|
|
Ptr
Meissner, krótkie, ale ciekawe. Dziś napotkane. https://www.youtube.com/…; |
|
|
Dark Regis
Na stronie 25 jest wyjaśnione, kiedy to jest możliwe, ale wytłumaczenie tego wymaga odwołania się do funktorów reprezentowalnych, czyli do lematu Yonedy. Na szczęście jest to przypadek prosty. W toposie G-Set, gdzie G jest grupa dyskretną, klasyfikator podobiektów jest taki sam jak w Set, czyli zbiór dwuelementowy {0,1}. Jest to więc topos boole'owski i można zacząć się rozglądać za obiektem liczb naturalnych. Jaki więc jest obiekt liczb naturalnych w toposie G-Set? Jest to zwykły zbiór liczb naturalnych N z trywialnym działaniem grupy G.
W zalinkowanym dokumencie jest wyjaśnienie jak to działa w G-Set dla grup topologicznych (Cont(G)), czyli też Liego. Okazuje się o dziwo, że to ten sam klasyfikator. Autor pracy naprawdę stara się wyjaśnić, jakie są różnice pomiędzy toposem G-Set, a np. kategorią grup, więc warto koło tej pracy pochodzić. Mnie właśnie obecnie bardzo interesuje, jaki jest wzajemny stosunek toposów postaci G-Set oraz kategorii grup Grp, w całym spektrum kategorii. Musi być jakiś głębszy związek i odniesienie do "układu okresowego" grup prostych, skoro jest tyle powiązań w rozmaitych teoriach szczegółowych i kombinatoryce.
Topos jest uogólnioną przestrzenią, uogólnioną algebrą funkcji. Kategorią snopów. Samą esencją teorii geometrycznej pierwszego rzędu. Topos jest miejscem do uprawiania syntetycznej geometrii różniczkowej, syntetycznej teorii porządku (domain theory, chodzi np. o zbiory częściowo uporządkowane, tak dzikie, jak porządek wprowadzany przez miarę na rodzinie wszystkich podzbiorów danego zbioru X). Topos jest wreszcie semantyką dla intuicjonistycznego systemu formalnego, jest intuicjonistyczną teorią wyższego rzędu.
Na zakończenie dodam, że toposy to nie wszystko. Już są nowe koncepcje, które jeszcze bardziej rozpychają ściany starej matematyki. |
|
|
Dark Regis
Właśnie znalazłem sugestywny przykład, który pozwoli Panu zrozumieć o co chodzi z tym rozszerzeniem języka.
W teorii równań różniczkowych mówi się, że w przestrzeni rozwiązań w zasadzie nigdzie nic ciekawego się nie dzieje, prócz punktów krytycznych (bodaj twierdzenie Frobeniusa, istnieje lokalny dyfeomorfizm wypłaszczający linie rozwiązań). W punktach krytycznych zaś dostajemy coś ekstra (przypadek rezonansowy). Obraz fazowy dla równania w otoczeniu punktu krytycznego (po obcięciu wyrazów wyższych rzędów), zależy od wartości własnych macierzy dla układu zlinearyzowanego. Mamy kilka typów obrazów, ale nie będę ich tu literalnie wymieniał.
Dwóch facetów wpadło na idiotyczny pomysł, żeby wziąć te obrazy fazowe i chyba sobie trochę poobracać strzałkami tak dla jaj. Przynajmniej tak mi się wydaje. Dotąd nikt tego nie robił, bo był za poważny. A tu nagle odkrycie "Kosterlitz–Thouless Transition", przy takim obracaniu różne typy portretów fazowych przechodzą cyklicznie w siebie. Proszę popatrzeć tylko na obrazki:
https://johncarlosbaez.w…
Skutek? Nobel z fizyki w 2016: https://www.nobelprize.o… |
|
|
Dark Regis
Tak. Aparat toposów staje się tu rodzajem mikro- lub teleskopu, za pomocą którego obserwujemy zjawiska. Mniej formalnie, ale chyba bardziej sugestywnie można to wytłumaczyć jako rozszerzenie języka opisu zjawisk, w celu pozbycia się paradoksów związanych ze zwykłym językiem dotąd używanym. Zresztą fizycy sami zakładają, że taki język lub aparat musi dawać możliwość nowego wglądu w szereg zjawisk, ale żadne z tych zjawisk nie może być związane tylko z jednym rodzajem wglądu. Musi być możliwa translacja. Cytuję:
"Zasada towariancji (N.P. Landsman, 2007)
Teorie fizyczne powinny być niezależne od wyboru toposu - zawsze istnieje możliwość (formalnego) ”przekształcenia” ”klasycznej” MK, opartej na pewnym toposie, do MK opartej na modelach standardowej teorii mnogości [ZFC] (i odwrotnie)."
To jest to, o czym mówiłem w znaczeniu wzajemnych odbić w Perłach/Sferach Indry. W translacji opisu teorii fizycznej z jednego języka na inny, można chwilowo stracić ostrość widzenia szczegółów z powodu ograniczonej siły ekspresji tego języka, ale nie można wprowadzić sprzeczności.
Pamięta Pan może jeszcze Davida Bohma z jego teorią holistyczną ukrytego porządku w mechanice kwantowej? On też nawoływał do zmiany języka, poprzez zdynamizowanie go, żeby lepiej pasował do specyfiki tej teorii. |
|
|
Dark Regis
W tym przypadku jednak nie będziemy już się zawsze tylko "obracać" w klasycznym sensie, ale pojawi się dziwne pojęcie "spinu". Dlatego właśnie niemal każdy zaawansowany podręcznik teorii względności jednym tchem mówi o przestrzeni Minkowskiego, grupie Lorentza, a zaraz potem o macierzach Pauliego lub spinorach. Ale to był tylko jeden z najprostszych takich przypadków. Ogólnie iloczyn skalarny będzie miał powiedzmy k plusów i m minusów w sygnaturze dla przestrzeni n=m+k wymiarowej. Co żyje w takiej dziczy to aż trudno sobie wyobrazić.
