RIP John Horton Conway

Dark Regis, 12.04.2021

Dziś przypada smutna rocznica śmierci jednego z najwybitniejszych matematyków współczesnych, charyzmatycznego Brytyjczyka Johna Hortona Conwaya, który zmarł nagle w swoim domu w Princeton (New Brunswick – miasto w hrabstwie Middlesex, w stanie New Jersey, w USA) w wyniku powikłań po zarażeniu się wirusem SARS-Cov-2. Miał 82 lata lecz niemal do ostatnich dni aktywnie udzielał się w mediach i na uczelni. Jest to już kolejny wielki człowiek (wielki choćby tylko w sensie uznania, jakim cieszył się w swojej społeczności), który kończy życie w ten prozaiczny sposób. COVID-19 nie wybiera.

Nie szykowałem się do pracy nad życiorysem Conwaya, lecz w polskiej wersji Wikipedii znajduje się tak głupi tekst, który dodatkowo ujawnia wysoki stopień niezrozumienia tych zagadnień i specyfiki systemu edukacji w Wielkiej Brytanii, a także skupia się na rzeczach raczej nieistotnych, że postanowiłem coś z tym zrobić. W ślad za Wiki podążyła niestety część mediów w Polsce.

Przede wszystkim koledż (college) albo szkoła wyższa (high school) jest w pewnym sensie odpowiednikiem naszej szkoły średniej. To, że taki college może być zorganizowany przy uniwersytecie i prowadzony przez prawdziwych wykładowców, zaś nauka w nim może osiągać naprawdę wysoki poziom, nie zmienia faktu, że w hierarchii przeniesionej na nasz grunt uplasuje się gdzieś pomiędzy szkołą lub studium pomaturalnym, a Wyższą Szkołą Czegoś. W każdym razie ichni tytuł bakałarza nie ma nic wspólnego z naszym tytułem magistra. Zaś ichni doktorat, to jest zwieńczenie poziomu "master of..." w przypadku osób pozostających na uczelni. Na naszym podwórku nie ma bakałarzy, choć istnieli w dawniejszych epokach, zaś doktorat może mieć każdy, choćby jego kariera naukowa skończyła się zaraz po studiach prowadzeniem domu w Pcimiu. Stąd kolejny niuans w systemie anglosaskim, który specyficznie rozróżnia "Doctor of ..." np. "Doctor of Engineering" (D.Eng, Eng.D) od "Doctor of Philosophy" PhD. Ponieważ nie jest to głównym tematem poruszonym w tym wpisie, niech wszelkie zawiłości wyjaśnią te oto dwa artykuły:

1. Master of Arts: https://en.wikipedia.org…
2. Doctor of Philosophy: https://en.wikipedia.org…

W każdym razie na uniwersytecie w Cambridge na tytuł Master of Art (MA), w przeciwieństwie do większości innych angielskich uczelni, gdzie obejmuje on wymagania nawet niektórych naszych studiów doktoranckich, wystarczy uzyskanie tytułu "bechelor" plus "wysługa lat" bez egzaminu. Dopiero po napisaniu dysertacji zostaje się pełnym doktorem. Stąd możliwość napotkania na swej drodze tajemniczego doktora PhD ABD ("All But Dissertation"). Poza tym większą rolę grają tam kluby i stowarzyszenia koleżeńskie (stanie się członkiem jakiegoś gremium, czy zasiadanie przy ich stole podczas obiadu), niż nasze typowe wydziały i układy. To wyjaśnia trochę tę dziwną na naszym gruncie karierę naukową Johna Conwaya. A teraz do rzeczy.

J.H. Conway

John Horton Conway urodził się 26 grudnia 1937 w Liverpoolu w rodzinie Cyrila Hortona Conwaya (1903-1963) i Agnes Grace Boyce (1904-1972), którzy wzięli ślub w czerwcu 1927 w Lancashire w Anglii, a J.H.Conway był ich trzecim dzieckiem. Jego ojciec był samoukiem i jak pisze biograf rodziny Siobhan Roberts był technikiem chemicznym, asystentem w laboratorium Liverpool Institute High School for Boys, gdzie przygotowywał eksperymenty dla uczniów, wśród których byli m.in. George Harrison i Paul McCartney z Beatlesów. Matka Conwaya, zapalona czytelniczka, szczególnie Dickensa, pracowała od 11 roku życia. Miał też dwie starsze siostry, Sylvię i Joan. Joan zapamiętała, że młodszy brat kochał liczyć i zawsze zadawał takie dziwne pytania "Co jest następne? Czym to się skończy?" Mama zaś wspominała, że już w wieku czterech lat potrafił wyrecytować z pamięci potęgi dwójki.

John zaczął interesować się matematyką bardzo wcześnie chociaż jego dzieciństwo przypadło na trudne czasy niedostatku i zawieruchy wojennej. W szkole podstawowej z wyróżnieniem kończył niemal każdą klasę. Pomimo, że nie miał żadnego pojęcia o tym czym była matematyka, musiał wtedy powziąć to postanowienie, że w życiu zostanie właśnie matematykiem. Kiedy w wieku jedenastu lat był pytany o to kim chce zostać gdy dorośnie odparł bez wahania, że chce zostać matematykiem w Cambridge. W gimnazjum (powiedzmy, że nazwę to gimnazjum, chociaż chodzi o "sixth form", a wyjaśnienie jest tutaj: https://en.wikipedia.org… ) nie wszystkie przedmioty szły mu dobrze, lecz z matematyki był zdecydowanie najlepszy ze wszystkich uczniów. Interesował się nie tylko samą matematyką, ale również astronomią oraz skamieniałościami. Zainteresowanie astronomią zostało z nim przez całe dorosłe życie.

Po ukończeniu gimnazjum (sixth form, junior college), mając 18 lat w roku 1956 Conway opuszcza dom, by wstąpić do Gonville and Caius College na uniwersytecie w Cambridge (high school) w celu studiowania matematyki. W tym czasie jest chudy, w sandałach, ma długie włosy jak Jezus, albo raczej jest rozczochrany niczym protoplasta hippisów. W gimnazjum jeden z nauczycieli Conwaya nadał mu przydomek „Mary”. Był delikatnym, zniewieściałym chłopcem, zaś bycie Mary sprawiło, że jego życie stało się piekłem, dopóki nie przeniósł się do szkoły średniej w Liverpool’s Holt High School for Boys. Wkrótce po rozpoczęciu semestru dyrektor wezwał każdego chłopca do swojego gabinetu i zapytał, co zamierza zrobić ze swoim życiem. John powiedział, że chce studiować matematykę w Cambridge. Zamiast „Mary” stał się znany jako „Profesor”. Te przezwiska potwierdziły, że Conway był bardzo introwertycznym nastolatkiem, boleśnie świadomym własnego cierpienia. Po ukończeniu szkoły średniej w 1959 (czyli w wieku 21 lat) wreszcie mógł się wyzwolić od wizerunku ciągłej ofiary losu i stał się odtąd ekstrawertykiem. Zdobył tytuł Bechelor of Arts, czyli zdał coś na kształt naszego licencjatu i rozpoczął naukę teorii liczb pod opieką Harolda Davenporta. Po rozwiązaniu otwartego problemu sformułowanego przez Davenporta o możliwości zapisu liczb jako sum piątych potęg, Conway zainteresował się nieskończonymi liczbami porządkowymi (infinite ordinals). Właśnie tego dotyczyła jego dysertacja (thesis on ordering infinite sets). Davenport kiedyś powiedział, że miał tylko dwóch dobrych studentów: Alana Bakera (późniejszego zdobywcę medalu Fieldsa) oraz Conwaya. Pierwszemu dał do rozwiązania problem, a ten wrócił do niego z bardzo dobrym rozwiązaniem, zaś drugiemu dał problem, a ten wrócił z bardzo dobrym rozwiązaniem innego problemu.

