|
|
kmeehow
Och, budzi Pan stare demony, tyle, że w nowoczesnym wydaniu. Nie, nie protestuję; dziękuję Panu za to, lecz kiepski ze mnie partner dla takiego matematyka jak Pan.
Niemniej, odniosę się do sprawy jednoznaczności. Czyż nie wykluczamy ze zbioru liczb pierwszych liczby “1”? Robimy to dlatego.że jedna z cech określająca liczbę pierwszą byłaby niejednoznaczna.
Równocześnie, definiujemy liczbę pierwszą jako podzielną przez samą siebie – a więc liczbę należącą do zbioru liczb pierwszych – oraz przez “1”, które do tego zbioru nie jest zaliczane.
Niekonsekwencja o pozornej niespójności, ale często przymykamy oczy na obowiązujące kanony, by wprowadzić “ulepszenia” dające nam instrument lepszego opisu zjawisk.
Vide pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, liczby zespolone, teoria nieoznaczoności Heisenberga,
teoria falowa vs. kwantowa.
Jako się rzekło, dzięki za wspaniały wykład, nad którym jeszcze długie godziny będę spędzał oraz za rekomendację książki, którą spróbuję nabyć, przeczytać, a może i zrozumieć. |
|
|
Dark Regis
A czy wie Pan czym jest funkcja zeta? Z jednej strony jest to właśnie funkcja związana ze spektrum pierścienia liczb całkowitych. Spektra, to coś podobnego do wartości własnych operatorów opisujących oddziaływania fizyczne. W szczególności są spektra operatorów do opisu kwantowych stanów ciężkich jąder atomowych (od tego zależy np. jakie jest widmo promieniowania danego pierwiastka, albo jakie pasma w widmie są wzbronione). Dlatego właśnie po stwierdzeniu zgodności statystyk dotyczących jąder atomowych i funkcji zeta Riemanna, powstał pomysł "stworzenia" sztucznego "pierwiastka" (abstrakcyjnego) zwanego riemannium, którego widmo "promieniowania" zgadzało by się z własnościami tej funkcji (ten wzór na gęstość z sinusem). Ale...
Funkcja zeta nie jest jedyna. Można ją nazywać wymierną funkcją zeta. Są inne. Aby zobaczyć całe zagadnienie we właściwym kontekście, trzeba zacząć od zdefiniowania relacji częściowego porządku. Na przykład dla liczb całkowitych taka relacja tworzy znaną linię ...≤-1≤0≤1≤2≤..., ale już dla zawierania się podzbiorów obrazek będzie inny, a dla relacji podzielności liczb jeszcze inny. W efekcie możemy na zbiorach częściowo uporządkowanych określać funkcje, które są monotoniczne, albo jakoś zgodne z tym porządkiem. Przykładem takiej funkcji jest funkcja incydencji, która w teorii grafów opisuje po prostu, który wierzchołek, z którym innym wierzchołkiem połączony jest krawędzią (wtedy ma wartość 1) w postaci macierzy incydencji. Prowadzi to do zbioru takich funkcji i operacji arytmetycznych na nim, które razem nazywamy algebrą incydencji. Dalej jest jeszcze ciekawiej.
https://en.wikipedia.org…
Taka zwykła funkcja incydencji, czyli funkcja f(x,y)=1 gdy x≤y i zero w pp. nie jest zbyt ciekawa. Dużo ciekawsza jest informacja, jak w danym porządku umieszczone są względem siebie porównywane elementy i tą informację dostarcza tzw. funkcja Mobiusa (w linku). Różne takie funkcje zgodne z porządkiem można ze sobą splatać tak samo jak splata się dwa ciągi lub szeregi liczbowe i wtedy już funkcje te stanowią grupę. Tu trzeba by wymachać rękami cały rozdział pt. zredukowane algebry incydencji - pomijam. Tak samo z różnicami kolejnych elementów ciągu jako odpowiednikiem różniczkowania i ciągiem sum częściowych jako odpowiednikiem całkowania (jest gdzieś w sieci). Zwykły porządek liczb całkowitych prowadzi właśnie do tych wniosków i tam mamy zwykłą funkcję Mobiusa i związaną ze splataniem z ciągiem (1,-1,0,0,...), które robi za różniczkowanie, oraz trywialną funkcję zeta związaną ze splataniem z ciągiem jedynek (1,1,1,...), które jest swoistym całkowaniem. Tu znów trzeba wymachać cały rozdział o szeregach potęgowych, ich rodzajach, rekurencjach itp. (polecam Knutha "Matematyka konkretna"). Czyli mówiąc wprost funkcja Mobiusa służy do odwracania sum wyrazów (takich szeregów "zeta") innych funkcji zgodnie z przyjętym porządkiem.
