|
|
Dark Regis
Już mówiłem, że gdy k=n-1, to mamy hiper-coś tam (np. hiperpowierzchnia), a grassmannian to po prostu przestrzeń rzutowa. Grassmannian jest dla tego zagadnienia indeksacji obiektem uniwersalnym, czyli takim wzorcem. To prowadzi do pojęcia wielomianu Hilberta, a w przypadku krzywych hipereliptycznych także wielomianów Igusy (dyskusja kilka tygodni temu). Kapewu? :)))
A tak na poważnie, powtórzę jeszcze raz. Nie ma w matematyce czegoś takiego, żeby wszystko zrozumieć posiadając tylko podręcznik dla pierwszego roku. W większości zagadnień stosuje się odmienne słownictwo, które trzeba nauczyć się tłumaczyć na język innych teorii, bo tylko to daje możliwość rozumienia. To jest tak jak 10-wymiarową kostką Rubika, albo z kostką o wymiarze sto milionów. Człowiek nie jest w stanie sobie tego nie tylko wyobrazić, ale nawet policzyć palcem ścianek i kolorów na nich, ale matematyka ma sposoby, żeby na modelu to liczyć. Nawet w najprostszych zagadnieniach jak wielomiany są ślady teorii z wyższych półek. Chyba najprostszym zagadnieniem jest porównanie rozkładu wielomianu na czynniki nierozkładalne, do rozkładu liczb na iloczyn liczb pierwszych. Ale już tu mamy schody, bo wielomian x^n+....+c w R może nie rozkładać się czynniki liniowe (x-a), czyli nie mieć wszystkich pierwiastków rzeczywistych. A jakie ma? Zespolone, bo zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że w ciele algebraicznie domkniętym każdy wielomian ma pierwiastek. Czyli wielomian stopnia n ma n pierwiastków. W R nie i mamy albo czynniki liniowe albo kwadratowe. I na tym byśmy skończyli, gdyby nie matematyka. Każdy taki czynnik W generuje ideał tak jak liczba 2 generuje ideał {...,-2,0,2,4,...}, stąd ideał (W)={VW: V dowolny wielomian}. Tak jak dla liczb Z/(2)={0,1}, czyli otrzymywaliśmy pierścień lub ciało (2 liczba pierwsza) reszt z dzielenia przez 2, tak samo dla wielomianów R[X]/W dostaniemy jakiś pierścień/ciało reszt. Czyli taki rozkład na czynniki (X-a)(X^2+sX+t) jest tym samy co w liczbach - mnożeniem ideałów, braniem elementów podzielnych przez pierwszy i przez drugi element. R/(2)(3) = {...,-6,0,6,12,...}. W przypadku pierścieni Dedekinda, czyli po rozszerzeniu liczb całkowitych Z o jakiś pierwiastek równania kwadratowego v, dostajemy najczęściej liczby postaci A+Bv, gdzie A,B są albo całkowite, albo połówkowe z 1/2 jak w pierwiastkach rk. Nie ma też często jednoznaczności rozkładu. Za to jest jednoznaczność rozkładu na ideały pierwsze. To teoria bez intuicji, na samych symbolach. Ja opracowałem technikę, która pozwala tego dotknąć nawet inżynierowi. Pamięta Pan o repunitach? No to właśnie zagadnienie x^3+x^2+x+1=40, czyli w jakiej bazie B liczba 40 ma przedstawienie [1111], daje możliwość stworzenia systemu pozycyjnego i arytmetyki dla pierścienia Dedekinda bez jednoznaczności rozkładu. Przykładowo mamy niejednoznaczności: [9] = [3/14A]*[3/14A] = -[12/13B]*[12/13B], [A] = [2/14B]*[5/148] = -[11/13C]*[13/13A], [121] = -[2/14B]*[16/137] = [11/13C]*[11/13C]. Poza tym wszystko chodzi perfekt. |
|
|
Dark Regis
Proszę spróbować pójść krok dalej w tym "zadanku". Co prawda rozwiązania są symetryczne względem a i b, ale jest ich aż 6: (673,1358114), (674,340033), (1009,2018), (2018,1009), (340033,674), (1358114,673).
