|
|
jazgdyni
Ciągle za wysoki pułap dla zgredów, co przyswajali matmę w 70-tych. By intuicyjnie pojmować topologię, to na samym początku trzeba pojąć, że w topologii koło i kwadrat to te same figury w 2 wymiarach. A w trzech trzeba pojąć, że z pączka nigdy nie zrobi się donata. I odwrotnie.
Najprawdopodobniej musiałbym się w te wszystkie zawiłości wgłębić, jak w 73 na PG zacząłem pracę nad doktoratem. Jednym z ważnych elementów był szybki i precyzyjny regulator. To były lata, kiedy zwariowaliśmy nad dygitalizacją. Więc oczywiście zbuduję regulator cyfrowy. Fakt, mocno na elementach dyskretnych, choć już wtedy, oprócz przeróżnych zestawów bramek i przerzutników, komparator już był osiagalny. Ale zegar taktujący trzeba było samemu złożyć. Z kwarcem oczywiście.
I wtedy mi to zbyt dobrze nie chciało chodzić. Męczyłem się. A gdyby ktoś wówczas zwrócił mi uwagę, że fundamentalnym w dynamice jest oczywiście czas i potężne znaczenie ma fakt. czy traktujemy go jako zmienną ciągłą, czy dyskretną. Zegar analogowy, czy cyfrowy. Gardziłem oczywiście czymkolwiek analogowym. Dopiero po latach zrozumiałem, jak ważne w systemach sterowania ma analogowy regulator PID (proporcjonalno- całkująco-różniczkujący). Wtedy w siedemdziesiątych już to uważałem za historię, rupiecie.
Dzisiaj oczywiście mając procesory, całkowanie i różniczkowanie załatwia się algorytmami, czyli wyłącznie cyfrowo. Ale w 70-tych? No, ale z PG poszedłem do WSM, bo już się kierowałem na morze. |
|
|
Dark Regis
Tak więc "analiza wielowymiarowa" nie jest tylko uogólnieniem "analizy jednowymiarowej", ale zależy od szeregu pojęć, których zgodność postulujemy. Na przykład topologia zgodna z normą, zbieżnością ciągów, geometrią. W zwykłej analizie dwóch zmiennych mamy już możliwość liczenia nie tylko całek podwójnych, ale także całek po konturach, okrężnych. Takich jak w wykładzie z fizyki o polach. W przypadku zespolonym ma to dodatkowo taki smaczek, że jak kontur nie obiega żadnego punktu, gdzie wartości funkcji uciekają do nieskończoności (biegun, zero mianownika), to taka całka zawsze wynosi zero. A jeśli kontur obejmuje jakieś bieguny, to wartość całki zależy od rozwinięć funkcji w tych biegunach. W opisanym wcześniej przykładzie sfery i "uczesania", mamy do czynienia właśnie z analogicznym zagadnieniem, gdzie pewne kształty przestrzeni, geometrie, wykluczają istnienie pewnych konstrukcji. proszę, oto program studiów fizyki II-III rok: fuw.edu.pl
Szczerze mówiąc z matematycznego punktu widzenia jest to bajzel, tak samo jak na politechnikach. Na przykład pole gradientu, to żaden żelazny wilk, tylko jak wykresem funkcji jest powiedzmy powierzchnia w R^3, to wektory gradientu układają się wzdłuż tych dróg, po których następuje największy spadek wartości funkcji. Twierdzenia S-G to nic innego jak proste formułki opisujące znane własności różniczkowania - tutaj form. Funkcja Greena, to nic innego jak jedna z funkcji spełniających dla operator L zależność LG(x,s)=δ(x-s) (delta Diraca, nieskończoność w 0 i 0 wszędzie, czyli granica ciągu coraz ciaśniejszych funkcji Gaussa, takich rozkładów normalnych). Wtedy można użyć funkcji Grena do rozwiązania równania operatorowego Lf(x)=g(x) jako splotu G*g. Operatorowego, czyli różniczkowego, całkowego, innego. Mówiłem już o dystrybucjach? To są takie dodatkowe punkty przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem (a więc w pewnym sensie topologicznym także i przestrzeni funkcji ciągłych - pojęcie gęstości podprzestrzeni), że wykonalne stają się wszelkie różniczkowania (że, całkowania to jest oczywiste). Na przykład funkcje schodkowe. Wtedy nawet sin(nx)/x ma określoną granicę: en.wikipedia.org