Wydaje się, że jego zainteresowanie grami zaczęło się w okresie studiów w Cambridge, gdzie zasłynął jako namiętny gracz w backgammona, spędzając nad nią godziny we wspólnym pokoju dla studentów. Czyli po prostu jako student kultywował swoją skłonność do lenistwa, grania w gry i omijania pracy. Zwalał jednak winę na coś co nazywał "nerdish delights". Zawzięcie zaginał paski papieru w coś, co nazywał "hexaflexagon", budował napędzany wodą komputer Winnie (Water Initiated Nonchalantly Numerical Integrating Engine), zaczytywał się w książce z adnotacjami samego słynnego geometry Coxetera (Harold Scott MacDonald "Donald" Coxeter, kanadyjski matematyk, 1907-2003) autorstwa Waltera Williama Rouse Balla pt. "Matematyczne rekreacje i eseje" (1892). Wreszcie postanowił napisać długi list do Coxetera, co zaowocowało przyjaźnią do końca życia pomiędzy tymi dwoma wielkimi matematykami. W jej wyniku powstała m.in. świetna książka J.H.Conway, H.S.M.Coxeter, "Triangulated polygons and frieze patterns".

Ale wróćmy jeszcze do kampusu, gdzie Conway jako student oddaje się swoim ulubionym rozrywkom. U nas w Polsce raczej nie funkcjonował taki zwyczaj, nie było aż takich usprawnień dla synów proletariatu, żeby na uczelni były wydzielone jakieś specjalne miejsca lub kluby w celu spotkań i relaksu studentów oraz wykładowców. Rolę taką najczęściej spełniała mała kafejka na UW i kawa z plastiku, zaś na politechnice uczęszczaliśmy na bilard połączony z obiadem do pobliskiego kasyna wojskowego. Od razu z tego wynika, że elity postkomunistyczne nie miały zielonego pojęcia o tym, w jaki sposób i po co tworzy się elitarność. Kolektyw to tak, lecz elity nie. Aby uzmysłowić sobie o czym tu mowa, należałoby raczej przywołać sceny ze szkoły czarodziejów w Harrym Potterze. Takie otoczenie i zwyczaje zawiązują przyjaźnie na całe życie:

3. https://www.cai.cam.ac.u…

W 1964 zdobył tytuł doktora i został zatrudniony jako asystent wykładowca "czystej" matematyki (Pure Mathematics) na uniwersytecie w Cambridge. Osiągnął w ten sposób cel, który postawił sobie jako jedenastolatek. Szybko jednak zdobył tam "złą" reputację wśród studentów jako wymyślacz bzdur (high jinks) i człowiek wiecznie rozczochrany o niechlujnym wyglądzie. Wykładając symetrie i bryły platońskie, potrafił przynieść rzepę jako rekwizyt, którą obrzynał jakimś majchrem po kawałku rzeźbiąc, powiedzmy, dwudziestościan, zjadając przy tym resztki. "Był zdecydowanie najbardziej charyzmatycznym wykładowcą na wydziale" - powiedział kiedyś jego kolega z Cambridge, Peter Swinnerton-Dyer. W tym samym roku Dr Conway (Anglicy uparcie piszą to z kropką) otrzymał stypendium w Sidney Sussex College (Cambridge), gdzie pracował nad logiką matematyczną, lecz sprawy nie szły dobrze. Tak pisał: "Byłem bardzo przygnębiony. Czułem, że nie robię prawdziwej matematyki. Nie publikowałem i czułem się z tego powodu bardzo winny."

Wszystko zmieniło się nagle około roku 1965 za sprawą Johna Leecha, który rozwiązał problem gęstego upakowania sfer w przestrzeni o wymiarze 24 z pomocą pewnej kraty nazywanej dziś jego imieniem (Leech lattice). Leech wiedział, że takie grupy symetrii mogą być interesujące i od pewnego czasu pracował nad nimi podając dolne ograniczenie dla ich rzędu (później doprowadziło to do obliczenie właściwego rzędu tych grup). Wiedząc, że nie posiada umiejętności z teorii grup na poziomie koniecznym do udowodnienia swojej hipotezy, próbował zainteresować tym problemem innych: "Machałem problemem pod różnymi nosami, w tym Coxetera, Todda i Grahama Higmana, ale Conway jako pierwszy połknął przynętę..."

https://en.wikipedia.org…

Ta praca Conwaya zmieniła kierunek jego matematycznej kariery. Pokazał on, że grupa symetrii GGG dla kraty Leecha, gdy zostanie sfaktoryzowana przez grupę centralną rzędu 2 (rząd oznacza liczbę elementów, stopień zaś to największa potęga elementu przed powrotem do elementu neutralnego), staje się wcześniej nieznaną skończoną grupą prostą rzędu 8,315,553,613,086,720,000. Lecz GGG ma jeszcze więcej interesujących własności. Ma dużą liczbę interesujących podgrup, włączając dwie wcześniej nieznane grupy proste, a także grupy mające jako obrazy homomorficzne prawie wszystkie dotąd poznane skończone grupy proste sporadyczne. Skończona sporadyczna grupa prosta jest skończoną grupą prostą, która nie należy do żadnej ze standardowych nieskończonych rodzin: gryp cyklicznych rzędu będącego liczbą pierwszą, grup alternujących A(n), dla n>=5, grup typu Liego.... Conway ogłosił swoje odkrycie w roku 1968 i opublikował szczegółową pracę rok później w pierwszym tomie biuletynu "Bulletin of the London Mathematical Society". To stało się silnym impulsem w karierze Conwaya do rozpoczęcia "robienia prawdziwej matematyki". Zyskał przy tym ogromną pewność siebie dzięki jednemu z najbardziej niezwykłych odkryć w dziedzinie matematyki. Stał się wreszcie rodzajem wielkiego showmana.