No tak, ale wiadomo jest, że nie wszystkie iloczyny skalarne mogą być wyrażone w takiej bazie wektorów, że będą miały formę z tego typu sygnaturą plusów i minusów. Doszliśmy zatem do pierwszej stacji, którą zwą trygonometrią Grassmanianów. Nie zawsze będzie tak, że w sposób liniowy wyrazimy przestrzeń jako produkt iluś kopii osi rzeczywistych. Najczęściej da się to zrobić tylko lokalnie, czyli w pewnym małym otoczeniu każdego punktu. Tu wkraczamy na teren tzw. rozmaitości. Jedne są bardziej regularne w kształcie, inne nie. Ogólniejsze konstrukcje z takimi formami dwuliniowymi, będącymi formą iloczynu skalarnego, zwą się rozmaitościami lub powierzchniami Riemanna. Nie jest tajemnicą, że na niektórych z nich też daje się zadać pewną "trygonometrię". Czyli, że są takie funkcje i takie wzory, które moglibyśmy podciągnąć pod pojęcie "sinusów" i niektórych własności typu "wzór sinusów" itp. Możemy też skonstruować za ich pomocą jakąś dziką funkcję Exp, która w zwykłym przypadku wiąże sin, cos, Exp dla liczb zespolonych.
To nie jest przypadek. Takie niektóre bardziej regularne rozmaitości, czyli posiadające pewne symetrie pozwalające na uzyskiwanie ciekawych wzorów, zwą się grupami Liego. Czyli jest to rozmaitość będąca grupą, albo grupa ze strukturą rozmaitości. Wśród nich są oczywiście zwykłe przestrzenie liniowe, niektóre sfery, torusy, przestrzenie macierzy i różne zamotane konstrukcje ilorazowe, ale nie wszystkie. Działanie grupowe musi być określone i ciągłe w topologii tej rozmaitości. Funkcje Exp, są zaś podstawowym narzędziem łączącym świat grup Liego ze światem algebr Liego. W skrócie Exp łączy świat funkcji ze światem ich pochodnych i różniczek, dlatego więc jest tego zawsze pełno w wykładzie o równaniach różniczkowych.
Ponieważ nie każda fajna powierzchnia dopuszcza działanie grupowe, to mamy kolejny problem. Topologia ogólnych rozmaitości też zna pewne funkcje Exp, które nie mają już tak dobry własności i regularności, jak w grupach Liego, ale to już zupełnie inny temat i bez teorii kategorii wytłumaczenie go będzie graniczyło z cudem.
Widzi więc Pan, że przeszliśmy niemal całą matematykę, ale już wcześniej zacięliśmy się na najprostszych analogiach. To właśnie reprezentuje ten wysiłek, który musiałbym włożyć w wytłumaczenie każdego jednego kroku. Jednak wierzę, że dzięki pewnym intuicjom i metaforom jesteśmy już krok bliżej prawdy. |
|
|
Dark Regis
Mówienie o tych zagadnieniach językiem prostym nie jest wcale takie proste. Polega to na dogłębnym zrozumieniu tematu, intencji oraz problemów, z jakimi twórcy próbowali się zmierzyć, pisząc swoje prace. Musiałbym to wszystko zrobić jeszcze raz sam, choćby w znaczeniu symbolicznym przemierzyć tę samą drogę, a na koniec dobrać zestaw przykładów i metafor, które będą najlepiej aproksymować sens i znaczenie danej teorii. Tak, aby uczynić ją zrozumiałą także dla niematematyka. Czuje Pan zapewne delikatną ironię, bo właśnie tym na polu literatury zajmuje się poezja, zaś w muzyce aranżacja.
Podam nietrywialny przykład. Weźmy trygonometrię i wyobraźmy sobie, że chcemy ją uogólnić ze względu na wymiar przestrzeni. W wymiarze 3 nasz znany trójkąt prostokątny staje się czworościanem prostokątnym, który można sobie wyobrazić jako trzy odcinki o długościach a,b,c, odłożone na osiach współrzędnych Ox,Oy,Oz. Przeciwprostokątną jest tu trójkąt, którego wierzchołki są końcami tych odcinków. W tym momencie wyobraźnia wielu ludzi już zaczyna zawodzić, bowiem nawet dla a=b=c=1, gdy weźmiemy kopię tego czworościanu, to nie złożymy z nich sześcianu tak, jak w wymiarze 2 dostajemy kwadrat. Prosze zauważyć jakie to jest podstępne: jeśli skleimy te dwa czworościany trójkątami "przekątnymi", to dostaniemy "sześć-ścian" ale z dziewięcioma krawędziami; sześcian ma 12. To są takie właśnie glitche w wyobraźni, że użyję terminu z zakresu programowania gier.
Teraz widać, że możemy utworzyć aż trzy różne funkcje, które są analogami funkcji trygonometrycznych sin i cos, a także sześć funkcji odpowiadających konstrukcji tg i ctg. Te pierwsze sugerują, że w wymiarze 2 tak naprawdę mamy tylko funkcję sin, a ta druga, to tylko sin drugiego kątą. Tak samo mamy tylko tangensy, które tworzymy dla każdej pary ścian "przyprostokątnych". Funkcje te możemy po prostu określić jako stosunek pól trójkątów stanowiących ściany czworościanu. Zwiększając jeszcze wymiar do n będziemy mieć odpowiednio n oraz n(n-1) funkcji typu sin i tg. Wszystkie są równoważne, ale już w wymiarze nieskończonym symetria ta się załamuje, bo w sumie zawsze jakaś oś będzie tak daleko, że nie da jej się traktować tak samo, jak pozostałych. No ale z nieskończonością i jej wyobrażeniem zawsze był problem.
Proszę zauważyć, że mimo iż używam znanych chyba każdemu słów ze szkoły średniej, to większości i tak nie uda się tego sobie wyobrazić. Brakuje wyobraźni, bo nie została ona na to przygotowana w szkole i wytrenowana. A to dopiero pierwszy krok w naszej podróży.