Dystrybucja to operator liniowy działający na przestrzeni funkcji gładkich o ograniczonym nośniku (próbnych). Ale notacja nawiasowa to znane z przypadku skończenie wymiarowego działanie funkcjonału f na wektorze φ. Jakiś problem? ;))) |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
Wygląda na to, że nas uczono wyłącznie wyrywka tych zagadnień, ściśle związanego z dynamiką układu. Stąd przestrzeń fazowa, stąd analiza dwóch wartości - położenia (i to dla nas był punkt) oraz pędu, albo prędkości. I dalej nauka tych wszystkich zlewów, źródeł, siodeł i cyklów granicznych. Liczby zespolone też świetnie przyswojone, bo to podstawa elektroniki.
Macierze, różniczki, wektory, tensory, wielomiany i trochę całek, jako pole pod wykresem. Co jeszcze - stany ustalone i stany nieustalone, gdzie chyba matematyka je ciągle pomija.
I jeszcze raz powiem - zawsze wszystko było w odniesieniu do dynamiki. Czyli - nie za wiele tego było, a i nazewnictwo z tamtych czasów. Matematykę na dwóch pierwszych latach wykładała świetna prof. Gałuszko. A potem, niemalże po 30 latach, na początku 2000, zmuszony zostałemdo studiowania dla systemów Dynamic Positioning, matematykę chaosu, z naciskiem na filtry Kalmana, plus obliczenia niezawodności (redundancje). Doszedłem do DP3. (Tomahawki mają DP2). |
|
|
Dark Regis
To proste. Jak mówimy o przestrzeni, to zawsze mamy punkt. A jak tylko pomyślimy słowo "przestrzeń", to natychmiast musi nam się z tyłu głowy pojawić termin "topologia". Najwyżej mamy na myśli topologię, gdzie każdy punkt jest zbiorem otwartym i (domkniętym), czyli tak jakby jej nie było wcale. Topologia opisuje pojęcia zbieżności ciągów, otwartości zbiorów, ciągłości funkcji. Przykład: w przestrzeni funkcji punktem jest funkcja, z których składa się ta przestrzeń, topologię możemy wprowadzić na setki sposobów (metrykę, normę, ciąg pseudonorm, indukując ją z przestrzeni większej, biorąc różne rodzaje zbieżności ciągów i sumowalności szeregów). Jeśli mamy przestrzeń operatorów liniowych, to punktem jest operator liniowy, a nie wektor na których działa ten operator. Czyli jak operator będzie operatorem różniczkowym (np. taki wielomian, gdzie zamiast x,y,... mamy fjut po x, fjut po y,...), to punktem przestrzeni operatorów różniczkowych będzie operator różniczkowy, a nie funkcja której szukamy jako rozwiązanie, ani punkt w R^n w którym coś liczymy np. warunki początkowe. Jeżeli natomiast punkty przestrzeni mają dodatkową cechę, że można je wydłużać, skracać i odwracać, za pomocą mnożenia przez jakieś skalary (plus pewne równości: patrz definicja), to mówimy o przestrzeni wektorowej. Przestrzeń funkcji o wartościach rzeczywistych ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej, bo funkcje możemy mnożyć przez liczby i dodawać w każdym punkcie ich wartości af(x)+bg(x): pl.wikipedia.org