Conway wymyślił w tym czasie mnóstwo nowych gier, takich jak Phutball (skrót od Philosopher's Football) przypominający warcaby na planszy Go, a także zebrał je w książce "Winning Ways for Your Mathematical Plays" we współpracy z Elwynem Ralphem Berlekampem (University of California, Berkeley) i Richardem Kennethem Guyem (brytyjski matematyk, Uniwersytet Calgary w Kanadzie). Testując różne gry, swój pokój zamienił niemal w szulernię, w czym był gorąco wspierany przez grupę lojalnych wyznawców złożoną z absolwentów takich jak Simon Norton, z którym sformułują wspólnie jedną z ważnych hipotez teorii grup o największej pod względem wielkości grupie sporadycznej wolnej (“Monstrous Moonshine” conjecture), słynnego - w wolnym tłumaczeniu - Potwornego Bimbra, Potwornego Stwora Bimbrowego (Monstrous Moonshine). Ta hipoteza została udowodniona przez Richarda Borcherdsa w 1992. Jako ciekawostkę podam, że grupa ta ma rząd (liczbe elementów) równy 2^46·3^20·5^9·7^6·11^2·13^3·17·19·23·29·31·41·47·59·71 = 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 ≈ 8×10^53. Konieczne było w tym celu badanie grup symetrii w przestrzeni o 196883 wymiarach! Conway skonstatował "Czuje się, że Potwór nie może istnieć bez bardzo realnego powodu, ale nie mam pojęcia, jaki jest ten powód. Zanim umrę, naprawdę chcę zrozumieć, DLACZEGO Potwór istnieje. Ale jestem prawie pewien, że tego nie zrobię”. W 1998 doktorant Conwaya (Ph.D.) student Richard Borcherds otrzymał Medal Fieldsa za dowód hipotezy Potwornego Bimbru. „Był zbyt bystry. Nigdy mnie nie potrzebował” - poskarżył się John Conway na koniec.

To jest dopiero początek opowieści i pozwolę sobie zrobić w tym miejscu przerwę, żeby zebrać myśli. To nie jest prosty temat do zrozumienia z marszu, ani do opowiedzenia. Planuję więc jakieś 5-7 odcinków, zaś w następnym rozwinę temat osiągnięć Conwaya w teorii grup. Potem zaś będzie o teorii węzłów i automatach komórkowych. Na dziś to tyle.

Zaloguj lub zarejestruj się aby dodawać komentarze
Odsłony: 10880

I tak mam dość. A propos polskiej wiki. To dno. Praktycznie żadnych informacji z nauk przyrodniczych oprócz tego, że coś jest. W ogóle zauważyłem w ostatnim czasie, że z nauk przyrodniczych, czy ścisłych wyszukanie czegokolwiek przez standardowe wyszukiwarki jest niemożliwe. Więc, albo tych info nie ma, albo są banowane. Najczęściej pojawiają się fragmenty publikacji do kupienia, tak, jakbym po kupnie był pewien, że znajdę tam poszukiwaną wiedzę. Więcej info mam w starej, komunistycznej encyklopedii z lat 60-tych ubiegłego wieku.

"encyklopedia" PWN a--z wydanie z 1962 roku !! MAM! Poklejone bo już się rozeschło...okładki podklejone tasmą...ale jest.
W Krakowie juz nie ma anykwariatów..może bym dostał nowe ferrari za ten zabytek? :-)))

Niektóre tomy będę musiał zanieść do introligatora, póki jeszcze tacy są.

Mam po rodzicach. O ile mnie pamięć nie myli, to kiedyś na encyklopedie były talony, prawda?

Fakt. Były. Mama przynosiła co jakiś czas jeden tom. Do dziś stoją sobie, czasem ktoś do nich zajrzy.

Ciekawy życiorys i dobrze się czyta ale zagęszcza się.
Pozdrawiam.

Szczerze mówiąc kiedyś nie wiedziałem o większości tych faktów i do tego momentu Conway wydawał mi się jakiś taki teflonowy, typowy wielki matematyk. Jak Pan pamięta opisałem kiedyś o innym ekscentryku Raymondzie Smullyanie oraz jego zagadkach ("Najtrudniejsza Zagadka Świata") i nie podejrzewałem jeszcze jak bardzo są oni podobni. Kiedy miałem bodaj 3 lub 4 lata (gdzieś na początku przedszkola) Ojciec kupił taką książkę z zagadkami Lilavati i od tej pory raczył mnie i brata twardymi orzeszkami z tej książki. Długie zimowe wieczory wyglądały czasem tak, że siedzieliśmy przy stole wgapieni w kartkę w kratkę, na której kreśliliśmy granice "państw". Trzeba było rzucić dwiema kostkami do gry, wykonać w pamięci mnożenie, potem rzucał przeciwnik i też mnożył wyniki, a na koniec ten, który wyrzucił większy iloczyn zabierał z państwa drugiego tyle kratek ile wynosiła różnica. Inny przykład zagadki pamięciowej to ważenie kul. Np. ile trzeba wykonać ważeń, żeby wśród 9 kul znaleźć jedną lżejszą. Tak wygląda życie w rodzinie matematyka, nie jest lekko :)))

@Imć Też ciekawy życiorys :-)

"zdobył tam "złą" reputację wśród studentów jako wymyślacz bzdur (high jinks) i człowiek wiecznie rozczochrany o niechlujnym wyglądzie"
Akurat na moich studiach technicznych w PW zajecia matematyki prowadziły osoby o bardzo schludnym wyglądzie. Np. dr Godowski z algebry, czy prof. Żakowski z równań różniczkowych, ojciec Jacka Żakowskiego. Ale algebra była właśnie takim stekiem dziwactw nieprzydatnych później w pracy zawodowej. Służyła raczej do odsiewu leniwych studentów.
Nieprzypadkowo Nobel nie przyznał nagrody z matematyki, którą uważał za nieprzydatną w swojej pracy.