Teraz będziemy robić w zasadzie to samo, tylko funkcje będą odnoszone do rodzaju mieszaniny sfery i hiperboli, a nie okręgu (stąd cyklometryczne). Dzieje się tak na przykład w przestrzeni Minkowskiego, gdzie forma dwuliniowa określająca iloczyn skalarny ma sygnaturę (+++-), minus na końcu. Tu też mamy rodzaj uogólnionej "trygonometrii", czyli pewne związki i wzory. (...) |
|
|
Ptr
Rozumiem,że topos może być dobrym narzędziem matematycznym do opisu zjawisk kwantowych. Takie narzędzia jednak będą czymś pomiędzy nami a istotą zjawiska , nami a rozumieniem tych zjawisk wprost. Czymś czego działanie trzeba będzie najpierw zrozumieć, tak jak formalizm mech. kwantowej
Zakładając ,że możliwy jest jakiś postęp w rozumieniu zjawisk kwantowych wprost. Nie miałbym nic przeciw temu, aby był możliwy. I obok formalizmu uważam takie rozumienie za istotne. |
|
|
Dark Regis
To proste. Matematyka od zawsze wprowadza rygor i porządek w wyrażaniu treści, natomiast wynalazki pokroju postmodernizmu usiłują nobilitować rozbicie, pesymizm i bełkot. Na przykład schyłkowy dekadentyzm lub dadaizm. Dobre strony postmodernizmu, o których wspominałem, to np. intertekstualność (hipertekst). Logiczne prawo wyłączonego środka nie dopuszcza istnienia trzeciej wartości, ale ja ją dostrzegłem i nawet powyżej wskazałem.
Matematyka wydaje się nieatrakcyjna, niestrawna, bo jest trudna i stawia wymagania. Bełkot za to jest popularny, gdyż jest prosty i może to czynić dosłownie każdy. Gdzieś pomiędzy tymi skrajnościami jednak znajduje się obszar, w którym można zacząć coś w rodzaju prozelityzmu, czyli nawracania na właściwe cywilizacyjne tory. Tak, po latach panowania - przepraszam za wyrażenie - pojęciowej sraczki, musimy jakoś ucywilizować się na nowo, odkurzyć retorykę i podjąć wysiłek prowadzenia przedmiotowej dyskusji, a nie dwóch monologów. Pan Karoń bardzo dobrze odczytał tę potrzebę, ale - z całym szacunkiem - zbiegiem okoliczności ja byłem pierwszy ;)
Dziwi się Pan zapewne skąd takie myśli u matematyka i bardzo słusznie. Matematycy raczej tacy nie bywają. Ja jestem czymś, co nazwałem za Frankiem Herbertem (powieść Diuna) "Paskudztwem". Czyli samorodnym tworem na pograniczu matematyki, filozofii i humanistyki. Wiele mi dało kilkunastoletnie rozmawianie z czystej wody humanistami, w tym polonistami. Ja od nich czerpałem język i umiejętność ubierania myśli w słowa, zaś oni brali umiejętność ścisłej matematycznej argumentacji i porządku.
Bez rygoru i porządku nauka zaczyna uprawiać formę promiskuityzmu sama ze sobą, czego ewidentnym wykwitem jest taki choćby genderyzm. Wpadłem na ten pomysł już bardzo dawno temu, prowadząc na przełomie wieków szereg rozmów z ludźmi poprzez czata. Pewna poetka zapytała mnie kiedyś czym się zajmuję w życiu, a ja odparłem, że aktualnie pracuję jako informatyk, ale udzielam wsparcia dla humanizmu bez namaszczenia. To były trochę inne czasy i inni ludzie - artyści, fantaści, niespełnieni naukowcy, na wpół poeci, zarówno romantycy, jak i pragmatycy. Po prostu czat był czymś nowym, obiecującym medium, które znosiło bariery auli wykładowych i zgromadzeń seminaryjnych.
Szybko jednak w to środowisko zaczęła wpełzać nijakość i bezruch. Wiele osób zaczęło przesiadywać tam głównie po to, żeby poinformować świat o tym, że jest im źle lub właśnie wcięli kaszankę. Tę funkcję szybko przejęły Facebook (2004) oraz Tweeter (2006) (u nas też Gadu Gadu - od 2000, Nasza Klasa - 2006). I właśnie już około 2004 roku ja też zauważyłem, iż było po wszystkim, a więc już nie miałem tam więcej źródła inspiracji, zniknąłem z czata, zamknąłem bloga. Była to typowa wymiana pokoleniowa. Już nikt nie chciał rozmawiać o Tofflerze, mechanice kwantowej, końcu historii, czy teorii metafory. Internet zdominowały tematy prymitywne, by nie rzec prymitywy. |
|
|
Zbigniew Gajek vel Janko Walski
Przejrzałem sobie wstępnie obszary, po których Pan się tu poruszał, internet przydał się, pozostały dla mnie arcyciekawe. Gdyby jeszcze udało się Panu przedstawić je językiem zrozumiałym dla wszystkich - pewnie próba była, ale się nie udało. Pańska gotowość zgłębiania rzeczy i próba ogarnięcie myślami (wszech)świata jest u Gasseta przymiotem stanowiącym dla arystokracji ducha i umysłu, ale nie jedynym. Poza tym, nie jest to jedyne możliwe spojrzenie, niczego mu nie odbierając, a zatem trudno mówić o jego zupełności. Nie wskazuje też ścieżki, którą cywilizacja mogłaby kroczyć skazana na niezupełność i inne ułomności wzrostu szczytów wiedzy i średniej zamożności. 100 lat szukamy z tego wyjścia, ale na razie nie widać. Przeciwnie, następuje niezwykle groźne umacnianie się wyginanego w różne strony, podszytego hedonizmem postmodernizmu. Nie bardzo widzę w jaki sposób piękno i tajemnice matematyki, którą Pan tu przywołuje miałyby przekładać się na jakiś zdrowy nurt, którym podążałaby cywilizacja. |
|
|
Ptr
W tych dociekaniach, chciałem zwrócić uwagę, że popularne modele niektórych zjawisk są bardzo uproszczone do tego stopnia, że tracą walory naukowosci.