A teraz najlepsze.... |
|
|
Dark Regis
Gdy zwykły porządek zastąpimy porządkiem podzielności, czyli k|m, to zarówno funkcja Mobiusa (różniczkowanie) zmieni swą postać, jak i funkcja zeta (całkowanie). To właśnie tutaj znajduje się ta słynna funkcja zeta Riemanna. Jej standardowo prezentowana postać jest jednak innej natury, gdyż wymaga przedłużenia tej funkcji na dziedzinę zespoloną. U Knutha znajdzie Pan bardzo wiele informacji na ten temat, jak chociażby przedłużanie silni, współczynników dwumianowych, wreszcie ten jego słynny system pozycyjny z bazą urojoną (quater-imaginary).
Ja chwilowo nie mam jeszcze narzędzia do liczenia w takich systemach zespolonych (pisze się dopiero ;), ale mam kilka ciekawostek o systemie z bazą B=-3±i√19. Jest to system, który pojawia się po zadaniu "głupiego pytania": w jakiej bazie B liczba 15 ma postać J(B;4)=[1111]? Czyli cztery jedynki w zapisie pozycyjnym. Można sobie dla krótkości oznaczyć v:=i√19, ale to nie jest dobry sposób rachowania w tych systemach. Lepsze jest przedstawianie liczb względem bazy B. Czyli [10]=(-3-v)/2=B, [100] = (-5+3v)/2 = -3B-7, [1000] = 18-v = 2B+21, [10000]=15B-14, ... Trzeba sobie po prostu zrobić taką tabelę przeliczania pomiędzy wartością i notacją (Sys):
Val: 0 1 ... 6 B B+1 ... B+6 2B 2B+1 ... 2B+6 ... 6B+6 -3B-7 -3B-6 ... -3B-1 -2B-7 -2B-6 ... -2B-1 -B-7 -B-6 ... -B-1 ...
Sys: 0 1 ... 6 10 11 ... 16 20 21 ... 26 ... 66 100 101 ... 106 110 111 ... 116 120 121 ... 126 ...
To są przykłady rozkładów "repunits" na czynniki: J(3) = [111] = [135*13] = [2*124] (-2B-6=-2*(B+3) = 2*(-B-3) w wartościach); J(4) = [3*5] = [11*101] (15=3*5; (B+1)(-3B-6) = -3(-3B-7)-9B-6 = 9B+21-9B-6=15). W drugim przykładzie 5 jest uogólnieniem Małego Twierdzenia Fermata. Że nie ma jednoznaczności rozkładu? Sparafrazuję Eulera: "Jeśli nie ma jednoznaczności, ale widać wyraźne związki, to chrzanić jednoznaczność." :))) |
|
|
kmeehow
Fascynujące to co Pan pisze - znowu zaniedbam domowe obowiązki.
A odnośnie teorii Riemanna, znajduje ona swoje potwierdzenie w fizyce kwantowej ( poziomy energetyczne pierwiastków ciężkich a miejsca zerowe funkcji zeta). Myślę, że jej prawdziwość nie budzi większych wątpliwości wśród naukowców, lecz brak jeszcze teoretycznego instrumentu dla skonstruowania dowodu.