Jeżeli algebry uczy ktoś, kto jej nie rozumie lub zwyczajnie nie umie, to trudno się dziwić studentom, że z przedmiotu wynoszą głównie to, czego najlepiej potrafi ich nauczyć wykładowca. U mnie na PW algebry nauczała prof. Anna Romanowska (wtedy jeszcze doc. dr hab.) https://pages.mini.pw.ed… z której wykładu wyniosłem tylko mgliste pojęcie o tym zagadnieniu. Wiąże się z tym takie wspomnienie, że nie miałem własnych notatek, bo gdzieś się rozeszły "do odpisania", więc musiałem czekać na moment, aż kumpel się zmęczy i pójdzie spać, żeby przeczytać chociaż raz jego notatki. Czytałem w akademiku do bladego świtu u niego w pokoju. Tymczasem gdy w swoim pokoju w wieczór poprzedzający egzamin z algebry w szafie powiesiłem garnitur i postawiłem pod spodem wypucowane na glanc buty, to rano przez szafę popłynęła prawdziwa rzeka, bo dwie dziewczynki z góry zapomniały zakręcić kran przed snem albo raczej wyjściem na jakąś imprezę. Zamiast garnituru wyciągnąłem z szafy kompletny obleśny gnój, cuchnący na odległość zamokłą dyktą. Kumpel pocieszył mnie opowiadając dowcip, że nic się nie stało, bo koleżanki prawdopodobne były z wydziału Klozetów lub Melioracji i nie mogły się po prostu powstrzymać. Taka praca ;). Na egzamin poszedłem w trampkach z WF, jasnych letnich spodniach, w samej koszuli i w krawacie. Była zima. Ja zdałem, a kumpel oblał. Gdy po trzech latach musiałem ewakuować się na UW, dziekan kazał mi "przepisać" wszystkie zaliczone przedmioty z PW, żebym mógł zaliczyć awansem rok 1 i 2. "Przepisywanie" najczęściej polegało na podchodzeniu do ponownego egzaminu z marszu i bez notatek z wykładu. Na pierwszy ogień był prof. Henryk Żołądek, u którego w gabinecie zdałem równania różniczkowe na 5. W końcu przyszła kolej na algebrę. Nie była to wcale 'ta' algebra, którą wykładała Romanowska. Na przykład były tam elementy teorii grup, pierścieni i ciał, a nie tylko trywialna algebra liniowa. Pod drzwiami jednej z sal spotkałem energicznego wykładowcę, który opowiadał właśnie jakieś kawały z kolegą. Podszedłem i zadałem pytanie czy mi zaliczy przedmiot. Powiedział, że nie, bo mnie nie zna. Nalegałem, lecz on stale był na nie, a ponieważ miałem pod ręką właśnie zakupiony zbiór solidny zadań z twardej teorii grup, więc postanowiłem tylko spytać jakie ewentualnie byłyby wymagania w takim przypadku, gdyby on mnie znał. Odpowiedział z nieukrywaną okrutną radością w oczach, a dodatkowo wziął do ręki mój zbiór zadań i pokazał palcem jakichś parę zadanek na początku książki. Nagle sytuacja się zmieniła o 180 stopni. Jakoś tak się stało, że założyliśmy się o to, że ja nie będę w stanie rozwiązać z tego zbioru nawet 100 zadań, ale tylko takich, które nie mają na końcu umieszczonego rozwiązania. Po dwóch miesiącach byłem u niego z rozwiązaniami, a ten do indeksu ze śmiechem musiał mi wpisać zaliczenie na 5. Nadal mnie nie znał i ja nie znałem jego :]

"U mnie na PW algebry nauczała prof. Anna Romanowska (wtedy jeszcze doc. dr hab.)"
A u mnie wykładał słynny dr Julian Klukowski, nota bene, arcymistrz brydżowy, już niestety zmarł w 2017.
Liczył wszystko w pamieci, więc studenci musieli się domyślać jak liczyć klatki Jordana. Do dzisiaj nie wiem jak arcymistrz Klukowski je liczył. Zaś ćwiczenia z dr Godowskim (nie Gdowskim co doktor podkreślał, Gdowski również matematyk, bardziej znany od dr Godowskiego) należały do bardziej zabawnych. Na pierwszych zajęciach siedziałem w ostatnim rzędzie i okazało się, że to było najgorsze miejsce, bo dr Godowski nie pytał tylko z pierwszego rzędu, a leciał od ostatniego wzwyż. Niestety za nierozwiązanie zadania na poziomie olimpijskim stawiał punkty ujemne, więc choć pierwsze zadanie rozwiązałem, to mi doktor nie zaliczył, bo skończyłem równo z dzwonkiem. Następnie siedziałem wyłącznie w pierwszym rzędzie. Była to ordynarna walka o punkty.

Nie lubię takich ludzi (sadystów). Jeszcze raz powtórzę, jeżeli ktoś nie umie przekazać wiedzy, to najczęściej uczy tego, co sam potrafi w tym przedmiocie najlepiej. Na przykład zgadywania w pamięci rozwiązania. Mój Ojciec był prawdziwym dydaktykiem i jeżeli coś nie dało się przepchnąć za pomocą jednej znanej z podręczników metody, to zaraz szukał innego sposobu na intuicyjne pokazanie istoty sprawy. Na studiach mieszkał w akademiku z Kwapieniem. Kiedy przenosiłem się na UW spotkałem Kwapienia. Miał rachunek różniczkowy na naszym roku, a później procesy stochastyczne (martyngały, filtry sigma-ciał i takie tam), a był tam *ho ho ho* szefem rady wydziału. Kiedyś przyjął mnie w swoim pokoju, a ja miałem ze sobą taką książkę po rosyjsku o filtracjach stochastycznych. Pokazałem mu ją i powiedziałem, że takie trzy rozdziały zajmujące ponad sto stron mogę upchnąć na kilku. Popatrzył na mnie jak na jakiegoś heretyka i wypalił "Bzdury pan opowiada!" Kiedyś nawet Ojciec pojechał odwiedzić starego kolegę i ja tam byłem przy okazji. Wie Pan co on do mojego Ojca powiedział? Że gdybym nie szlajał się po jakichś politechnikach i nie ześwinił, to oni by ze mnie człowieka zrobili. Dziękuję bardzo, to ja wolę już pozostać człekokształtnym ;))) Co do klatek Jordana to jest to sprawa raczej trywialna. Oczywiście chodzi tu o rozkład wielomianu charakterystycznego na czynniki i o to, że pierwiastki wielokrotne nie dają się oddzielić w takich macierzach i powstaje taka klatka. Pamięta Pan pojęcie wektora i wartości własnej macierzy? Wektory własne pokazują kierunki, w których przestrzeń najszybciej się rozszerza lub kurczy przy przekształceniu liniowym, zaś wartość własna mówi jak silne jest to rozszerzanie/skracanie i czy następuje tu zmiana orientacji (kierunku strzałki). W idealnym przypadku macierz można przekształcić do postaci diagonalnej w bazie wektorów własnych i jest to macierz jakiegoś porządnego automorfizmu, ale dla wielokrotnych pierwiastków mamy defekt w pewnych kierunkach i nie możemy wykorzystać wszystkich egzemplarzy tej samej wartości własnej oprócz jednej. Wtedy przychodzi z pomocą taka obserwacja z algebry (logiczna, gdy się człowiek douczy uczciwie o wielomianach), że trzeba wziąć coś na kształt mnożników 1,x,x^2,x^3,..., które są liniowo niezależne i niezależność wektorów bazy zagwarantują. Weźmie Pan macierz [2,1;0,2] i wymnoży z wektorem [x,y]^. Mamy [2x+y,2y], a wektory bazy to [x,0], [0,y], widać, że się dziwnie splatają? W angielskiej Wiki jest to dobrze pokazane: 1. https://en.wikipedia.org… Właśnie dlatego w układach równań różniczkowych liniowych zamiast samych czynników liniowych Ce^{tλ}v musi wystąpić taki rower Ce^{tλ}(t^{n-1}v_{n}+...+tv_2+v_1). Wytłumaczenie inne jest takie, że kolejne pochodne są też liniowo niezależne, a to w nawiasie, to właśnie kolejne pochodne e^{tλ} względem λ. Inna sprawa, dlaczego w tych rozwiązaniach muszą występować takie e do czegoś. Trzeba sięgnąć po podręcznik Arnolda.

