiastków, ale z udziałem liczb zespolonych. Liczby 1, (1+sqrt(3))/2, (1-sqrt(3))/2, to zwykłe pierwiastki 3-go stopnia z jedynki: wolframalpha.com
A dalej zobaczmy to:
wolframalpha.com
Tutaj mamy rozwiązanie równania czwartego stopnia, dające odpowiedź na "głupie" pytanie "W jakiej bazie systemu pozycyjnego jedynka ma przedstawienie [11111]. Na obrazku widać równoramienny trójkąt x1=-1, x2=0, x3=-i, x4=i. Teraz zmieniamy tę ostatnią jedynkę na n=2,3,4,... i obrazek przechodzi w czworokąt. Nie jest to ani prostokąt ani romb. Punkty te w kolejnych krokach oddalają się od zera i zbliżają do kształtu kwadratu. Dla n=200000 wygląda to już bardzo ładnie:
wolframalpha.com
Jednak kształt kwadratu zostanie osiągnięty dopiero w granicy przy nieskończoności. To pierwsze zaskoczenie, gdy regularność kryje się w nieskończoności.
Drugi przykład tego samego zjawiska jest w rozkładach repunitów [11..1] w różnych bazach. Na przykład dla B=20, B=30, B=40,.... wartości [11..1] zapisywanych w systemie dziesiątkowym wartości zaczynają od końca tworzyć coś w rodzaju okresu (wzięty w nawias):
J(20;31) = 1130254551578947368421(052631578947368421)
J(30;31) = 21299082630480931(0344827586206896551724137931)
J(40;31) = 1182483594468561001025641025641025641025641(025641)
oczywiście J(100;31)=1010..1(01)
Jeśli teraz utworzymy takie liczby "0,(okres)", to pierwszy da 1/19, dalej 1/29, 1/39 i 1/99. Mianowniki to są "dziewiątki" w tych systemach (największe cyfry)
Podobne zjawisko zachodzi np. dla systemów B=2, B=3 i B=6=2*3 (okresy dadzą 1/5). To oznacza, że idealny okres osiągniemy ewentualnie dopiero w nieskończoności. I teraz rodzi się problem: "widać, że zaburzony początek można zignorować, ale dlaczego?" Jeśli go nie zignorujemy, to on też stanie się nieskończony, czyli rozwali się nasza liczba i będzie "rozdwojona" 'zaburzenie... okresy...'. Taki "mały" problem przenoszenia własności konstrukcji obiektów do nieskończoności. ;) Euler też widział ten sam paradoks i dlatego podawał wzory, które były długo kwestionowane. To pokazuje też, że nie każde "oczywiste" zdanie pozostanie tu prawdziwe po przejściu do granicy. Np. zdanie o coraz dłuższym zaburzonym początku i wreszcie nieskończonym. |
|
|
Dark Regis
Ale za to by się POstępowo zrobiło niemal jak w przyszłym EUro-PArlamencie. Taka mała orgietka wstępna rozpoczynająca obrady. Kiedy marszałek lewicy, dzierżąc dziarsko po europejsku lagę w dłoni peroruje "Mój ci jest!", a tu się okazuje, że to Dickus Wielgus i Niedopchnęcja.... ;)
Podejrzewam, że gdyby tylko chodziło o zdjęcie butów jak przed meczetem, to po tylu dreptaniach po ulicach i stresowaniu policjantów, skończyłoby się jak w pierwszej części "Bonda i skarpetek". |
|
|
Dark Regis
Jest tego więcej. Trzeba wpisać w Google "green building China". |
|
|
jazgdyni
@Zofia
Cenne spostrzeżenia. A przed vege było jeszcze sushi. Dla mnie to wyjątkowo śmieszne. No i nagle te butelki w łapkach. Papugowanie na całego, co widzą w tv i magazynach. Teraz pewnie będą (jak ich jeszcze nie ma) styropianowe kubki z vegańskim latte (w żadnym wypadku nie z ordynarną kawą).
Serdeczności |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
W temacie - "świat budowany własną wyobraźnią" zafascynowały mnie koncepcje włoskiego architekta z Mediolanu Alfredo Boeri, które nazwał Bosco Verticale (pionowy las).
Mam tylko 3 piętra, ale zamierzam to też wykorzystać.