Tak było z twierdzeniem Fermata, które po setkach lat usiłowań, dopiero po zastosowaniu topologii
mogło być udowodnione. |
|
|
Dark Regis
Dodam tylko, że nawet udowodnienie hipotezy Riemanna, gdyby okazało się wykonalne, nie rozwiązuje problemu. Problem bowiem stanowi nie to, jak statystycznie lub asymptotycznie zachowują się liczby pierwsze w różnych układach i konfiguracjach, lecz to, dlaczego dane rodziny liczb zawierają tę konkretną skończoną liczbę wyjątków i czym są te wyjątki, z czym się wiąże ich występowanie. Np. w rodzinach liczb "repunits" (zapis pozycyjny złożony z samych jedynek J(k)=1...1 długości k=1,2,... w danym układzie pozycyjnym o bazie całkowitej B) pojawia się tylko skończenie wiele liczb pierwszych. W systemie czwórkowym tylko jedna, gdyż każda liczba J(k) nieparzystej długości ma dodatkowy rozkład postaci 2...23*13...3 np. J(7)=223*1333, J(13)=222223*1333333, J(19)=222222223*1333333333,... Oczywiście jest to związane z tym, że jak wykorzystamy już wszystkie metody rozkładu na czynniki wielomianów postaci J(x;n)=x^n+...+x+1 (ze współczynnikami równymi 1), które są prawdziwe dla wszystkich baz, to dodatkowe równości związane są z własnościami samej bazy x:=B i dalej rozkładamy J(B;n) na podstawie tych nowych "klocków". Dla systemu czwórkowego, obok standardowych własności cyfr, czyli x-1=3, x-2=2, x-3=1, x-4=0 (Uwaga! nie przenosić na drugą stronę i nie skracać, bo to są tylko konwersje napisów, a nie wartości liczb), mamy jeszcze np. 2*2=4 (czyli 10 w tym systemie) zapisane tak (x-2)(x-2)=x. To jest bardzo podobne do klasycznego zagadnienia z geometrii algebraicznej, gdzie na rozmaitości algebraicznej opisanej układem wielomianów, rozważamy krzywe zadane innymi dodatkowymi równaniami (np. położenia paraboli na torusie). Torus to jest taka płaszczyzna, którą kleimy na "końcach" w nieskończoności tak, żeby proste pionowe (poziome) zamykały się w okręgi nie przecinające (równoległe) innych okręgów "pionowych" ("poziomych"). To jest jeden ze sposobów uzwarcenia płaszczyzny. Trzy inne to sfera, butelka Kleina oraz płaszczyzna rzutowa. A są jeszcze wręcz gigantyczne uzwarcenia Cecha-Stone'a :] |
|
|
Dark Regis
Tak, to brzmi nieprawdopodobnie. Zwłaszcza to, że niektóre z tych systemów pozwalają zapisać wszystkie liczby zespolone w formie pozycyjnej bez znaku czyli np. 123.456... oczywiście wartością tego wyrażenia nie będzie "sto dwadzieścia trzy i czterysta pięćdziesiąt sześć tysięcznych", tylko pewna liczba zespolona. W zależności od wielkości liczb w takim systemie pozycyjnym, po naniesieniu ich na wykres pojawiają się fraktale zwane "smokami". To zaś ma związek z tzw. zagadnieniem "affine space tiling", czyli parkietażami, inaczej podziałami płaszczyzny zespolonej na płytki o podobnych kształtach. To z kolei ma związek z zagadnieniem automorfizmów płaszczyzny o określonych cechach. A dalej jest już nowy dział w kryptografii, czyli systemy kodowania oparte o te automorfizmy ;)
A co ze starym działem, czyli kryptografią eliptyczną? Mam poważne podejrzenia, że nie jest on już bezpieczny. To dopiero takie matematycznie przeczucie, więc staram się znaleźć jakieś uzasadnienie. Ale jeśli tak jest, to czemu nie skorzystać z takiej okazji i nie skopać du..ska twórcom ransomware? ;) Czyli krótko mówiąc znaleźć metodę na jeszcze skuteczniejsze wykrywanie słabych kluczy, masterkeys, kanałów podprogowych i takich tam zabawek w metodach stosowanych przez komputerowych terrorystów? Oczywiście zniweczyło by to również plany rozmaitych złych, tajnych i dwupłciowych wywiadów w sensie posiadania waloru zaskoczenia, gdyby "przypadkiem" okazało się, że nasze konta bankowe są już dla nich zupełnie przezroczyste.