W wielkim skrócie: chodzi o jednoparametrowe grupy przekształceń, grupa przesuwająca przestrzeń wzdłuż rozwiązania. Jeśli nie da się znaleźć jednoparametrowej grupy, to trzeba się kopać z grupami 2 i więcej parametrowymi. Wtedy rozwiązania są nie tyle przesuwane, co rozciąganie, zgniatane i obracane. Zgodnie z jakąś macierzą zależną od punktu o współrzędnych x,y,... W najprostszych przypadkach uczonych w szkole to są jakieś sumy proste dające się łatwo sprowadzać do obiektów jednowymiarowych. W przypadku ogólnym jest już niestety prze$... przegwizdane. To się fachowo nazywa poszukiwaniem generatorów algebry Liego dla jakiegoś rowera na rozwiązaniach równania, który jest niejednoparametrową grupą Liego (nota bene rozmaitością ze strukturą grupową, która w prostym przypadku polega na tym, że e^a*e^b=e^{a+b} a w ogólnym mamy taki endomorfizm dołączony Exp). Reasumując, żeby rozgryźć na proste kawałki taką algebrę Lie, należy poszukiwać nie tyle liniowo niezależnych rozkładów, co funkcyjnie niezależnych, a reszta działa podobnie. Tą metodę można wykorzystać do roztrzaskiwania układów równań różniczkowych cząstkowych, np. równania ciepła, falowego albo Schrodingera. Ja mam taką niezłą książkę o wykorzystaniu algebr Lie do rozwiązywania równań różniczkowych autorstwa Petera Olvera. Tu też podobnie jak dla zwykłych macierzy i równań liniowych oraz układów równań różniczkowych, trzeba zwrócić uwagę na własności wielomianów (czyli po prostu znać trochę teorię pierścieni z ideałami, modułami i tymi sprawami). Z tym, że w pierwszym przypadku wystarczy zwykła teoria Galois, zaś tutaj teoria Picarda-Vessiota (różniczkowa teoria Galois). Wspomniany w artykule Conway otarł się o coś jeszcze innego, co dopiero teraz bada się np. w teorii liczb. Jest to braided Galois theory, gdzie oprócz wszystkiego co powyżej dochodzi jeszcze zapętlenie przestrzeni, czyli węzły.

"Nie lubię takich ludzi (sadystów)."
Reguły były jasne, kto się załapie na pierwszy rząd nie dostanie punktu ujemnego. Ćwiczenia dr Godowskiego nie miały za wiele wspólnego z wykładami dr Klukowskiego, który wykładał algebrę liniową zwykle bez pomocy notatek, z głowy. Nie był to więc sadyzm, tylko walka o punkty. Tak jak w życiu.
Polacy są nieźli w algebrze od czasów IIRP, a nawet wcześniej. Poniżej artykuł o najnowszym polskim osiągnięciu w geometrycznej teorii grup. Nie zacytuję nawet fragmentu, bo na naszych i nie naszych blogach pisują zwykle humaniści i dla nich to zwykłe śmieci :
https://naukawpolsce.pap…

Ciekawe, ale nie jest to coś zupełnie nowego. Zapewne chodzi o geometrie hiperboliczne, bo to na nich zasadzają się te algorytmy sieciowe. Natomiast "informatyka to nowa fizyka. To, co nas otacza, to nie tylko cząsteczki, ale coraz częściej - również algorytmy. Naszym zadaniem jako matematyków będzie więc i to, by zrozumieć algorytmy, pokazywać, dlaczego one działają albo nie; dlaczego są szybkie lub wolne" - czy ja tego przypadkiem już nie mówiłem? Wieszczę od dawna pojawienie się nowej dziedziny nauki, którą można nazwać matematyko-fizyko-informatyką. Problem w tym, że można to połączenie zrealizować tylko wtedy, gdy matematyka pozbędzie się złudzeń co do klasycznych aksjomatycznych podstaw, a aksjomat wyboru zostanie oficjalnie zbanowany (coś co w Polsce jest niemożliwe z powodu doktoratów, bo nawet w cegle o topologii Engelking nie raczy zaznaczać faktu korzystania z niego i od lat takich wydaje się na świat doktorów). Matematyka wtedy stanie się czymś, co można fachowo nazwać teoriami geometrycznymi, algebraicznymi lub topologicznymi w toposach. Będzie ich niestety bardzo dużo - dla każdego coś miłego. Nie chcę się powtarzać, ale warto rzucić okiem na języki programowania funkcyjnego albo funkcjonalnego jak Haskel, Ruby albo Clojure, gdzie już teraz dyskutuje się o kategoriach, funktorach, monadach, transformacjach naturalnych, czy lemacie Yonedy. Co do fizyki lub raczej fizyki matematycznej, to kierunek badań dotyczy algebry i geometrii nieprzemiennej (niektórzy mówią bezpunktowej - "punkty" "przestrzeni" to albo ideały pierwsze pierścienia funkcji na "przestrzeni" i każdy pierścień można tam wcisnąć nie tylko "strzałki", czyli lokalne; albo waluacje dyskretne dla norm w ciałach), a nawet niełącznej (oktoniony), a także matematyki na fraktalach na podobieństwo matematyki na krzywych. Jednym słowem dzieje się.

"Co do klatek Jordana to jest to sprawa raczej trywialna."
Metodę znałem z książki Mostowskiego, Starka pt. "Algebra liniowa". Liczenie rozbija się o obliczenie macierzy odwrotnej. A że dr Klukowski szybko liczył w pamięci, dlatego był dobry w brydża. Ale to nie temat na naszblogi.pl