Obraz nieba jest zlożeniem wielu dyspersji z każdego punktu oświetlonej ćwierć-sfery. A więc nie zwykłą tęczą. A rozpraszanie bez rozbijania fotonów niebieskich na niższe częstości dałoby obraz nieba zachodzącego niebieski. W kosmosie obraz nieba np. 20deg obok Słońca jest czarny, gdyż nie widać fotonów lecacych w bok. Teraz przyjmijmy ,że w atmosferze niebieskie rozpraszają się silnie, a czerwone bardzo słabo. Jaki powinien być kolor nieba ? Powinien być niebieski, gdyż czerwone przelatują tak jak w kosmosie. Im grubsza warstwa atmosfery , tym bardziej niebieski obraz. A więc nie rozpraszanie jest przyczyną, ale rozbicie niebieskich i reemisja czerwonych plus złożony efekt dyspersji, jeszcze wzmocniony na goracych warstwach powietrza. |
|
|
Dark Regis
Jest jeszcze pewne zjawisko zwane kaustykami (caustic), albo bloody sky:
https://www.youtube.com/…
https://www.youtube.com/… |
|
|
Ptr
Ponieważ miałem chwilkę czasu policzyłem to załamanie w atmosferze i dyspersję względną dla rozmiaru Słońca nad horyzontem i wychodzą jednak małe wartości tej dyspersji , tak jak było widać szczątkowe zielone Słońce, to ewidentnie jej wynik. Kątowo mniejsza niż rozmiar tarczy słonecznej.
Ale ciekawe jest ,że kątowa rozbieżność położenia Słońca może być ok. 1 deg. , a rozmiar Słońca to 31 min. kątowych. Czyli Słońce "jest" pod horyzontem , a jeszcze jest widoczne nad. |
|
|
Dark Regis
Nie wiem czy ta prezentacja coś wyjaśni: http://knm.katowice.pl/w…
jedna z teorii wielu światów jest również motywowana teoria toposów (Chris Isham), gdyż jest to po prostu naturalne spojrzenie na logikę modalną. Zamiast określać, które formuły są spełnione lub prawdziwe zawsze, określa się tylko w których światach są one prawdziwe. Światy są związane pewną strukturą Kripkego, czyli określony jest na nich częściowy porządek. Dla logik temporalnych na przykład określa się, czy formuła jest spełniona w każdym następnym świecie, albo czy jest spełniona w jakimś następnym świecie.
Przy okazji tu jest strona faceta, który jest koneserem ciekawostek z dziedziny nauki i matematyki: https://golem.ph.utexas… |
|
|
Dark Regis
Topos należy rozumieć jako miejsce, gdzie można przejść od zewnętrznego opisu typowego dla teorii kategorii, czyli obiektów i morfizmów, do języka przypominającego język logiki, w którym można zapisać dalej aksjomaty przypominające znane nam aksjomaty teorii mnogości, teorii algebraicznych (gdy nie mieszamy elementów różnych typów) i geometrycznych (gdzie różne typy, takie jak punkt i prosta mogą być związane funkcją albo relacją). W logice mówimy o formułach, w których występują symbole zmiennych indywiduowych, stałych, symbole funkcji, symbole predykatów (relacji w modelach), operatory logiczne i kwantyfikatory. Po prostu zaczynamy od symboli zmiennych, potem z każdym obiektem zwanym teraz typem wiążemy tak zwane termy (term to taka formuła, która ma tylko zmienne i symbole funkcyjne, a nie ma np. symboli predykatów), z każdym morfizmem X->Y wiążemy termy f(t) typu Y, gdzie t był termem typu X, z produktem kojarzymy produkty termów czyli pary typu X i typu Y. Potem termy typu Omega (klasyfikator podobiektów, czyli uogólnione wartości logiczne) nazywamy formułami. Predykat "=" sygnatury (X,X) definiujemy jako obraz pary termów typu X przy morfizmie klasyfikującym podobiekt diagonalny, czyli przekątną w produkcie XxX->Omega. Predykat "należy do" sygnatury (X, Omega^X) definiujemy podobnie za pomocą morfizmu XxOmega^X->Omega. Symbole logiczne "i", "lub", "implikacja", negacja" są indukowane z obiektu Omega, który jest przecież algebrą Heytinga. Kwantyfikatory i reszta, to trochę więcej roboty, a na koniec mamy pełnoprawny język logiki. Z tym, że z tego powodu, że Omega jest algebrą Heytinga nie możemy miec normalnej implikacji i normalnej negacji, tylko tzw, implikację Heytinga i pseudodopełnienie.
Modelem teorii jest każdy zbiór, funkcje na tym zbiorze i relacje, którymi zastępujemy te symbole. Jeśli teoria jest niesprzeczna, to ma model. Podobnie jest w toposach, ale raczej w tym przypadku nie mamy zbiorów i funkcji, tylko obiekty i morfizmy toposu. W ten sposób możemy zdefiniować teorie, których aksjomaty będą formułami wewnętrznego języka toposu i w ten sposób otrzymujemy jakieś "zbiory", przy odrobinie szczęścia "elementy" oraz relację "przynależności". Wygląda to jednak bardzo dziwnie. Podobnym zagadnieniem zajmował się Henkin, ale on aproksymował pewne teorie w logikach nieklasycznych za pomocą modeli logiki klasycznej i wtedy często rozwalały się klasyczne pojęcia zbioru, elementu i relacji przynależności do zbioru. |
|
|
Dark Regis
No jeszcze nie wszystko. Teraz trzeba sobie uświadomić, że arytmetyka jest pochodną logiki, czyli, że za pomocą operatorów logicznych można liczyć tak, jak w algebrze. To z kolei stanowi podstawę do tego, że w ogóle konstrukcje algebr i bardziej skomplikowanych systemów relacyjnych oprzeć na formułach logiki. Tak właśnie robi algebra uniwersalna. Z tego wynika, że jeżeli w danej logice nie mamy sposobu zapewnienia, żeby dane formuły przyjmowały wartości zgodnie z wartościami logicznymi swoich składowych, to problemy przenoszą się od razu na możliwości zdefiniowania porządnej arytmetyki. W szczególności obiekt liczb naturalnych jest utożsamiany z jednym tylko aksjomatem arytmetyki - z zasadą indukcji. Oczywiście zawsze w dowolnej kategorii można określić schemat, który wygląda jak nieskończony ciąg morfizmów 0->1->2->3->... z tym, że najczęściej nie ma on własności uniwersalności.
