|
|
Edeldreda z Ely
A propos monad, tylko tych Leibnitza, to przed paroma dniami poczyniłam mini-odkrycie. Być może wielu przede mną już to odkryło i wyważyłam drzwi już otwarte, ale zrobiłam to sama. Znalazłam odpowiedź na pytanie, dlaczego u Leibnitza monady nie mają sławnych okien. Odpowiedź: u podłoża tego przekonania leży Jego melioryzm. |
|
|
Dark Regis
No ale pogadać sobie można ;) przynajmniej mi Pani pomuzuje, przez co może coś ciekawego wymyślę :))))
Czasami najgorzej jest ze znalezieniem powodu i chęci do czytania matematyki lub fizyki, bo to nie zawsze sprawia tylko przyjemność. Czasem to po prostu boli. Nie mówię, że w człowieku jest coś z masochisty, lecz po prostu taki mały pyszny diabełek w głowie czasem pokrzykuje "szybciej! szybciej! więcej!", a tu guzik wychodzi albo już za minutę egzamin albo jest po prostu zły dzień i zwyczajny szary człowiek by się przy tym w końcu załamał albo wypalił. Chęci nie muszą iść w parze z możliwościami, a jeszcze gdzieś czai się tu pycha i to człowieka może naprawdę zniszczyć. Oczywiście nie mam na myśli Pani, ani nawet mnie, bo ja jestem już gręplowany kompletnie jako (były?) analityk i nie nad takimi tematami jak ten musiałem posiedzieć :))) Po prostu zawsze jest lepiej i bezpieczniej, gdy człowiek poświęca się, podkreślam *poświęca* nie bez przyczyny, temu co lubi. To tak jak z Perelmanem, albo tymi zapaleńcami z siedemnastego wieku. Kiedyś widziałem taką scenę, gdy schodami na UW na Banacha w Warszawie szło dwóch doktorów i trzeci za nimi na czworaka - tak migawka, bo tylko przechodziłem obok - ten niemal na kolanach prosił tych dwóch o udowodnienie jakiegoś twierdzenia do jego pracy, a tamci go ignorowali albo kpili. Ludzie i klamki, świnie i ludzie, to dotyka każdego środowiska, a już najgorzej jest jeśli taki chłam naucza potem młodzież... |
|
|
Dark Regis
Porządki: a co się stanie z porządkami na zbiorach, których w nowej aksjomatyce nie da się już dobrze uporządkować, a czasem nie da się ich uporządkować także w inny sposób? Czy zastanawiała się Pani kiedyś nad zagadnieniem tworzenia liczb rzeczywistych? Mówi się, że jest to np. skończony lub nie ciąg cyfr danego systemu pozycyjnego (*dziesiątkowego), który jest skończony z lewej strony kropki i może być nieskończony z prawej. Czy to jest dobra definicja, czyli zdanie nie prowadzące do sprzeczności? Obawiam się, że już tu zaczynają się schody. Otóż wiadomym jest, że jak przejdziemy do innego toposu, to jednocześnie definicje zbioru liczb rzeczywistych, które dotąd były równoważne i opisywały ten sam obiekt (jak nie to dorzucało się aksjomat i po sprawie;) teraz stały się nierównoważne i opisują różne obiekty. Widać zajawki tego już w "normalnej" matematyce, gdy zaczniemy poszukiwać tzw. monad wokół liczb rzeczywistych. Może nie będzie to odpowiadało niczemu, ale spróbuję zilustrować to za pomocą rozwinięć dziesiętnych. Załóżmy, że w pewnym ujęciu utożsamiamy liczbę rzeczywistą z pewnej klasy algorytmem, który pracuje na jej rozwinięciu i miesza cyframi. Możemy np. mieć liczbę, która tworzona jako 0. i ciąg wszystkich liczb Fibonacciego zapisanych ciurkiem. Są takie podejścia i faktycznie bada się, czy jest to liczba wymierna czy nie. No i teraz popatrzmy na takie coś: mamy 0. a potem w 2k-tym kroku k zer, w kroku 2k+1 k jedynek i 2. Ma Pani jeszcze w pamięci LLPO? No to teraz może być zasadne pytanie: Czy ta liczba kończy się nieskończonym ciągiem zer, czyli jest wymierna, czy też nieskończonym ciągiem jedynek i tą bidną dwójką, przez co na dwoje babka wróżyła? To jest mniej więcej opis takiego problemu: grupa abelowa będąca granicą grup rzędu 2^n i druga rzędu 3^n, stanowią grupy rzędu nieskończonego, ale jednak są zupełnie inne. W matematyce gdzie pojawia się odniesienie do teorii liczb co i rusz mamy takie kwiatki. A wydawało się, że liczby mamy w małym paluszku, co nie?