Może jeszcze raz wytłumaczę o co mi chodzi, bo najwyraźniej nastąpiło tu nieporozumienie co do tego, jak powinno się wyławiać w Polsce talenty matematyczne (vide Conway i Davenport). U nas wciąż pokutuje model sowiecki, jak w ruskim tanku trzeba młodego człowieka zgnoić i wykazać, że nic nie potrafi, a jak się nie da wbić w błoto, to może iść dalej. To jest podejście kapo w obozie dla zesłanych. Dlatego nie szanuję takich ludzi, choćby udawało im się w pamięci rozkładać grupy z milionami elementów. Nie szanuję tego sowieckiego modelu uprawiania matematyki i nikt już mnie do niego nie przekona. Czy uważa Pan, że ów wykładowca algebry z UW w jakikolwiek sposób, poza bezzasadnymi niewypowiedzianymi groźbami wykopania ze studiów z niezaliczonym przedmiotem głównym, powtarzam jakkolwiek przyczynił się do tego, co ja dziś wiem o szeroko rozumianej algebrze? Nie. Dlatego on dalej mnie nie zna, a ja nie znam jego i w sumie jest mi z tym dobrze. Został przerwany systemowo związek "mistrz i uczeń", który jest głównym motywem kształcenia w Cambridge. Mistrz i uczeń, a nie domina i cwel, jak często prezentują się w matematyce kobiety, w tym pewna pani prof. Kasia z PW ;). W moim konkretnym przypadku można zasadnie powiedzieć, że wykład z algebry (algebra abstrakcyjna, grupoidy, teoria grup, pierścieni, ciał, algebr nad p.w., algebra liniowa i teoria modułów) napisałem i wygłosiłem sobie sam. Nawet egzamin zdałem przed samym sobą, a ten gość jedynie przyklepał to wszystko i wpisał ocenę do indeksu. Przecież nie przyszedłbym do niego po wpis w sytuacji, gdybym miał jakiekolwiek wątpliwości, czy materiał rozumiem lub czy te zadania roztrzaskałem poprawnie, prawda? Zatem przyszedłem do niego już PO egzaminie, który musiałem zdać przed samym sobą. Taki to paradoks. Później przed pójściem do firmy miałem jeszcze epizod z jednym świetnym algebraikiem, u którego miałem pisać magisterkę z grupoidów. On też, oprócz wręczenia mi jednego ksera, w żaden sposób nie powiększył mojej wiedzy w tym temacie. Gdy patrzę teraz po latach na Conwaya i tych żarliwych wyznawców, którzy jego i innych profesorów otaczają w takim Cambridge, to widzę jak bardzo polski system edukacji, a matematyka w szczególności, zeświniły się przez cały okres PRL. Nie ma za bardzo co sięgać do czasów II RP i Szkoły Lwowsko-Warszawskiej, bo to są pojęcia zupełnie do siebie nieprzystające. Nauka polska jest wciąż opanowana przez komunistów i robią oni to, co potrafią robić najlepiej. Nic nie poradzę, ale takie są moje poglądy. Ich trzeba gremialnie ignorować, a przepuszczać przez sito tylko porządnych ludzi, którzy obok wiedzy mają jeszcze wystarczającą kulturę. Chodzi mi o kulturę matematyczną i zdolności dydaktyczne, a nie o noszenie surduta z muszką za 8 koła. Jeżeli więc ktoś bez stosowania wymyślnych tortur i walki szczurów nie potrafi wyławiać talentów matematycznych, to nie powinien być wykładowcą na uczelni. Tylko taka postawa pozwoli nam dotrzeć tam, gdzie jest Cambridge.

PS: Oto przykładowe zadanko z tego zbioru zdań z teorii grup: Grupa G jest generowana przez elementy x,y spełniające następujące warunki: y^m=1, x·y=y·x^k, gdzie m,k są pewnymi liczbami naturalnymi. Udowodnić, że: a) Dla każdej liczby naturalnej j zachodzą następujące równości: x^{j}·y=y·x^{kj}, x^{-j}·y=y·x^{-kj}, x·y^j=y^j·x^{k^j} b) Każdy element grupy G można przedstawić w postaci y^r·x^s, 0<=r< m, s całkowite. c) Jeżeli k>0, to istnieje taka liczba naturalna n będąca dzielnikiem liczby k^m-1, że x^n=1. Wyciągnąć stąd wniosek, że w tym przypadku grupa G jest skończona i jej rząd jest <= m·n. A tak na marginesie, wie Pan co to są za liczby będące dzielnikami k^m-1? Piszę tu na forum partyzancko o tym już od jakiegoś czasu ;) Mamy rozkład tak jak dla wielomianów: k^m-1=(k-1)·(k^{m-1}+k^{m-2}+...+k+1), z tym że chodzi tu o liczbę zapisaną w systemie pozycyjnym z k cyframi. Pierwszy nawias (k-1) ja nazywam czasem "dziewiątką" tego systemu (bo k nazwalibyśmy tu "dziesiątką"), największa cyfra. Zaś drugi nawias ma w tym systemie zapis składający się z m jedynek [1...1]. Jeżeli liczba m jest złożona, np. m=p·r, to możemy ją rozłożyć na iloczyn dwóch liczb postaci [1..1] z p i r jedynkami odpowiednio oraz na pewien "rower" zbudowany z ciągu poprzeplatanych bloków "dziewiątek" (k-1) i zer i cyfry 1 na końcu. Np. dla p=2, k=10 będzie to coś takiego 9090...9091, a dla p=3 różnie, ale niektóre będą takie 900900...990991, a w innych pojawi się w środku dodatkowa 90. Dlaczego? Żeby to zobaczyć, trzeba trochę policzyć na wielomianach, ale generalnie chodzi o to, że ciąg j dziewiątek odpowiada dla wielomianu parze ...+x^{k+j}-x^k+... Dopiero gdy zgodzimy się na używanie w naszym systemie pozycyjnym także cyfr ujemnych -1, -2, ..., 1-k, zauważymy taki symetryczny wzorzec 1A1A...A1 dla p=2 i 1A01A0...10A10A1 dla p=3, taki palindrom, gdzie oznaczam A=-1. To są liczby cyklotomiczne. W zasadzie ich rozkłady to jedyny problem, żeby bezkarnie tłuc klucze RSA ;) Jeżeli ktoś używa liczb pierwszych w szyfrach, to w zasadzie są one wypisane na tym portalu: https://stdkmd.net/nrr/r… Dla R(300000) mającej 300 tys. jedynek w zapisie, widzimy np. takie coś 10000099999999989999899999000000000100001. To też jest liczba cyklotomiczna i do tego pierwsza, ale tutaj mamy jeszcze cyfrę 8, czyli musielibyśmy to zsymetryzować z użyciem cyfry B=-2. Proszę popróbować :) Większe egzemplarze są tu [1000000000...<5001>], [1000000000...<16001>], z tym że autor nie podaje ich postaci jawnej, której możemy się łatwo domyślić, ani nie zna ich rozkładu. To na razie tyle w kwestii przydatności algebry w życiu.

"A tak na marginesie, wie Pan co to są za liczby będące dzielnikami k^m-1?"
Mam w swojej bibliotece "Teorię liczb" Władysława Narkiewicza, ale jej jeszcze nie przestudiowałem. W życiu jak nie jest się matematykiem też można dobrze żyć. Mnie zdziwiło, że po rozpadzie PRL, w 3RP przez wiele lat nie było matematyki na maturze. Teraz jest płacz i zgrzytanie zębów. Podstawy matematyki przydają się każdemu w życiu, nie tylko liczenie pieniędzy, ale również logika czy statystyka. Nie piszę o informatyce, bo cytując klasyka to "oczywista oczywistość".