Takim dobrym przykładem na to, co się wtedy może wydarzyć jest kategoria grup, choć nie jest ona toposem. Znajdujemy tzw. grupy proste, które są czymś analogicznym do liczb pierwszych. Tak jak każdą liczbę naturalną możemy rozłożyć na czynniki pierwsze, tak samo każdą grupę skończoną można rozłożyć na kawałki będące grupami prostymi. Problem w tym, że grupy, które przypominają choć trochę obiekt liczb naturalnych, czyli cykliczne nie są wcale szczególne. Co prawda można je zbudować tylko z grup prostych cyklicznych, czyli tych o rzędzie (liczności) będącym liczbą pierwszą, ale większości innych grup już nie. Potrzebne są jeszcze pewne inne nieskończone rodziny grup prostych oraz 26 tzw. grup sporadycznych. W tym takie grupy, którymi żywo interesuje się fizyka i kosmologia. Ktoś kiedyś pokusił się o to, żeby zebrać te wszystkie wyniki do kupy i wyszedł niemal układ okresowy pierwiastków: https://irandrus.files.w…
Nic zatem dziwnego, że teraz pewne grupy lub raczej formacje podgrup (ma to związek z danym rozkładem na grupy proste) nazywa się atomami symetrii. Jeszcze jest tam rodzina schematów zwanych diagramami Dynkina. Dynkin badał i klasyfikował arytmetyki niestandardowe, czyli takie co spełniają aksjomaty Peano ale różnią się klasycznej arytmetyki. Jest ich nieskończenie wiele. Ich tworzenie opiera się właśnie na sprytnym zbudowaniu ultraproduktu czyli takiego podzielonego przez dany ultrafiltr (tak jak wyżej pokazywałem w przypadku wszystkich zbiorów utożsamianych gdy różnią się o zbiór miary zero). Okazuje się, że to ma pewien związek z greckim mitem o obcinaniu głów Hydrze. Pisałem też o Henkinie i jego zmaganiach z logikami niestandardowymi. |
|
|
Zbigniew Gajek vel Janko Walski
No to teraz już wszystko jasne.
Proszę nie mieć za złe, ale pojechał Pan po bandzie. Takie zagęszczenie pojęć i ich rozumienie wymaga nieco wolniejszego tempa nawet dla kogoś, kto z podstawami topologii i teorii grup czy innych struktur algebraicznych już zetknął się. |
|
|
Dark Regis
Prawdopodobieństwo ma wiele paradoksów. Proszę poszukać twierdzenia Bella. Podstawowym problemem prawdopodobieństwa jest to, że jest oparte na klasycznej teorii miary. Miara jest to takie optymistyczne założenie, że jak dla przestrzeni X weźmiemy wszystkie podzbiory P(X) i zmierzymy je za pomocą funkcji o wartościach rzeczywistych nieujemnych, to będziemy mogli coś ciekawego powiedzieć o tych zbiorach. Chcielibyśmy na przykład, żeby suma miar dwóch zbiorów powstałych z przekrojenia danego zbioru U była taka sama jak wyjściowego zbioru. Jest to po prostu wprowadzenie porządku częściowego do rodziny podzbiorów P(X). Niestety, ale w ogólnym przypadku jest to niewykonalne, albo wykonalne ale przy niedopuszczalnych założeniach, na przykład usunięcie aksjomatu wyboru z teorii zbiorów powoduje, że wszystkie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych stają się mierzalne. Problem w tym, że niektóre takie podzbiory są tak dziwne, że prowadzą do paradoksów. Ograniczono więc wymagania do specjalnych rodzin podzbiorów zwanych mierzalnymi (trochę podobne w definicji do topologii, ale nie używamy dowolnie wielkich sum, a tylko przeliczalnych, na przykład zbiory borelowskie), stworzono z nich tzw. sigma ciała i wtedy miara zaczęła mieć już w miarę rozsądne własności. prawdopodobieństwo, to jest taka miara, która przyjmuje tylko wartości od 0 do 1.
Teraz proszę sobie wyobrazić taki twór: mamy miarę m na rodzinie podzbiorów mierzalnych M zawartej w P(X). Może być tak, że jakiś zbiór U zawarty jest w zbiorze V i mają tę samą miarę. To znaczy, że różnica zbiorów V-U jest miary m zero. Jeszcze raz bierzemy wszystkie podzbiory P(X) ale tym razem utożsamiamy te wszystkie, które różnią się od siebie zbiorem miary zero P(X)/I.To co otrzymujemy jest pewnym kuriozum. Mówimy o własnościach zachodzących prawie wszędzie.. Otóż zbiorami miary zero najczęściej bywają zbiory skończone. W ogóle rodzina wszystkich podzbiorów ma strukturę algebry Boole'a z sumą, przecięciem, dopełnieniem, całym X jako jedynka i zbiorem pustym jako zero, a w tej algebrze punkty są atomami. Po tej operacji otrzymujemy też algebrę Boole'a P(X)/I, ale już bezatomową. Co śmieszniejsze znika nam znacznie więcej i to często bardzo sensownych rzeczy ;)
Dostajemy właśnie konstrukcję snopa, a następnie toposu zbiorów i funkcji mierzalnych:https://www.andrew.cmu.e…
W probabilistyce też mówi się o czymś, że jest równe z prawdopodobieństwem 1, albo zachodzi prawie na pewno, jeśli to pozostałe jest miary zero, albo pomijalnie małe, czyli można to pominąć. To jest podobna konstrukcja do pokazanej powyżej.
