Prawda o nas - głupi, nieodpowiedzialni i źli

On jest inżynierem nie od naprawy, ale od niepsucia i utrzymywania w funkcjonowaniu tego, co już hula

Źle to zrozumiałaś, droga Ely, nie jestem wielkim szpecem od projektowania, ale do naprawy systemów jak najbardziej się nadaję :-)

Nie docenia Pan problemów jakie sprawiają niektóre, a w zasadzie prawie wszystkie "ładne definicje i opisy" obiektów matematycznych. One są ładne ale zazwyczaj niepraktyczne w użyciu. I ja się temu wcale nie dziwię, bo też na to przed laty chorowałem. Przykładowo weźmy na początek te biedne grupy:
1) Grupa Monster też ma tabelkę działania jak wszystkie grupy skończone, czyli opis za pomocą tych wspomnianych przez Pana permutacji (w wierszach i kolumnach tabelki). Ale proszę spróbować ją narysować ;) Nie koniecznie samemu, sąkomputery ;))
Tylko tyle będzie elementów w każdym wierszu i kolumnie: 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 ~ 8*10^{53}
2) Po tym ćwiczeniu wstępnym proszę zająć się liczeniem/rysowaniem tabelek działania w ciałach Galois. Też można zwalić to na komputer ;)
Przykładowo w zagadnieniu wydobywania Bitcoina stosuje się ciało GF(2^256), to jest nie tylko ciało skończone ale nawet przestrzeń wektorowa nad GF(2)={0,1}. Owo p w nazwie krzywej Koblitza oznacza liczbę pierwszą w zapisie szesnastkowym p = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F = = 2^{256}-2^{32}-2^9-2^8-2^7-2^6-2^4-1. Pozostałe parametry krzywej są równie wesołe :) A potem obliczyć grupę punktów wymiernych tej krzywej. Jest to coś kompletnie innego niż pierwsze dwie grupy dla + i * w ciele GF(2^256).
Dodam, że ta krzywa jest źle wybrana i ma dziesiątki dziur. Dużo odporniejsza jest X25519 vel Ed25519.
3) Zadanie trzy będzie polegało na znalezieniu grupy Cremony (patrz Wiki). Skoro starczą tu tylko permutacje, to do dzieła :D
4) Na koniec coś bardziej swojskiego. Skoro biorąc pierwiastek wielomianu nierozkładalnego nad Z możemy sobie rozszerzać krokami pierścień liczb całkowitych Z o nowe liczby algebraiczne całkowite nad Z, a proces ten niechybnie na każdym prowadzi nas ku ciału ułamków tego pierścienia, czyli do jakiejś grupy ze względu na mnożenie (każda będzie inna), to proszę policzyć grupę klas ideałów Cl(R) dla każdego pierścienia na drodze tej konstrukcji. Wieści niosą, że każda grupa abelowa może zostać w ten deseń zrealizowana LOL. No to skoro mamy już grupy w małym paluszku.....

PS: Pierścień jest grupą abelową ze względu na + (dowolną), zaś ze względu na * będzie monoidem. Zera przy mnożeniu nie uwzględniamy (chociaż możemy, bo są "grupy z zerem" jako półgrupy). Wspomniane wyżej rozszerzenie do ciała ułamków mówi nam, że każdy taki monoid możemy rozszerzać do grupy, oczywiście grupa z + zmienia się przy tym, puchnie. Teraz uwaga: dla wybranej grupy z + można czasem znaleźć więcej niż jedno działanie * tworzące pierścień. No to będziemy mieli tu homomorfizmy pierścieni jako jednoczesne homomorfizmy grup i monoidów. Stąd wynika moja uwaga wyżej o produkcie półprostym (uogól. kartezjańskiego), bo to jest właśnie alternatywny opis homomorfizmu grup albo półgrup: w obu przypadkach jedna z grup, jako podgrupa produktu musi być normalna. Resztę załatwia mieszanie warstw wg drugiej (pod)grupy (automorfizm).