U Narkiewicza tego nie ma, zapewniam. :) To jeszcze nie był ten etap w matematyce i teorii liczb. Za to podobne liczby znajdą się w:
1. geometrii albo raczej w kombinatoryce, jako rozmiary pewnych konfiguracji (albo geometrii skończonych, zob. "quasi-3 design"): https://en.wikipedia.org…
2. teorii liczb, co jest oczywiste
3. algebrze, też oczywiste, bo pierścienie wielomianów
4. geometrii algebraicznej i przy badaniu krzywych eliptycznych nad ciałami skończonymi (liczba punktów wymiernych krzywej)
5. wielu innych miejscach, których teraz nie potrafią wymienić.
Może skupię się na tym, co już pokazałem wyżej. Otóż oprócz systemów pozycyjnych takich jak dwójkowy, szesnastkowy, można tworzyć systemy z ujemnymi bazami. Dokładnie tak jak pokazują to wielomiany np. x^4-x^3+x^2-x+1 (+.- na zmianę). W tych rozkładach z p=2 mamy taki myk, że R(B;2*m)=R(B;2)*R(B;m)*R(-B;m), dla dowolnej bazy całkowitej B. W języku wielomianów cyklotomicznych brzmi to tak, że F(2m)=F(-m), dla m-3,5,... nieparzystych. Dla parzystych musimy najpierw "wyciągnąć wszystkie 2", co daje R(B;2^n)=R(B;2)*R(B^2;2)*R(B^4;2)*...*R(B^n;2), czyli po prostu [11111111]=[11]*[101]*[100001].
https://en.wikipedia.org…
A zatem wielomianami cyklotomicznymi z indeksem 2*p dla p pierwszych > 2, będą dokładnie ciągi jedynek nieparzystej długości w bazie ujemnej -B. Ale to jest nic. Można podobne systemy pozycyjne zdefiniować dla liczb algebraicznych kwadratowych (pierwiastków równania kwadratowego z całkowitymi współczynnikami), z tym że dla liczb zespolonych sprzężonych (delta ujemna) nie ma żadnych różnic w rozkładach na czynniki nierozkładalne lub pierwsze (choć opisują różne liczby niewymierne), a wręcz jeden system jest zanurzony w drugim (w sprzężonym). Dla x^3+x^2+x+1=n^3+n^2+n+1=:N wygląda to tak:
Pierwszy pierwiastek, to całkowita baza B0=n. Wielomian kwadratowy x^2+(n+1)x+(n+1)(n^2+1)=0. Delta=(n+1)^2-i*sqrt(w(n)) ujemna gdzie w(n)=3n^2+2n+3. Stąd dwa pierwiastki zespolone sprzężone. Teraz wyliczanka (V to pierwiastek):
...n=-3, N=-20, B=(2-iV(24))/2; n=-2, N=-5, B=(1-iV(11))/2; n=-1, N=0, B=(0-iV(4))/2; n=1, N=4, B=(-1-iV(8))/2; n=2, N=15, B=(-2-iV(19))/2; n=3, N=40, B=(-3-iV(36))/2,... można poskracać trochę te pierwiastki.
Teraz dla n=2 dostajemy system pozycyjny dla pierścienia z jednoznacznością rozkładu Z[V(-19)], dla n=1,3 brak jednoznaczności rozkładu w pierścieniach Z[V(-2)], Z[i], ale dla n=4 jednoznaczność, bo są to liczby Heegnera (tak je nazwał Conway). Co ciekawsze systemy z dodatnim n opisują liczby całkowite [c...d] dodatnie ujemne i zespolone w danym rozszerzeniu pierścienia Z rozłożone na kracie liczb aB+b przedstawionych względem bazy w kolejności niczym fraktal, zaś dla ujemnego n analogicznie, z tym że system działa jak system z bazą całkowitą ujemną. W tych pierścieniach pomimo braku jednoznaczności rozkładu można zdefiniować arytmetykę.

Arytmetyka to już jest coś, co pozwala cały rachunek w pierścieniu zautomatyzować, czyli zautomatyzować też poszukiwanie liczb pierwszych w nich zawartych (są trochę inne niż zwykłe). Np. dla n=2 (z V(-19)), system siódemkowy, piątka jest złożona: [5/132] = -[11/126]*[12/125] = 5. Ten dziwny zapis mówi trzy rzeczy: podaje wersję "dodatnią" i "ujemną" liczby [aB+b/-aB-b] w zależności od tego który z zapisów jest krótszy, minus to mnożenie przez [136\1]=-1, bo sam znak - w tym systemie nie jest potrzebny, kreska / albo \ dodatkowo pokazują, czy chodzi w danym momencie o "dodatnią" czy "ujemną" wersję liczby, krótszą czy dłuższą. Wreszcie dla liczb różnych od zwykłych liczb całkowitych (bez części z aB) podaję też liczbę z nią sparowaną, która ma identyczny rozkład na czynniki, ale też sparowane z pierwszymi. Tak wygląda typowa pozycja w mojej tabeli rozkładów: [62/1445] = [2/135]*[12/125]*[14/123] = 6B+2 ; Sp. -6B-16 = [335/13502] = [2/135]*[11/126]*[146/1361] . Teraz trochę o arytmetyce. Aby dla liczby [c..d] obliczyć jej ujemną/dodatnią czyli drugą wersję, muszę odjąć tę liczbę od "kombinacji zer". Zero to [0/137] = 0 , cyfry 7 tu nie ma ale zaraz wyjaśnię o co chodzi w technice "dużych cyfr". Tak więc dla obliczenia -[412] buduję z zer [137\0] taką np. "maskę": [1370]+[137]=[14A7] i odejmuję od tego bez problemu [14A7]-[412]=[1095], dużymi cyframi się nie martwię, ponieważ przy zwyczajnym obliczaniu przeniesienia przy dodawaniu otrzymam nieskończone obliczenie, gdzie w kolejnych krokach takie ...=[1370c..d]=... będzie uciekało do nieskończoności. jest lepsza metoda, czyli odejmowania każdego zauważonego [...137...] np. w [659]=[522] i już. Jeżeli już muszę coś przenieść albo pożyczyć, to przeniesienie = dodanie [1240] na danej pozycji, zaś pożyczka to oczywiście dodanie -1=[136] na danej pozycji. Mnożenie wykonuje się w słupku, dzielenie w zasadzie tez, są ułamki okresowe (liczby "wymierne"), ułamki "dziesiętne", pierwiastki i potęgi. W innych takich systemach, też z niejednoznacznością, jest podobnie. Reasumując mam rachunek, który można wykonać gdy np. szukam znaną metodą zer wielomianu 3-go stopnia. Wtedy najpierw przechodzę do rozszerzenia ciała o element stopnia 2, a potem 3. Tzn. wielomian pośredni ma wsp. niewymierne. I to by było w zasadzie na tyle, gdyby nie to, że ten rodzaj arytmetyki znacznie poszerza bazę metod dla poszukiwaniu punktów "wymiernych" dla różnych rodzin krzywych eliptycznych (i hipereliptycznych) i nie są to wcale ciała skończone, a nawet nie ciała tylko specyficzne moduły. Mam nawet metody na sprawdzanie cech podzielności, czyli szybką faktoryzację, albo alternatywny opis ideałów w tych pierścieniach. W przypadku systemów dla pierścieni z niejednoznacznością rozkładu, ideały mogą być generowane przez 2 elementy: dla n=3, N=40, sys. 13-nastkowy, mam np. [2C/121] = [2/14B]*[16/137] = [11/13C]*[11/13C] = 2B+12 ; Sp. -2B+4 = [ ? \169] = -[2/14B]*[15B/ ? ] = -[13/13A]*[13/13A] . Sparowanie wyjaśnia niejednoznaczność.