PS: Najczęściej problemy związane z przekłamaniami przy stosowaniu nomenklatury probabilistycznej polegają na tym, że mówi się o tzw. prawdopodobieństwie warunkowym w tym samym kontekście co o wyjściowym prawdopodobieństwie. |
|
|
Dark Regis
Topologia jest po prostu znacznie bardziej zawikłana niż algebra, a więc jest to uproszczenie. Tymczasem Alexander Grothendieck dostrzegł pewną analogię pomiędzy konstrukcjami geometrii algebraicznej, które wprowadza już się na bardzo wysokich poziomach abstrakcji i wysublimowanej algebry, kiedy już mało kto orientuje się o czym mowa (np. przestrzenie upierścienione), z tymi podstawowymi przestrzeniami topologicznymi. Skoro jednak mamy przestrzenie topologiczne, to abarot mamy funktory jakichś homologii i tak w kółko. Problem stanowiło tylko to, że te wyższe topologie, które zwykle określało się dla spektrum jakiegoś pierścienia wcale nie chciały być porządne, podobne do tych, od których wychodził. To go wkurzyło i zaczął szukać przyczyny. W ten sposób stworzył pojęcie topologii abstrakcyjnej, którą zadaje się za pomocą schematów, a nie rodzin zbiorów otwartych.
Te schematy są o dziwo dość proste do zrozumienia. Najpierw bierzemy jakiś zbiór wierzchołków, które są obiektami jakiejś małej kategorii z produktami (wyżej), z tym, że tu jest specjalny typ prod. włóknistych. Mamy więc już jakieś morfizmy, czyli strzałki jak dla grafów (wyżej). Potem dla każdego obiektu U z tej kategorii określamy rodzinę wszystkich jego morfizmów P(U) ={U(i)->U}, które stanowią tzw. pokrycie. Tu jest ten trudniejszy fragment, bo trzeba powiedzieć o snopach i presnopach, co pominę. Powiem tylko, że zachowują się one tak jak "rodzina zbiorów otwartych w topologii". To właśnie wykoncypował Grothendieck, że toposy będą takim uogólnieniem topologii na snopy.
Z drugiej strony Lawvere i Tierney stworzyli kompletnie inną konstrukcję toposu, która podchodziła do zagadnienia od strony logiki i stanowiła uogólnienie algebry fukcji. Rozpoczęli oni od określenia tzw. klasyfikatora podobiektów. W pewnym sensie jest to uogólnienie na kategorie znanej z matematyki klasycznej koncepcji funkcji charakterystycznej podzbioru. Funkcja ta dla dla elementu należącego do podzbioru przypisuje jedynkę, a dla wszystkich pozostałych zero. A co się stanie, gdy będziemy mieli {0,1,X} i jeszcze jakąś wartość X? Albo romb z jedynką na górze, zerem na dole, a pomiędzy nimi dwa nieporównywalne ze sobą X i Y? No właśnie. Wygląda na głupią zabawę, a okazało się, że jest tożsame z podejściem Grothendiecka. Tyle tylko, że te zbiory wartości z jedynka na górze i zerem na dole muszą mieć szczególną strukturę tzw. kraty lub algebry Heytinga. O dziwo jest tak wtedy, gdy stanowi ona model dla pewnej logiki, w której jednak nie musi zachodzić zasada wyłączonego środka (albo podwójnej negacji). Logiki modalnej.
W ten oto sposób z poziomu wyższych teorii algebraicznych wyłonił się koncept, który przestał być zgodny z podstawami teorii mnogości ZFC. |
|
|
Dark Regis
Teraz idziemy jeszcze dalej. Zakładamy, że wśród naszych schematów, które zostaną zrealizowane w jakiejś konkretnej dziedzinie matematycznej, na przykład przestrzenie jakieś, algebry siakie, albo po prostu zbiory i funkcje (kategoria Set), będziemy mieli takie schematy, które w pewnym sensie będą początkowe lub końcowe dla wszystkich innych o tym samym kształcie. W ten sposób definiuje się obiekty uniwersalne, czyli mające pewien typ uniwersalności. Jeśli np. weźmiemy schemat A<-C->B, to będzie istniał taki obiekt X, że schemat A<-X->B będzie końcowym dla tej klasy (czyli istnieje jednoznacznie określony morfizm z C->X, dla którego diagram jest przemienny). Oczywiście X jest tak zwanym produktem AxB, czyli w kategorii Set po prostu zbiorem par, produktem kartezjańskim, gdzie pierwszy idzie element z A, a drugi jest element z B, a X->A, X->B to są rzuty na pierwszy i drugi składnik. Produkt nie musi jednak tak wyglądać dla wszystkich kategorii, a nawet nie musi istnieć. Te kategorie w których istnieje są tymi porządniejszymi. Gdy rozważamy schemat z odwróconymi strzałkami i szukamy obiektu początkowego, czyli A->C<-B, to określamy koprodukt. To ko oznacza właśnie ten rodzaj dualizmu, który powstaje przez odwrócenie wszystkich strzałek. Czyli ko-ko-produkt, to znów zwykły produkt. Te schematy z podwójnymi strzałkami dają tzw. ekwalizatory i koekwalizatory. Nazwy są naprawdę dziwne, ale jak widać sens jest prosty do uchwycenia.
Potem pomiędzy kategoriami definiuje się funktory, które przekształcają obiekty jednej w obiekty drugiej, zaś morfizmy w morfizmy, ale w taki sposób, żeby zachowywać schematy, a przynajmniej jeden typ odpowiadający złożeniu dwóch morfizmów. W ten sposób będą też zachowywane te bardziej skomplikowane jak produkty. Oczywiście wszystkie kategorie, albo przynajmniej te nieduże są obiektami kategorii Cat, a funktory to ich morfizmy. Jeszcze inaczej można jako obiekty potraktować funktory, a morfizmami będą tzw. transformacje naturalne funktorów. Nie będę tego dalej rozwijał.