Wszystko to jest na pierwszym roku każdych studiów technicznych, fizycznych i matematycznych, ale okrojone do "analizy jednej zmiennej". Dwie i więcej zmiennych wprowadzają nowe pojęcia. Dlatego ostrzegałem, że nie wolno tu pominąć analizy zespolonej jednej zmiennej. Tam jest pojęcie funkcji holomorficznej, czyli różniczkowalnej (a jak jednokrotnie, to okazuje się, że nieskończenie razy też - czyli gładkiej) w sensie zespolonym. Ze zwykłej analizy mamy rozwijanie funkcji w danym punkcie w szereg za pomocą pochodnych (Cauchy). W zespolonej też, ale dodatkowo każdy taki szereg jest zbieżny jeszcze w pewnym otoczeniu otwartym tego punktu, a więc (tak mówimy) analityczny. To pozwala na zadanie pytania, a jak jest z szeregami/rozwinięciami dla dwóch różnych punktów i dwóch różnych ich otoczeń? Są one zgodne na części wspólnej, czyli mamy tu warunek jak dla rozmaitości. Nie będę tu robił całego wykładu, bo zabraknie miejsca dla blogerów na wpisy ;) W każdym razie to jest tak jakby różniczkowanie cząstkowe na płaszczyźnie, czyli po dwóch zmiennych, ale z dodatkową równością, która wyklucza np. istnienie pewnych konfiguracji (różniczki po z sprzężonym). W efekcie wykresy funkcji holomorficznych f:C->C wyglądają w CxC jak błony mydlane rozpięte na jakichś pętlach z drutu. Nie mogą mieć np. ekstremów ani być stałe na żadnym zbiorze większym niż punkt. To jest tylko opowiedzenie głównych twierdzeń, a nie ich przytoczenie. (...) |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
Wybacz Imci, ale musimy poważnie porozmawiać. I to tylko o semantyce. Zaczynasz prawidłowo, po polsku rozmawiać, a po chwili przechodzisz jakby na mongolski. Czyli nowo-matematyczny. Nie, nie - na czeski! Bo właśnie tam, proste, zrozumiałe wyrazy mają inne znaczenie. Jak ta laska nebeska.
Ile wyrazów na początek powinienem się nauczyć, by dobrze rozumieć, o czym mowa? Nawet nie chodzi o te wszystkie neologizmy typu algebry liego i homomorfizmy, tylko wydaje mi się, że teraz nawet tak fundamentalne rzeczy, jak punkt, czy wektor mają już inne znaczenie.
Nie da się poruszać w temacie, logicznie kombinować, czy wyobrażać sobie, jeśli co drugie słowo jest tajemnicze i ma inne znaczenie, jak ta laska niebieska.
Wszystkiego można się nauczyć. Ale trzeba to robić po kolei. A na dodatek, mam wrażenie, że wszystko co Waszeci tłumaczysz, to kompletna sfera abstrakcji. Matematyka na dużym haju i tylko dla wtajemniczonych. A niby to ma być matematyka stosowana.
Fakt, zaciekawiłem się i zainteresowałem. Ale muszę widzieć sens tego. |
|
|
Dark Regis
Niestety, nie da się wyobrazić już nawet efektów zachodzących w przestrzeni 5 wymiarowej. Ja kiedyś w tym celu próbowałem sobie skonstruować kostkę Rubika n-wymiarową. Powiedzmy n=4. Czyli mamy [0,1,2]x[0,1,2]x[0,1,2]x[0,1,2] inaczej (x,y,z,w), gdzie x,y,z,w=0,1,2. To są tylko małe kosteczki, a na nich teraz musimy wyróżnić ściany i je pokolorować. Dana kosteczka (x,y,z,w) ma 8 ścianek i zewnętrzne będą te, które są także zewnętrzne dla całej kostki; a więc (1,1,1,1) na pewno będzie zawsze w środku, zaś rogów mamy tutaj 16: np. (0,0,0,0),...,(2,2,2,2), z których każdy ma 4 eksponowane ścianki. "Krawędzi" jednowymiarowych mamy 32 i każda taka kosteczka ma 3 eksponowane ścianki. Dwuwymiarowych "krawędzi" mamy 24 i eksponowanych ścianek po 2. Na koniec 8 kosteczek "ścian" z jedną eksponowaną krawędzią. Czyli należałoby raczej rozpisać nasz model na ścianki, wektor stanu W=(c00,...c07,c10,...c17,...,c70,...c77), gdzie cij to przypisane kolory, a to jest przestrzeń 64-dim. Kolorujemy albo widzimy tylko część z nich, co wymusza wprowadzenie "filtru" np. (e0,...,e64), gdzie +1 oznacza eksponowaną ściankę, a 0 nie. Teraz ruch ścianą kostki (8 ruchów podstawowych Rk) powoduje pewną permutację W(T)=Rk(W(T-1)). Itd.