Oczywiście nie mówimy tu o algorytmach w klasycznym sensie, albo o zwykłych funkcjach obliczalnych (rekurencyjnych, maszyna Turinga), bo to albo nierealne, albo wisi na włosku hipotezy Riemanna. Problemem stały się komputery kwantowe i ich eksponencjalne zmniejszenie wymagań czasowych dla pewnych obliczeń. Westerplatte liczb pierwszy nadal się broni, została tylko zburzona górna kondygnacja strażnicy ;) Jednym z bardzo obiecujących podejść są nowe "metody sita". To za długa historia na to forum, a zaczyna się od Greka Eratostenesa. W każdym razie polecam rzucić okiem na nazwisko Chun-Xuan Jiang, który twierdzi, że ma sposób na udowodnienie ponad 600 najtrudniejszych hipotez na świecie, w tym hipotezy Goldbacha, gdyby hipoteza Riemanna okazała się prawdziwa. Jest to w zasadzie automat, funkcja sita Jianga, która zeruje się w przypadku, gdy zadana wielomianami rodzina liczb zawiera skończoną ilość liczb pierwszych, albo nie zeruje się i wtedy wśród liczb jest nieskończenie wiele liczb pierwszych. Ponadto funkcja zeta Riemanna nie nadaje się do obliczeń komputerowych, zaś funkcja Jianga tak. Jest też rozwijana koncepcja "quantum annealing" (kwantowe wyżarzanie). Oj dzieje się w matematyce. Czas pokaże, czy mam rację.
1. Funkcja sita Jianga w działaniu: http://citeseerx.ist.psu…
2. Dla porównania test pierwszości Millera-Rabina:https://en.wikipedia.org… |
|
|
kmeehow
Ta mnogość koncepcji rodzi podstawowe pytanie: czy przyjęcie innych założeń pierwotnych nie spowodowałoby że ludzkość poszłaby zupełnie inną drogą i czy nie posłużyłoby to lepiej opisowi rzeczywistości?
Chyba tak, ale dalsze konsekwencje są nie do odgadnięcia, bo jak Pan słusznie napisał “ludzkość
nie może znaleźć drogi do domu”. Pozostaje więc radość gonienia króliczka... i niewieści czar.
O systemach z bazą ujemną i zespoloną muszę poczytać, bo brzmi nieprawdopodobnie.
Dzięki za “tip” i komentarz.
szacunek |
|
|
kaliszanin
tam mój dom gdzie serce me |
|
|
Dark Regis
W jakimś sensie tak. Jednak piękno matematyki jest nieprzemijalne. Stałe, wieczne i odwieczne jak sam Wszechświat.
Właśnie nad tym się zastanawiałem. Przy sobocie po robocie jedni idą pić, ja zaś biorę się za książki.
Słyszał Pan może o różnych dziwnych systemach notacji pozycyjnej liczb? W dziesiątkowym każdy z nas siedzi od dziecka. Informatycy poruszają się też w binarnym i szesnastkowym. Ale kto słyszał o systemie z bazą ujemną, pierwiastkową, albo zespoloną, czy wreszcie dowolną rzeczywistą (β-expansions), jak powiedzmy π? To jest właśnie współczesność piękna matematyki, że ludzkość wciąż krąży wokół tych treści, własności liczb i wciąż nie może drogi do domu znaleźć. :]
Kanon... https://www.youtube.com/… |
|
|
kmeehow
Ach, te wykonawczynie... piękno matematyki blednie.
Mam rację?.
|
|
|
Dark Regis
No nie wiem, nie wiem...
Przypomnę tylko gościom na blogu, że mamy właśnie karnawał i napinka nie jest wskazana. ;)
Pozdrowienia.
https://www.youtube.com/…
https://www.youtube.com/…
https://www.youtube.com/… |
|
|
kmeehow
Oskara by chyba nie dostał.
szacunek |
|
|
Dark Regis
Teraz tylko do tego tekstu film dokręcić ;)))
https://www.youtube.com/… |
|
|
kmeehow
Jaki jest koń, każdy widzi.
Pozdrowienia |
|
|
kmeehow
Pozdrowienia |
|
|
kaliszanin
i tak oto pierwszy komentarz podważający właściwą zawartość gwary w gwarze (której jednak autor owego komentarza przezornie nie podaje) w piękny sposób zobrazował treść Pańskiego dzisiejszego wpisu. nic dodać nic ująć. tak trzymajmy i patrzmy końca. |
|
|
HenrykH.
A może autor tak pisze bo niektórzy nijak po polsku nie rozumieją? |