Języka kategorii możemy używać, do badania podobieństw pomiędzy teoriami matematycznymi. Możemy na przykład określić funktor pomiędzy jakimiś zakręconymi przestrzeniami, które kawałkami przypominają np. płaszczyznę par licz rzeczywistych (rozmaitości), a grupami, czyli takimi porządnymi i dobrze zbadanymi algebrami. Możemy na różne sposoby przypisać każdej rozmaitości jakąś grupę i potem porównując te grupy twierdzić, że te rozmaitości mają własność taką lub inną. Najbardziej znane funktory z kategorii rozmaitości do kategorii grup, to są homotopie (zanurzenia sfer ze względu na ściągalność do punktu) oraz homologie (dzieli się przestrzeń na prostsze klocki np. sympleksy i bada ich strukturę). To już wyższa matematyka, ale chodzi tu po prostu o zastąpienie informacji o topologii przez informacje o algebrze (grupie). |
|
|
Zbigniew Gajek vel Janko Walski
Czyli umysł człowieka wyposażony został w to narzędzie... Pański entuzjazm udzielił mi się - włączę toposy w obszar swoich zainteresowań, jeśli dam radę.
Jedna mała uwaga do cokolwiek lekceważącego potraktowania w którymś z komentarzy adaptacji prostych modeli fizycznych układu wielu ciał w naukach niefizycznych. Uzyskano z nich szereg nietrywialnych wyników. Przykładem może być największe prawdopodobieństwo zmiany opinii na przeciwną wówczas gdy opinia mniejszościowa osiągnie bodaj 28%. Chłopski rozum podpowiadałby np. 49%. Model sugeruje, że dla większej liczby prawdopodobieństwo jest mniejsze. Badania socjologiczne potwierdziły owe 28%! Z tego modelu wynika także wniosek, że mniejszość statystycznie istotna zawsze ma rację... |
|
|
Dark Regis
Sztuczna inteligencja, która zajęła się problemami rozpoznawania mowy, klasyfikacja treści i ogólnie maszynowym uczeniem, również przyjęła model, że treści języka naturalnego są pewnymi ciągami znaków, które czytane od początku do końca powodują dopasowywanie się pewnego wyuczonego wstępnie automatu do danej treści (HMMs = ukryte modele Markowa). Jeśli to dopasowanie jest dostatecznie duże, to znaczy, że z dużym prawdopodobieństwem tekst znaczy to, czego wstępnie nauczyliśmy ten automat. W ten sposób można automatycznie przeglądać miliony postów, artykułów, stron WWW i klasyfikować je jako: sport, polityka, nauka, literatura itp. Automat ten jest jednak grafem, a nie strukturą linearną.
Współczesne metody klasyfikacji poszły jeszcze krok dalej i obok samych grafów zależności słów i bloków słów, biorą pod rozwagę cały płynny kontekst. To pozwoliło na stworzenie systemów rozpoznających nie tylko język pisany, mówiony, ale także mowę ciała i potencjalne zagrożenia (systemy monitoringu). Musiały jednak w tym celu użyć uogólnienia grafów znanych hipergrafami. Co to jest? Najkrócej graf jest zbiorem kropek, które połączymy w jakiś sposób kreskami (nawet nie wszystkie); graf skierowany jest to zbiór kropek połączonych strzałkami. Obie te definicje łączy to, że dla wierzchołków V, wybieramy krawędzie jako pary (u,v): w pierwszym przypadku nie uwzględniamy porządku w parze, zaś w drugim tak. Hipergraf, to już poważne wyzwanie dla wyobraźni: teraz dla zbioru wierzchołków V wybieramy jakieś pary, trójki, czwórki,... entki i nazywamy je hiperkrawędziami. Jeśli kolejność w danej entce ma znaczenie, to jest to hipergraf skierowany. Bardziej formalnie: dla V określamy rodzinę jego wszystkich podzbiorów P(V) i z tej rodziny wybieramy sobie podzbiór E (hiperkrawędzi). Dopóki wszystko dzieje się dla zbiorów skończonych, to nie ma problemów. One pojawiają się wraz z pojęciem nieskończoności.
Teraz mamy następującą koncepcję: mamy jakąś prostą, mówi się naive (naiwną), teorię mnogości (wystarczy mieć jeden zbiór przeliczalny, np. liczb naturalnych) albo "naiwną" logikę i dzięki temu możemy stworzyć grafy. Grafy te nazywamy schematami. Najprostszy schemat to po prostu jakaś kropka - nazwiemy ją obiektem - i od razu zakładamy, że mamy strzałkę w formie pętelki, czyli tzw. morfizm w siebie dla tego obiektu. Potem bierzemy dwie kropki, czyli dwa obiekty i jedną strzałkę dla typowego morfizmu miedzy obiektami. Możemy wziąć trzy kropki, wiele kropek i tak na prawdę kłopot zaczyna się przy nieskończonym ciągu, który jest właśnie czymś takim, jak obiekt liczb naturalnych lub wyrażeniem zasady indukcji. Potem możemy brać bardziej skomplikowane diagramy: A->B=>C, gdzie pomiędzy B i C są dwa morfizmy; odwrotnie A=>B->C; A->B<-C obie strzałki w stronę B; A<-B->C obie strzałki od B; trójkąty A->B->C<-A itd. Oczywiście wniosek z tego, że grafy są po prostu kategorią, tak samo jak porządki. |
|
|
Dark Regis
Toposy są naprawdę ponad teorią pola, ponieważ teoria pola jest ściśle związana z pojęciami ciągłości i różniczkowalności. Toposy zaś nie, a do tego pozwalają wprowadzić do modeli matematycznych dla fenomenów fizycznych nie tylko chropowatość, konieczną do wyrażenia świata siatek atomowych - jak widać na obrazach materii z mikroskopu elektronowego, atomy nie mogą leżeć gdziekolwiek i poruszać się dowolnie, a to wyklucza pełne opisy za pomocą gładkiego aparatu geometrii różniczkowej i analizy na rozmaitościach i właśnie o tym kolega wspominał, mówiąc, iż tajemnicze i zadziwiające jest, że te obliczenia dobrze zgadzają się z obserwacjami (platonizm). Toposy pozwalają wprowadzić również niemonotoniczność rozumowania, wielobieżność, pewien rodzaj indeterminizmu, wsteczny causalism, nieprzemienność oraz niełączność (oktoniony). Te pojęcia przez lata matematyka skazywała na wygnanie, twierdząc o nich, że są "nieładne". Taki dogmat "świat jest zbyt piękny i doskonały, żeby miał być opisywany za pomocą nieładnych modeli", okazuje się dziś błędny.