Jednym słowem mogiła, jeśli ktoś nie ma rozwiniętej wyobraźni. A liczby ścianek dla dziesięciowymiarowej kostki są takie: 1024, 5120, 11520, 15360, 13440, 8064, 3360, 960, 180, 20. Koszmar, nieprawdaż? Właśnie dlatego część rzeczy w matematyce lepiej pozostawić wzorom. |
|
|
Dark Regis
Wróć do otrzymanego wykresu "wielomianu". Widać wyraźnie, że przekręcenie poziome robi nam z punktu ucieczki wielomianów punkt, w którym łączy się jakaś asymptota pionowa. A więc wychodząc np. od y=x, y=x^2,... otrzymamy coś na kształt y=1/x, y=(1/x)^2,... Przekręcenie pionowe jest jeszcze gorsze, bo co prawda "zero" wykresu nam ląduje gdzieś w (0,K), ale punkt ucieczki wielomianów ląduje tam, gdzie w normalnych warunkach trafiłby wykres dla asymptoty poziomej. W każdym razie widać jakąś regularność, ale za chiny nie widać sposobu na jej opisanie. Po prostu w przypadku płaszczyzny mamy kompletnie inną metrykę, o innych własnościach, niż na torusie. Stąd obroty torusa nie są takie zwyczajne w metryce płaszczyzny, jak to się wydaje na oko.
O topologii można by wiele mówić, ale nie dojdziemy do żadnego wniosku, jeśli nie będziemy mieli kompatybilnych języków i systemów pojęć. To jest główna bariera niepozwalająca na zrozumienie np. pojęć homologii i kohomologii. Jeśli popatrzymy na zwykłą sferę, to zauważymy, że wszystkie płaszczyzny styczne do punktów będą jak kartki papieru przyłożone do piłki. Razem wzięte nazywają się wiązką styczną. Kiedy wprowadzimy w tej wiązce iloczyn skalarny, to będziemy mówić o wprowadzeniu geometrii, która wyróżnia kąty proste. Ale gdy zechcemy wprowadzić np. iloczyn wektorowy, to zabraknie nam przynajmniej jednego wymiaru. Dodajmy go i mamy już ogólną wiązkę liniową nad sferą, a nie tylko styczną. Teraz z każdej przyklejonej "kartki" w punkcie x sfery wybieramy wektor v (jest to tzw. cięcie wiązki) i otrzymujemy pole wektorowe na sferze - pole wektorów stycznych. Interesuje nas problem "uczesania" tego pola, czyli sprawienia, żeby było gładkie, aby wektory powiedzmy długości 1 płynnie przechodziły w siebie w każdym otoczeniu punktu sfery. A tu Zonk. Nie da się "uczesać" sfery. Pozostaną zawsze dwa punkt osobliwe. To ma związek z liczbami Bettiego i charakterystyka Eulera. Rysujemy jakieś punkty na sferze i łączymy je liniami tak, żeby powstała siatka z wielokątów. Po zsumowaniu punktów (wierzchołków siatki) odjęciu sumy krawędzi i dodaniu sumy wielokątów zawsze dostaniemy w wyniku 2. Sześcian albo czworościan jest taką siatką. Mamy 8-12+6=2 albo 4-6+4=2. Jeśli weźmiemy dwa kwadraty i skleimy je brzegami jak kopertę, to mamy 4-4+2=2, jeśli weźmiemy dwa punkty i dwie krawędzie między nimi i wkleimy 2 ściany, to 2-2+2=2, jeden punkt, jedna krawędź i dwie ściany 1-1+2=2, obłęd ;)
Od tego właśnie się zaczyna teoria homologii i kohomologii. Homologia mówi o klasie niezmienników dla przestrzeni, które są zbudowane za pomocą takich samych klocków i w ten sam sposób. Kohomologia robi w zasadzie to samo, ale patrzy na funkcje na tych konstrukcjach. Odwzorowujemy obiekty (łańcuchy) w jakiś pierścień R, co powala m.in. na cofnięcie struktury algebraicznej na te obiekty przestrzeni. Wtedy zaczynamy bawić się w pierścieniach, algebraicznie, a nie w ogólnych przestrzeniach topologicznych ze wszystkimi funkcjami ciągłymi. |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
Do takich rozważań i wyobrażeń to ja mam jeszcze kawałek.