"Sparowanie wyjaśnia niejednoznaczność."
Ja jestem przyzwyczajony do akademickich wykładów, gdzie wykładowca wykłada kawę na ławę o co mu chodzi.
Poniżej kolejny przykład, że Polak potrafi i ma to ogromne zastosowanie praktyczne :
https://naukawpolsce.pap…

To dobra wiadomość, bo właśnie przestaję lubić Googla. A co do sparowania i niejednoznaczności rozkładu... Po prostu w tych pierścieniach mamy "class number" = 2, czyli dwa różne sposoby rozkładu liczb. Widać to najlepiej na podanych dwóch przykładach, ale ja podrzucę więcej dla zaspokojenia ciekawości. Systemy nazywam tak "B-4-N" i "B-4-nN" dla -N. B-4-2: system kompletnie zdegenerowany choć tworzy tzw. fractal Rauzy'ego i dlatego jest na swój sposób ciekawy. Nie będę go tu opisywał, bo to nie jest system pozycyjny lecz beta-expansion. Jest tu coś takiego sqrt[3]{17+3sqrt{33}}, a B0=0.54369... Czy da się tu coś liczyć? Z trudnością, ale tak. Posługuję się w tym celu nie rozwinięciem na ciąg cyfr, ale czymś co można nazwać pseudocyframi. Jest on związany z tzw. wielomianem generującym dla liczb Tribonacciego (i zagadnieniem Tribonacci substitution): https://en.wikipedia.org… B-4-4: System trójkowy, dwa nie jest pierwsze [2/121] = -[11/112]*[11/112] ale rozkłada się na kwadrat liczby samosparowanej [11/112] = B+1 ; Sp. -B-1 = [112\11]. Jedenastka pełni tutaj taka rolę jak dwójka, a w zasadzie jej ideał. Czyli jeśli znamy cechę podzielności przez [11], to cecha podzielności przez 2 jest jej podwójnym użyciem. Nie ma 3, jest [10/1220] = B ; Sp. -B-2 = [111\12]. Gdy zsumuję cyfry parzyste i nieparzyste, odejmę te sumy otrzymam 1. To są typowe cechy podzielności jak w zwykłych systemach na podstawie rozkładu repunitów. Ale można znaleźć i inne. B-4-15: Mój ulubiony system siódemkowy z pierwiastkiem z -19. Jednoznaczność rozkładu (l. Heegnera). Piątka nie jest pierwsza [5/132] = -[11/126]*[12/125], a czynniki są wzajemnie sparowane [12/125] = B+2 ; Sp. -B-1 = [126\11]. Cechy podzielności kiedyś tu podawałem (u jazgdyni). B-4-40: System 13-stkowy, niejednoznaczność. Widać po 9 i 10 co się dzieje: [9/144] = [3/14A]*[3/14A] = -[12/13B]*[12/13B], [A/143] = [2/14B]*[5/148] = -[11/13C]*[13/13A]. [12] jest samosparowana, zaś [11] z [13]. Można uznać, że zwykłe liczby całkowite też są samosparowane i dostaniemy prostą odpowiedź na pytanie, co powoduje niejednoznaczność rozkładu. Na pewno nie jest to jakiś mityczny myk, jak próbują to pokazywać podręczniki do algebry z teorią pierścieni. Jednym słowem mogę przewidywać jak wyglądają wszystkie te rozdwojenia. Wynika to wprost z kształtu fraktala i tego w które liczby całkowite trafią iloczyny postaci (aB+b)(cB+d), ale a,b,c,d < 13. Np. czym jest [121], [144] albo [169]? Okazuje się, że "tym samym" co zawsze [11]^2, [12]^2 i [13]^2. Ale [11]=B+1 a nie 10+1. Zachodzi tu właśnie taki dziwny rodzaj mimikry. Jest jeden problem. Dla znalezienia liczb pierwszych należy mieć na uwadze, że pomnożenie bardzo długich liczb (czyli normalnie "dużych") może dać krótką liczbę. Ale te sytuacje są związane z postacią przeniesienia +[1390] lub pożyczki +[14C] w tym systemie.

Nie zmieściły się dwa fragmenty: 1. Jak się liczy sparowanie? Można to wyliczyć przedstawiając bazę sprzężoną w wybranej bazie. Dla B-4-15 wzór jest taki B'=-B-3, czyli aB+b Sp. -aB-3a+b. W innych podobnie, B-4-40 to B'=-B-4, widać tu wyraźnie zależność liniową od bazy B0. Co ciekawsze w systemie takim jak B-4-40 mogę wyrazić i (jednostka urojona) i=-(B+2)/3, co dla liczb wyrzucających z siebie w rozkładzie trójkę dają dodatkowe rozkłady. Wtedy też można otrzymać jakąś nową postać dla rozkładów alternatywnych (nierównoważnych). 2. Przykład zastosowania reguły podzielności w B-4-15. Jedenaście jedynek J(11)=2983B-7251 = [146]*[(388B+4535)], tą drugą liczbę trzeba jeszcze jakoś wyrazić cyframi ale to szczegół. jest podzielna przez B-1 na mocy reguły podzielności, która brzmi (całe rozumowanie oparte na obserwacji): Cecha podzielności przez B-1 (dokładniej podzielność przez [146/1361]): Widać dla początkowych przykładów, że ostatnie dwie cyfry są wymienne (dwie kolejne chyba też). Czy kryterium to: suma cyfr jest podzielna przez 11? Jeśli liczba [ab..c] jest podzielna przez [146], to liczba z dowolnie spermutowanymi cyframi też??? W systemie dziesiątkowym taką cechę podzielności ma dziewiątka i jej dzielnik 3, a tutaj dziewiątką jest liczba B-1=[146/1361]. Przykłady [56], [65], [146/1361], [155], [164], [236], [245], [254], [263], [326], [335], [353], [362], [416], [434], [443], [452], [515], [524], [533], [542], [560], [632], [650], [1136],... Dowód: 2983B-7251=(B-1)(aB+b)=(b-4a)B+(-7a-b), stąd b-4a=2983, 7a+b=7251, więc b=4a+2983, oraz 7a+4a+2983=7251, 11a=4268=11*388. Zatem a=388, b=4*388+2983=4535. Już to mówiłem - mimikra. No i po ptokach ;))))

Cieklawa jest również numerologia oparta na alfabecie angielskim (26=13+13 literek) :
123456789
abcdefghi
jklmnopqr
stuvwxyz
Warto zwrócić uwagę, że znak diabła wypada na literki f, o, x, czyli lis po polsku.
Przypadek ? Nie sądzę.