W podanej oficjalnie metodzie korzysta się z tego, że mnożenie zachowuje się przy przejściu do jakiegoś ciała (albo pierścienia) reszt modulo p (modulo n). Np. 1009 mod 3 = 1, bo 3 dzieli 1008 (kryterium sumy cyfr) i zostaje 1, ale 2018 mod 3 = 2, bo mamy sytuacje 2*coś jak w normalnym mnożeniu liczb całkowitych. Jednak już 2018^2 mod 3 = 2*2 mod 3 = 1 (bo 4=3+1), a zatem oba nawiasy muszą mieć takie reszty r1, r2 z dzielenia przez 3, żeby r1*r2 mod 3 = 1. Są takie przypadki dla dziesiątkowego: (r1,r2) = (1,1),(3,7),(7,3),(9,9). Sprawę ostatecznie załatwia twierdzenie o jednoznaczności rozkładu w pierścieniu liczb całkowitych, bo po rozłożeniu 2018^2=2*2*1009*1009 możemy jako wartości nawiasów wziąć tylko (2)*(2*1009*1009), (2*2)*(1009*1009), (2*1009)*(2*1009) albo (2*2*1009)*(1009). Dalej już z górki. Tak więc jest więcej niż jedno rozwiązanie i przenosząc sytuację na przypadek konstrukcji statków, to pierwsze najłatwiejsze znalezione może odpowiadać statkowi, który nie wytrzymuje fali bocznej i przełamuje się nawet bez sztormu ;)
Natomiast w moim podejściu chodziło o to, że dla równania kwadratowego x^2-3kx+2018k=0 po policzeniu delty >=0 (bo mamy dwa pierwiastki rzeczywiste): delta-9k^2-4*2018k, d=sqrt(delta)=sqrt(9k^2-4*2018k)=sqrt(k(9k-4*2018)) >= 0, musimy tak dobrać k, żeby delta była kwadratem liczby całkowitej, czyli też liczbą dodatnią. Widać, że drugi nawias pod pierwiastkiem to musi być jakieś k*S^2. Wtedy d=kS i a=(3k-d)/2, b=(3k+d)/2.
Powyżej zupełnych początków matematyki w zasadzie nie ma nieszablonowego myślenia. Jest tylko to, co opisałem wyżej - umiejętność patrzenia na zagadnienie pod różnymi kątami, z punktu widzenia różnych teorii dobrze poznanych i opanowanego ich aparatu. Bez tego jest dupa jak przy próbie zrozumienia współrzędnych Pluckera, niestety ;)
Podałem sposób na Pluckera, który pochodzi z geometrii algebraicznej i dotyczy indeksowania rodzin obiektów geometrycznych (w tym rodzin krzywych i powierzchni) za pomocą innych rozmaitości lub schematów (uogólnienia rozmaitości algebraicznych). W efekcie budujemy rozwłóknienie takiej rodziny, którego każde włókno nad punktem jest jakąś krzywą (w przypadku rodziny krzywych) i dla Pluckera był to grassmannian, czyli rozmaitość utworzona z podprzestrzeni liniowych wymiaru k |
|
|
Dark Regis
*nadmiar* |
|
|
NASZ_HENRY
@Izabela
Jak to się mówi - czas umierać.
Spiesz się powoli ♥
|
|
|
RinoCeronte
Ach co to były za czasy :-) |
|
|
Izabela Brodacka Falzmann
bardzo mnie zainteresował. Dziękuję. |
|
|
jazgdyni
@Imć Waszeć
Czy podany przykład to rzeczywiście dla studentów trudny problem? W głowie, w parę sekund doszedłem do (a+b)/ab=3/2018, a dalej to już banał.
Moja konkluzja - za mało jest samodzielnego rozwiązywania zadań (zagadek?), a za dużo uczenia schematów.
Wielu moich uczniów rozkładało się na takim prostym zadaniu: Kierowca przejechał 100 km z A do B w godzinę. Z jaką prędkością musi powracać, by w sumie osiągnąć średnią prędkość 200 km/h?
Przepadł mi już dawno fantastyczny zbiór zadań rosyjskiego matematyka, wydany po polsku. Był genialny, bo przede wszystkim uczył nieszablonowego myślenia.
Ale to było pół wieku temu...
Pozdrawiam |
|
|
Dark Regis
Czy zna Pani takie hasło jak "Putnam"?