Obecnie jestem na etapie budowania punktu w przestrzeni 10 wymiarowej. Jak mi podpowiedziano, zacząłem od roweru, który ma co najmniej 5 stopni swobody - poruszających się części - dwa koła, dwa pedały i kierownica. Każda ta część wymaga jednej współrzędnej położenia i jednej współrzędnej prędkości. Czyli w sumie jest 10 stopni swobody.
teraz muszę w sobie wytworzyć intuicję na temat ruchu punktu w 10-wymiarowej przestrzeni.
Kurcze, stare przyzwyczajenie, zawsze do matematyki podchodzę od fizyki. Taka elektryka natychmiast, w sposób bezproblemowy pozwoliła mi łatwo pojąć portret fazowy.
Same kombinacje na liczbach i zabawy z nimi raczej zawsze mnie nudziły. Choć rozwiązywanie wielomianów miałem w małym palcu. |
|
|
Dark Regis
A zatem mogę skonstruować niestandardowe repunity ([10]^[c..d]-1)/([10]-1), co poszerza moją bazę do szukania wzorców ich rozkładów. Tak, B-1 jest tu "dziewiątką" a nie 6. Stąd ułamek dziesiętny okresowy [0.(1)] to inaczej 1/(B-1). Podobnie buduję inne ułamki okresowe w oparciu o wzór na sumę ciągu geometrycznego, bo aB+b to jakaś liczba (zbieżność pomijam jak Euler;). Wyrażam więc [a..b]/[c..d] jako [r.w(o)], r część całkowita, w zaburzony ułamek (jak dla dzielników bazy), o to okres. Wreszcie rozważam ułamki dziesiętne dowolne i mogę liczyć i wyrażać pierwiastki n-tego stopnia sqrt[n]{[c..d]} i np. uogólnione pierwiastki jako potęgi [a..b]^[c..d]. Niektóre z takich rozszerzonych konstrukcji będą się zgadzać dla liczb całkowitych, zaś inne nie. To zupełnie inna arytmetyka.
Można zauważyć, że wszystkie te liczby aB+b leżą na pewnej kracie L na płaszczyźnie zespolonej, a więc mogę wszystko przenieść na odpowiedni torus ℂ/L tak samo jak operacje modulo dla zwykłych licz całkowitych. To wiąże moje zagadnienie zarówno z funkcjami eliptycznymi, jak i z odpowiednimi równaniami różniczkowymi. W każdym razie wyobrażając sobie w jakim środowisku działam i mając wile alternatywnych opisów dla obiektów z tego środowiska, mogę sobie pozwolić na różne uogólnienia standardowych pojęć, a przez to na różne ciekawe wnioski.