Tak, toposy otwierają nowe światy, ale brak tu miejsca na przedstawienie dowodów, a prace nadal są w toku. Epistemologia pozwala mi w tym miejscu zachować zdrowy umiar i rozsądek. Nie chciałbym, żeby moja fascynacja skończyła się podobnie, jak fascynacja elektrycznością, magnetyzmem, balonami, komputerami, lotami w kosmos i tak dalej. To jest domena magików od oczarowywania ludności trickami, pisarzy i fantastów. Ja czekam na konkrety.
No może podam jeden przykład, ale muszę najpierw zrobić odpowiednie wprowadzenie. Niech Pan zauważy, że język, którym się posługujemy zwykło się uważać za liniowy. Wrażenie to powstaje dzięki temu, że stosujemy zapis linearny złożony z ciągów znaków, które czytamy od lewej do prawej albo odwrotnie, a Japończycy i Chińczycy nawet od góry w dół. To jednak nie zmienia faktu, że czytając tekst znajdujemy początek i podążamy w kierunku jego końca. Z rozumieniem tekstu jest już zupełnie inaczej. Sądzi się ostatnio, że rozumienie polega na wychwytywaniu pewnych bloków (tokenów), które znajdują swoje odzwierciedlenie w pamięci (doświadczenia) i od razu rusza kaskada skojarzeń. Niektórzy dopatrzyli się nawet w tym nawet podobieństwa do procesów kwantowych. W zasadzie my nie czytamy tekstu, tylko coraz dokładniej składamy pewien obraz przekazywany przez jego treść i dokonujemy porównania go z tym, co już znamy. To oczywiste, bo jeśli ktoś miał w życiu nieszczęście uczyć młodzież, to wie, że żaden potok słów, nawet najmądrzejszych, nie jest w stanie wytworzyć żadnego rozsądnego obrazu w głowie młodego delikwenta, który o życiu guzik wie, czyli nie ma do czego odnieść tej treści. Z drugiej strony można zrobić prosty test i napisać coś z literówkami w słowach i jeszcze te słowa poprzestawiać, a i tak jest szansa, że ktoś to przeczyta i od razu odgadnie prawidłowe znaczenie. W tym sensie przekaz jest nieliniowy, tak samo język. |
|
|
Ptr
Przepraszam, ale nie jestem zawodowym fizykiem i nie słyszałem o teorii toposów, a jak można to podejście streścić w trzech zdaniach ?
Natomiast pojęcie dualizmu korpuskularno-falowego tkwi bardzo w paradygmacie klasycznej mechaniki, bo zakłada jakiś niezrozumiały dualizm, prowadzący jakby do mechaniki Bohma, który chce zachować falę i cząstkę.
A propos przemiany kopernikańskiej - zadaje się , że przemiana dokonywała się ta dokonywała się z pomocą wymiany pokoleniowej.
Geniusz narodu - wspaniała myśl. |
|
|
Zbigniew Gajek vel Janko Walski
Jestem pod wrażeniem, jak Pan ubrał moje stwierdzenia w historię myśli i kontekst. Nawet jeśli z niektórymi poszukiwaniami zetknąłem się, to nie potrafiłbym przywołać je o tak na poczekaniu. Co do toposów trudno mi się odnieść, bo nie mam o nich pojęcia. Jeśli dostarczają spójny opis dwoistości materii to pewnie w nieodległej przyszłości zastąpią teorię pola, o ile nie są jej wykwitem. Nie wiem jednak dlaczego miałyby nieść optymizm. Aż tak otwierają nowe światy, że końca nie widać? Bo tylko wtedy mogłyby nieść nadzieję na dalszy rozwój cywilizacji. Tak jednak zdaje się nie jest, skoro sam klasyfikuje Pan to po stronie epistemologii. |
|
|
Ptr
Przepraszam ,że zejdę na niższy poziom, ale w nawiązaniu do polityki mozna zauwazyć ,że analogicznie przebiega proces polityczny np. z prazydentem. Możnaby powiedzieć , że jest on teraz politycznie w superpozycji stanów z punktu widzenia obozu patriotycznego. Wszystkie czujniki są w stanie superpozycji tzn. informacje , relacje interpretowane są dwuznacznie. każdy ma w głowie niepewność. Jeżeli dokonujemy pomiarów, system powinien przejść w stan określony. Im więcej pytań do prezydenta , tym bardziej określony stan. Tym mniejsza nieokreśloność przyszłych zdarzeń, większy realizm. Jeżeli utrzymuje się dwuznaczność, ona będzie się rozwijać w rodzaj chorobliwej psychologii i propagandy , mieszaniny prawdy i kłamstwa...A na końcu będzie ZONK, gdy ktoś dokona rzeczywistego pomiaru. I może właśnie o to chodzić , by tego pomiaru nikt nie dokonał wcześniej. Aby nie było tak-tak , nie-nie. Ale wynik pomiaru zależy też od samego obserwatora, to znaczy społeczeństwa, które oczekuje określonego wyniku i ma na niego wpływ.
|