Jest to jeden z najtrudniejszych testów kompetencyjnych z matematyki w USA, po prostu taka olimpiada:
1) maa.org
2) en.wikipedia.org
Założę się, że w Polsce uczelnie wyższe mają Putnama głęboko, bo uważają, że stworzyli coś lepszego. Nic bardziej mylnego. Problemem naszych uczelni (mówię tu o matematyce), jest kompletne niezbalansowanie z jednej strony zadań mających uczyć drylu, sztuki doboru środków wyrazu, technik rozwiązywania zadań, nieomal automatyzmu w dobrym tego słowa zrozumieniu, zaś z drugiej "rozwiązywania" zadanek z gwiazdką, orzeszków tylko dla "wybitnych", pobudzających ambicję pozbawioną rzemiosła, więc nieprowadzącą do artyzmu. W ten sposób powstaje dziura, ziejąca otchłań, którą ja tu już od długiego czasu ujawniam na przykładach. Gdyż jedni celowo pozbawiani są szans na osiągnięcie pełnego zrozumienia po zdobyciu wprawy i zaobserwowaniu powtarzalnych regularności, zaś drugim wdrukowuje się fałszywy pogląd, że po "rozwaleniu" problemu jakąkolwiek metodą, lecz bez uzyskania podstawowej wiedzy o technikach, stają się niemal geniuszami. Taka atmosfera panuje m.in. na UW. To nas współczesnych w sposób zasadniczy różni od "szkoły lwowsko-warszawskiej".
A tak przy okazji oto "orzeszek" z Putnama jako próbka odpowiednio trudnego problemu: 1/a+1/b=3/2018 rozwiązać w liczbach całkowitych. Oni rozwiązują to za pomocą reszt, po przedstawieniu równania w postaci diofantycznej (3a-2018)(3b-2018)=2018^2. Ja w pierwszym odruchu spróbowałem "zauważyć", że mamy tu wzory Viete'a (a+b)/ab=3/2018 i dwa pierwiastki całkowite równania kwadratowego x^2-3k+k*2018=0. Uważam, że obie metody są równo cenne, gdyż ukazują inne aspekty tego problemu. Na przykład w moim podejściu trzeba otrzymać całkowitą deltę przez uzupełnienie do kwadratu, ale pamiętać należy o tym, że poza a i b inne parametry nie muszą być tu całkowite. Coś w sam raz, żeby przestać myśleć o równaniach w kategoriach iksów z potęgami.
Niektórzy studenci po latach wyrzeczeń docierają na przedpole geometrii algebraicznej i ze zdziwieniem odkrywają, że te równania wielomianowe, opisywane nimi krzywe, powierzchnie i podrozmaitości, to w gruncie rzeczy są takie obiekty geometryczne indeksowane przez jeszcze inne rozmaitości albo obiekty bardziej abstrakcyjne (schematy). Jest to twórcze rozwinięcie tzw. współrzędnych Pluckera (miał tylko 19 lat), gdzie proste w R^3 są indeksowane punktami pewnej kwadryki w R^5 (właściwie w rzutowych dopełnieniach). Mało kto kojarzy to ze sterowaniem samolotami lub ramieniem robota: pitch, yaw, roll. Podobnie można pozwijać w kłębki i poindeksować czymś krzywe hipereliptyczne stosowane w kryptografii. Chodzi mi o to, że w matematyce pewnych zagadnień nie można zrozumieć, o ile nie zobaczy się ich w wielu aspektach i to czasem za pomocą teorii z najwyższej półki. To trzeba młodym ludziom uświadamiać. |
|
|
Tomaszek
@Rino
A co , Ty tylko po górach na nartach jeździłeś ? To takie trywialne , aż nudne , nawet bym tematu nie zaczynał .W Czechach najlepiej , bo tam piwko na stoku serwowali , na narty mało było czasu . |
|
|
RinoCeronte
Dialogi bizarne - jak dawno tego nie słyszałem, łza się w oku kręci! |
|
|
Tomaszek
Panienki piszczały a recepcjonista piwko przynósł . Nie popadaj w smutę i kompleksy , to tylko forum . Ale fajno że na wspominki wyszło .
Zdrówka życzę |
|
|
jazgdyni
Lubię takie cięte riposty a'la Hołownia. |
|
|
NASZ_HENRY
Nie wiesz, że krowa która dużo ryczy mało mleka daje ☺☻
|
|
|
jazgdyni
Tak twierdzisz?
Że niby lepsza jałówka (internetowa) niż krowa, która dużo mleka daje?
I ta bezzębna kąśliwość... |