Inny przykład gry wyobraźni podawałem dawno temu przy okazji fraktala liczb wymiernych ℚ. każdą liczbę naturalną N możemy zapisać jako nieskończony ciąg (a,..,b,0...), który ma tylko skończoną liczbę niezerowych elementów. Są to potęgi kolejnych liczb pierwszych dzielących N, a więc (2,1,0,1,0...)=2^2*3*7. Jeżeli w tym ciągu dopuszczę "formalny" minus, to otrzymam liczby wymierne (-2,1,0,1,0...)=3*7/2*2. Teraz liczby w nawiasie też mogą się rozkładać na liczby pierwsze (12,15)=2^(2^2*3)*3^(3*5), co można zapisać jako ((2,1),(0,1,1)); kropki na końcach pomijam. Na tym poziomie też możemy wprowadzić "formalny" minus i otrzymamy pierwiastki np. ((-2)) to jest 2^(a), gdzie a=1/2. Nie muszę chyba mówić, że można zrobić kolejne kroki i wprowadzić kolejne minusy, ale tych liczb już nie umiem nazwać :)) W każdym razie mam tu jakiś fraktal. Dlaczego minus jest formalny? Bo chcę, żeby to działało dla liczb z minusem, ale nie traktowanych jako liczby ujemne w działaniu np. -4^1/2:=-2 a nie 2i.
Wreszcie takie ćwiczenie. Wyobraźmy sobie wielomian y=ax^n+...+c i jego wykres. Wszystkie wahnięcia zajdą w pewnym kwadracie [-N,N]x[-N,N], a dalej wszystkie tak samo pouciekają do nieskończoności. Ale jak? Widać, że jakoś na ukos.. No dobra, wyobraźmy sobie, że płaszczyzna to taki wielki kwadrat i sklejmy jego przeciwległe boki. Otrzymamy torus. Patrząc na niego z boku widzimy ścianę z (0,0) po przeciwnej stronie znajdzie się miejsce "połączenia" końców osi Oy. Dalej na tylnej rurze najdalej z tyłu będzie punkt "połączenia" końców osi Ox, a po przeciwnej stronie (bliższej nam) punkt, gdzie uciekają wielomiany. Zadanie brzmi. Przekręć trochę torus i... |
|
|
Dark Regis
Nie wiem co sądzą o roli wyobraźni wszyscy matematycy, ale wiem co myślą niektórzy. Na ćwiczeniach i seminariach na UW właśnie rysowanie i wyobraźnia grała główną rolę, a nie zaliczanie się wzorami. Tak na przykład było u Przytyckiego i dlatego do dziś wiem jak policzyć najtrudniejsze całki, a do tego sam dowiedziałem się dlaczego one są trudne i jaki jest to rodzaj trudności. Nie będę owijał w bawełnę, że chodzi tu o wyobraźnię z dziedziny funkcji zespolonych, a nie o chłopski rozum. Z całą pewnością wyobraźnią posługiwali się Euler i Galois, ale też sporo przy tym liczyli, bo inaczej nie osiągnęliby nic wartościowego. Przykładowo weźmy taki ciąg myślowy (cytuję za pewną pracą):
1) Kwadrat funkcji Mobiusa dla porządku podzielności w zbiorze liczb naturalnych, jest to funkcja charakterystyczna zbioru liczb bezkwadratowych.
2) Funkcja Mobiusa μ:N->{-1,0,1} jest jedną z najważniejszych w teorii liczb: jest ona multiplikatywna a jej losowość jest wyrażona wzajemnym skracaniem się +1 oraz -1
3) Granica przy N dążącym do nieskończoności sumy wartości μ(n), dla n≤N, dzielonej przez N jest równa zero (taka średnia), co jest równoważne twierdzeniu o liczbach pierwszych
4) Warunek, że suma ta jest rzędu O(N^{1/2+ε}) dla dowolnego ε, jest równoważny hipotezie Riemanna.
Wszystkie te zdania odwołują się do wyobraźni, a nie do wzorów, prawda?
