Szczęściarze i przegrani?

Po pierwsze to, co nazywamy wymiarem fraktalnym, to jest konstrukt, którego korzenie tkwią w geometrycznej teorii miary. Tak więc nie ma tu chaosu, lecz jest geometria. Czasem bardzo skomplikowana geometria jak na przykład grupy i algebry Liego, ale jednak dająca się opisać paroma sprytnymi wzorami i mająca przypisywane geometriom cechy. Dotyczy to także układów dynamicznych, które mówią albo o ewolucji podporządkowanej równaniom różniczkowym (ciągłej), albo ewolucji układów dyskretnych. Oba te światy - dyskretny i ciągły - przenikają się wzajemnie i ich współgranie stanowi kanwę większości teorii szczegółowych. Na przykład teoria osobliwości, teoria Hodge'a i inne podobne teorie z nazwiskami, czy właśnie geometria algebraiczna. Wszędzie tam schemat jest taki, że w środowisku obiektów ciągłych znajduje się pewien dyskretny albo skończony zbiór wartości, który w pełni opisuje sytuację ogólną. Na początek dla zrozumienia wymiaru fraktalnego polecam twierdzenie Bezikowicza. Dlaczego idealny chaos nie istnieje? Bo nie istnieje idealny generator liczb losowych. Ot i wszystko. Tymczasem w każdym układzie dynamicznym mieszającym punkty, który jest w jakiś sposób ograniczony, spotykamy się z pojęciem ergodyczności. Czyli stan danego układu będzie w nieskończonym czasie bliski każdemu punktowy przestrzeni fazowej, albo wręcz każdy stan układu powtórzy się i powtórzyć się może nawet nieskończenie wiele razy, jak w przypadku skończonym. Jak już pokazywałem wielokrotnie zawsze można rozważyć swego rodzaju domknięcie, uzupełnienie albo uzwarcenie danej przestrzeni, którego cechą jest zachowywanie własności pewnych rodzin funkcji. Na przykład uzwarcenie Cecha-Stonea charakteryzuje się tym, że przedłużają się na nie wszystkie funkcje ciągłe: każde odwzorowanie ciągłe przestrzeni X w zwartą przestrzeń T_2 (Hausdorffa) może być przedłużone (jednoznacznie) na βX. problem tylko w tym, że takie uzwarcenie jest gigantyczne. Albo geometria na płaszczyźnie czy w przestrzeni przenosi się niemal idealnie na urzutowienie danej przestrzeni. W przypadku płaszczyzny uzupełniamy ją prostą w nieskończoności, która wygląda bardziej jak brzeg wstęgi Mobiusa, zaś równania i układy równań wielomianowe homogenizujemy, czyli uzupełniamy do wielomianów jednorodnych np. y=x^2+2x-3 => yz=x^2+2xz-z^2, a zagadnienia i problemy podstawowe i tak możemy rozwiązać. W przypadku zupełności sprawa ma się trochę inaczej, bo i norm, w których się uzupełnia jest multum. Głównie chodzi o to, żeby dowolne ciągi spełniające warunek np. Cauchy'ego miały w uzupełnionej przestrzeni granicę. Tak powstają właśnie dystrybucje, które służą do łatwego tłuczenia wszelkich równań różniczkowych i dlatego działają transformaty. Co do siodeł, to nie są one wytłumaczeniem wszystkich możliwych zachowań i osobliwości, ponieważ są one tylko dwuwymiarowe. Więcej wymiarowe dynamiki i osobliwości mają zupełnie inne przestrzenie osobliwe. Zresztą w wyższych wymiarach niż 4 nie ma już klasyfikacji dyskr.