„Poprzez naród do państwa”

W pewnym sensie na filmie widać linie rezonansowe odpowiadające poszczególnym tonom gammy przy ustalonej częstotliwości drgań. Używam określenia "w pewnym sensie", bowiem dla płyty trójkątnej lub eliptycznej linie te będą przebiegały zupełnie inaczej - są funkcją tego, co się dzieje na brzegu, czyli też tego jak wygląda ten brzeg. Tu mamy akurat kwadrat, bo wtedy są symetrie. To trochę więcej niż oglądanie na innych filmach obrazków dla kolejnych wyższych częstotliwości. Gdy rozwiązujemy równanie struny drgającej, to mamy pewne wartości rezonansowe, czyli punkty w jakiejś przestrzeni parametrów. Dla drgających powierzchni są to linie, a dla drgających objętości (np. powietrza w rurach) są to powierzchnie. Każde porządne równanie różniczkowe ma swoje sytuacje rezonansowe, co opisał w swoim podręczniku Arnold, a równania fizyki w szczególności. Mówi się, że rozwiązaniami równań drgania struny są funkcje harmoniczne. W szkole mówią dzieciom, że to są takie funkcje okresowe jak sinusy i cosinusy i różne ich kombinacje. A co jest dalej?
Otóż funkcje holomorficzne, czyli różniczkowalne w dziedzinie zespolonej, są kombinacjami dwóch sprzężonych funkcji harmonicznych u+iv. Gdy podzielimy przez siebie dwie funkcje holomorficzne, to wyjdzie funkcja meromorficzna, która ma bieguny (gdzie ucieka do nieskończoności) i zera. Cały wykład podstawowej analizy zespolonej właśnie traktuje o własnościach tych funkcji, zer oraz biegunów. Czyli możemy się domyślać, że będziemy mieli też do czynienia z pewnymi drganiami, tylko nie wiadomo jeszcze czym są tu "funkcje okresowe". Oczywiście są sinusy i cosinusy zespolone, które są funkcjami zespolonymi, analitycznymi i całkowitymi, czyli określonymi na całej płaszczyźnie zespolonej i mającymi rozwinięcie w szereg w każdym punkcie. Dodatkowo rozwinięcia sinusa i cosinusa są odpowiednio nieparzystymi i parzystymi (pomnożonymi przez i) wyrazami rozwinięcia funkcji eksponencjalnej exp(x)=cosx+isinx), czyli exp jest też okresowa o okresie 2πi. Zaskakujący może być fakt, że funkcje hiperboliczne, czyli hiperboliczny sinus i cosinus konstruuje się podobnie z szeregów rozwinięć, ale okresy mają w osi wartości urojonych. Mają też podobny związek z funkcją exp: exp(x)=coshx+sinhx. Widzimy więc, że mogą być funkcje okresowe w dwóch różnych kierunkach, a to prowadzi wprost do funkcji eliptycznych i podobnych, które już są meromorficzne (mają zarówno zera jak i bieguny). Są to funkcje dwuokresowe (uogólnienia funkcji trygonometrycznych). To właśnie z tego składają się te dziwne rozwiązania równań drgania membrany czy kwadratowej płyty. A co jest dalej?
Dalej jest całe morze zagadnień, które zapierają dech w piersiach. Na przykład dalsze uogólnianie okresowości prowadzi do form i funkcji modularnych, a jeszcze dalej do form i funkcji automorficznych. Tu już trzeba znajomości teorii grup i pierścieni.
A co jest dalej? Dalej jest właśnie teoria strun i próba wielkiej unifikacji :))