Albo takie coś, o czym już tu wielokrotnie już pisałem. System pozycyjny w pierścieniu Z[(-3-sqrt(-19))/2]. Ta liczba w nawiasie to baza. Wyraziłem wcześniej potęgi bazy względem B i otrzymałem kolejno: B, -3B-7, 2B+21, 15B-14, -59B-105, 72B+413, 197B-504, -1095B-1379,... Widać jaki jest tu wzór --,++,+-,--,++,+-,--,... Teraz możemy sobie to wyobrazić, albo wziąć kartkę papieru i narysować kolejne liczby w tym systemie [1],[2],[3],... Ułożą się one we fraktal przypominający podwójnego smoka. A teraz mam chęć zobaczyć, które liczby rozkładają się na inne, a które są tutaj pierwsze. Jednoznaczność rozkładu wynika z tego, że class number dla Z[sqrt(d)], d=-19 jest 1. Mamy następujące źródła rozkładów liczby [c..d]=aB+b:
1. a i b mają wspólny dzielnik
2. cyfry c..d wszystkie są podzielne przez k, np. parzyste, albo 3*coś
3. ostatnie cyfry są 0, czyli mamy mnożenia przez [10]
4. mnożymy dwie liczby jako wartości [c..d][c'..d']=(aB+b)(a'B+b')=sB+t i znajdujemy odpowiedni kod [u..v] dla iloczynu
4a. mnożymy bezpośrednio kody
5. zauważamy, że [c..d] składa się z bloków, np. [1224]=[1200+24]=[12]*[102], czasem nałożonych [144]=[120+24]=[12]*[12]
6. to samo, ale posługujemy się ujemnymi cyframi [21]=-[116], [210+116]=[326]=[21]*[1N], gdzie N=-1 ujemna cyfra, [1N]=[1+136]=[146]
Jest problem taki, że dłuższa liczba może być dzielnikiem krótszej. W ten sposób buduję sito do znajdowania liczb pierwszych (jest też tw. o ich postaci ale nie w zapisie wg. bazy).
Ponieważ to są liczby zespolone, więc mogę liczyć niestandardowe [a..b]^[c..d], ale one raczej nie są tutaj całkowite. Stąd mam niestandardowe wielomiany. |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
Zanim będę kontynuował moją matematyczną aktualizację, chciałbym poprosić o opinię o tym cytacie. Autora podam na życzenie.
"Wydaje się, że istnieją dwa główne rodzaje matematyków. Większość pracuje za pomocą wizualnych wyobrażeń i myślowych obrazów; mniejszość myśli wzorami. To, jaki rodzaj myślnia jest używany, nie zawsze zależy od przedmiotu. Istnieją algebraicy i logicy, którzy myślą obrazami, a wiem również, że jeden z czołowych topologów ma poważne kłopoty z wyobrażeniem sobie obiektów trójwymiarowych. [...] Prezentacja matematyczna również podlega modom. Przez dziesięciolcia każdy rysował wiele rysunków. Wiem, rysunki nie są już de rigueur i styl staje się bardziej formalny. Laplace chwalił się, że jego Traite de mecanique celeste nie zawierał żadnych rysunków, a tylko analizę.
[...]
Wielką zasługą Poincarego było ponowne wprowadzenie geometrii do mechaniki, aby przekreślić nacisk położony przez Laplace'a na metody analityczne i obliczenia. [...] Poincare uwolnił wyobraźnię wzrokową z więzienia analizy i pozwolił jej jeszcze raz włóczyć się swobodnie. Dzisiejsza matematyka, po przebyciu cyklu formalnego z Burbakim, tak szybko, jak niosą ją nogi, zdąża z powrotem do geometrycznego zakrętu. [...]"
Nie jestem matematykiem, ale "pracuję za pomocą wizualnych wyobrażeń i myślowych obrazów".