dezeen.com
theverge.com |
|
|
Dark Regis
Interesujący portal. Nawet znalazłem tam coś z mojej działki ;)
"Psychologia phishingu: niebezpieczne e-maile" pieknoumyslu.com
A ten artykulik z zamianą "urbanistyka" na "świat budowany własną wyobraźnią" polecam pod rozwagę: "Urbanistyka i psychologia: jaki wpływ na nas ma przestrzeń?" pieknoumyslu.com |
|
|
Zofia
@ jazgdyni - Zgadzam się z tym co Pan napisał w 100%. Bo jeżeli to co Pan opisał obserwują Polacy od morza do Tatr i od Buga do Odry to to musi być prawda. I bardzo dobrze Pan to ujął. Do notatki bym jeszcze dodała , że polska młodzież dała się przekonać do jedzenia "vege" tak jak i młody i stary w lecie paradował z butelką mineralnej. |
|
|
Dark Regis
Na takie myśli odtrutką jest teoria liczb. Te różne dziwne zależności, które istnieją ewidentnie, są prawdą bo natrafiamy na nie już na etapie liczenia na palcach. Nie można ich sfalsyfikować w żaden sposób tylko za to, że są dziwne i nieintuicyjne. I to jest sytuacja modelowa dla określenia pojęcia prawdy. Można oczywiście budować różne zdania, z których jedne będą prawdziwe na podstawie wiedzy o liczbach, inne fałszywe, zaś jeszcze inne nierozstrzygalne, ale to nie zmienia faktów. Jedynie określa naszą pozycję startową do jakiegoś uogólnienia np. na pierścienie. Teraz problem nierostrzygalności wygląda zupełnie inaczej. Na bazie pewnego zbioru zdań A będących (uznanych arbitralnie i trochę przypadkowo za) aksjomatami, pewne zdania będą konsekwencjami logicznymi zbioru A, niektóre będzie można udowodnić z A w skończonym ciągu zdań przy użyciu pewnego systemu dowodzenia, ale innych nie. Te zdania T niezależne od A można dołączać do zbioru aksjomatów albo jako T albo jako ~T. Dzięki temu otrzymujemy nową bazę do dowodzenia twierdzeń A'=A+{T} albo też A''=A+{~T}. To ta jak z geometrią Euklidesa albo Łobaczewskiego. Problemy zaczynają się daleko poza zasięgiem oddziaływania tych mądrości z liczb - w nieskończoności. Wtedy zaczyna dawać o sobie znać np. pewnik wyboru AC, który jest niezależny od aksjomatów ZFC, ale jednocześnie jest równoważny na tej bazie paru innym zdaniom, jak np. Lemat Kuratowskiego-Zorna. To znaczy, że równie dobrze moglibyśmy rozważać matematykę z zaprzeczeniem ~AC, ale wydaje się to nam dużo mniej intuicyjne. Pozostaje trzeci przypadek, gdzie AC wywalamy ze zbioru aksjomatów i redukujemy do roli zdania występującego w pewnych teoriach, zaś w innych niekoniecznie. W skrócie (bo już parę razy to wyjaśniałem) rozszerzamy matematykę na obszary, gdzie nie obowiązuje prawo wyłączonego środka w logice - na logiki modalne. A jaka jest najszersza definicja modalności? Otóż wartość logiczna zdania nie musi zależeć od wartości logicznych zdań składowych, ale równocześnie postulujemy szereg związków strukturalnych, które porządkują dziedzinę na tyle (światy lub modele Kripkego z założonym porządkiem częściowym), że jest możliwe płynne przechodzenie pomiędzy światem klasycznym oraz modalnym (toposy). Na koniec mala uwaga: logika modalna ogólnie, czyli jako teoria w szerszym sensie nie respektująca monotoniczności, nie musi siedzieć wewnątrz świata matematyki z logika klasyczną. Ma tam swoje odbicie, wyraźne są jej przejawy, ale na pewno nie jest w nim zawarta. Tu jest ciekawy wywód na ten temat:
pts.edu.pl
PS: W życiu codziennym posługujemy się innymi logikami niż binarna, które uwzględniają wiedzę niepewną, cząstkową, czasem sprzeczną. Mamy mechanizmy, które pozwalają nam na stopniowe upewnianie się, rozszerzanie zakresu wniosków i pozbywania się sprzeczności. Tak działa m.in. metoda naukowa. Gdybyśmy używali tylko logiki klasycznej, to wszystkie wnioski już w niej są zawarte i nie ma co rozszerzać. |
|
|
jazgdyni
@paparazzi
Nawet nie wyobraża Pan sobie, jak jestem szczęśliwy, że jest obok chociaż jeden Polak, co w 100 procentach się ze mną zgadza. Bez żadnych <<ale>>, bez rozkładania włosa na czworo i rozdzierania szat. Jest jak jest. Widocznie tak musi być. A będzie lepiej, jak tylko pozbędziemy się tego tradycyjnego biadolenia.
Serdecznie pozdrawiam |
|
|
sake2020
@Warmia.....Tak wstydzą się ale z wyjątkiem siebie i swoich zachowań.Wczoraj czołowy przedstawiciel peerelowskich Miller-prawdziwy mężczyzna co to wie kiedy skończyć popisał się na Twitterze ordynarnym tekstem wobec odchodzacego ministra Pinkasa.Jak widac cudza choroba nawet ciężka może być powodem prostackiego komentarza.Jak widać drogi garnitur czy kosztowne okulary nie świadczy o kulturze a nawet zwykłej przyzwoitości.No ale takich cech nie mozna nawet oczekiwać po millerowatych. |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
True....
False...
Hej! Imci! A co powiesz na takie mądrości?
Może prawda nie istnieje i mamy tylko swoje myśli.
Zdanie może być prawdziwe, fałszywe, albo nie wiadomo jakie...
No i ta gra Pascala z krytyką Dawkinsa w "Bogu urojonym" (tego drugiego mam za głupca, albo hochsztaplera). |
|
|
Tomaszek
@Imć Waszeć
Tylko trzeba by zaopatrzyć posłów w takie torebki jakie są w samolotach . Bo efekt mógłby być różny . I nie awantura byłaby problemem w Sejmie . |