A co Imć Waszeć sądzi o tym cytacie? Jak to dzisiaj wygląda? (Cytat jest z 2001 roku). |
|
|
Dark Regis
Kiedyś był taki poradnik matematyczny, wzorowany jeszcze na przedwojennych, w którym wszystkie te zagadnienia tłumaczono na język geometrii analitycznej, czyli krzywych, powierzchni i płatów w n-wymiarach. Były tam np. wytłumaczone tensory krok po kroku na przykładzie zwykłych układów krzywoliniowych jak sferyczny, walcowy itp. Wiem, że wytłumaczenie na tym poziomie zagadnień grup Liego jest współcześnie nieosiągalne, bowiem z jednej strony ludzie oduczyli się liczyć, zaś z drugiej po przebrnięciu przez podstawy matematyczne naprawdę nie ma po co wracać do obliczeń szczegółowych. Z tamtego dzieła pamiętam, że dużą wagę przykładano do tzw. trójścianu Freneta, dzięki któremu można niemalże na palcach pokazać, czym jest styczna i kostyczna.
pl.wikipedia.org
Niestety, jest tu używany archaiczny język fizyki i matematyki, który ostatecznie został (słusznie) zarzucony w matematyce, podobnie jak i w większości działów matematyki notacja sumacyjna Einsteina. Dlaczego jest to zły język? Bowiem nie wszystkie pojęcia współczesnej następczyni geometrii analitycznej da się opisać z pomocą wektorów, tak samo jak nie wszystkie ważne obiekty geometryczne będą tensorami. Po prostu nastąpiło kolejne wielkie uogólnienie, które ukazuje dużo więcej kosztem tłumaczenia dokładniej. Nic na to nie poradzę. Jednak teoria grup jest na tyle ważna, że wykłada ją się już od wielu lat na politechnice jako osobny przedmiot. Nie chodzi tu przy tym o typowe zagadnienia inżynierskie jak krystalografia, kombinatoryka, albo macierze. Chodzi głównie o to, że bez tego nie da się w ogóle wyjść poza mechanikę klasyczną. Już w teorii obwodów jest widoczna tendencja do wychodzenia w funkcje harmoniczne, specjalne i ogólnie analizę funkcjonalną. Ma to związek z tą dziwną deltą Diraca, która nie jest funkcją. Właśnie dlatego, że nie robi się tego porządnie, po kolei i regularnie, tak trudno przyswoić sobie nieskończenie wymiarowe przestrzenie Hilberta (i mechanikę kwantową). A tam wyżej mamy właśnie zwierzyniec różnych grup i algebr Liego, które są tylko wyjątkowo porządnymi rozmaitościami z wektorami w przestrzeni stycznej podlegającymi działaniu nawiasu Liego, uogólniającego różniczkowanie. Może jutro pokażę jakiś praktyczny przykład jak to się je. ;)
uu.diva-portal.org
Elementy algebr Liego to są takie symetrie równań różniczkowych i działa to trochę podobnie do teorii Galois dla zwykłych równań wielomianowych. W kontekście fizycznym, zasady zachowania pędu i energii, to są całki pierwsze pozwalające na obniżenie stopnia równania różniczkowego do 1. Ale równania stopnia 2 też są niezwykle ciekawe (patrz funkcje specjalne i rodziny wielomianów np. Czebyszewa itd.). Ma to związek z eliptycznością i dwuokresowością w dziedzinie zespolonej, po prostu z torusem (grupa Liego i jednocześnie powierzchnia Riemanna - dwa języki opisu i dwie geometrie). |
|
|
Tomaszek
Pytanie brzmi czy dotarło do kałmuckiego łba ? Zerojedynkowo , tak , nie , zero , jeden , nie ma że trzy to więcej . |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
Problemem dla mnie jest to, że Waszeci operujesz wyłącznie terminami czystej matematyki, które dopiero muszę przyswoić i zrozumieć. Natomiast o wiele łatwiej jest mi spoglądać z terenu fizyki, a tu konkretnie - dynamiki. Gdybyś przywołał walec, oponę, czy U-rurę i jeszcze parę przestrzeni fazowej, to moja wyobraźnia to intuicyjnie chwyta.
Taki jest mój problem. |