No teraz wreszcie porządki: zbiory, które były uporządkowane lub mogły być, przez co można było badać np. równoliczność itp., teraz będą jedynie potencjalnie "naturalnie" uporządkowane, tzn. będzie można tę cechę badać, gdy oba systemy znajdą się wewnątrz innego szerszego. No właśnie te nieboolowskie toposy są jakby szersze. Dlatego nie ma tu już mowy o uporządkowaniu, o relacji porządkującej, ale o czymś innym co ja nazwałbym zasadą porządkującą, natomiast obiekty podpadające pod tą zasadę aranżacjami. Niech Pani zwróci uwagę jak wiele zależy od jakiegoś uporządkowania: przestrzeń nieskończenie wymiarowa, np. funkcyjna, budujemy jakąś jej bazę w oparciu o naturalny porządek liczb 1,2,3... czyli numerujemy osie współrzędnych. Ale czy przestrzeń funkcyjna musi mieć ponumerowane osie? Czy każdy zbiór stanowiący np. ośrodek musi dać się naturalnie uporządkować? Przecież mogę założyć, że moje osie sterczą jak jeż na sferze w kierunku punktów wymiernych. Co na to Banach? :) |
|
|
Edeldreda z Ely
Odnoszę niewygodne wrażenie, że mnie Pan przecenia. W LO tylko z jednego działu otrzymałam piątkę, a były to logarytmy. Choć z drugiej strony jako jedyna z klasy na warsztatach matematycznych rozwiązałam zagadkę, w której zawarta była błędna sugestia i wystarczyło ją zanegować, by rozwiązanie objawiło się w swojej prostocie, więc jakiś tam potencjał we mnie jest, tyle, że trudny do oszacowania. Zrozumienie doświadczenia Morley’a-Michelsona zajęło mi 2 dni... |
|
|
Dark Regis
Spokojnie jak na wojnie ;) Proszę jeszcze raz przemyśleć Axiom o Choice w kontekście LLPO i dlaczego AC jest uważany za równoważny Excluded Middle oraz Lematowi Kuratowskiego-Zorna. Wtedy zauważy Pani niepokojąca konsekwencję, że jeśli odrzucimy AC i nie uda nam się dobrze uporządkować dowolnego każdego zbioru, to relacja porządku na zbiorach straci swój sens i pewne konstrukcje staną się podejrzane. Oczywiście dla algebry to żaden problem, bo tam i tak w większości mówi się o zbiorach, albo o cechach zbiorów, które są w pewnym sensie skończone. Dlatego konstruktywizm i intuicjonizm nie powodują załamania się matematyki, lecz próbę załatania tych powstałych w aksjomatyce teorii mnogości (AC) i przy okazji w logice (EM), a zatem w porządkach i relacjach (LKZ) dziur. Dlatego zaczyna mieć sens to co pisałem do Jazgdyni na jego blogu, czuli uprawianie matematyki top-down albo wstecz (reverse math):
1. https://en.wikipedia.org…
To znaczy, że najpierw przyglądamy się problemowi, a potem dobieramy do niego potrzebną aksjomatykę i patrzymy ile da się w niej zrobić i czy nie ma sprzeczności. Ale proszę zobaczyć co się dzieje z porządkami. Zbiór, który był uporządkowany przy zachodzeniu AC, po załataniu aksjomatyki jakimś AC1 może być nieporządkowalny, czyli może nie być relacji, albo algorytmu, który jest w stanie tego dokonać. Tu już jesteśmy naprawdę blisko informatyki. No bo czym jest nasza teoria i w ogólności cała nasza matematyka, jeśli nie zbiorem zdań możliwych do utworzenia i zaakceptowania przez pewien automat, parser lub analizator składniowy? Nie mówimy tu jeszcze o prawdziwości i spełnialności, bo to nie ma związku. Mówimy o ogóle zdań, które możemy zbudować i określić ich poprawność, w związku z czym mogą nam później posłużyć do budowania teorii, zbiorów, podkreślam to słowo *zbiorów*, zdań niesprzecznych:). Ale co to znaczy niesprzeczność? No i tu może się okazać, że np. da się zbudować szerszy system, w którym zdania zbioru A, których niesprzeczności nie mogliśmy dowieść, stają się albo niesprzeczne albo sprzeczne. Futurologia? Nie. Przecież właśnie tak budowano aksjomatykę dla matematyki: dodano Cantora, dodano continuum, ... Czyli nic nowego pod Słońcem. No ale skupmy się na tym automacie. Automat można rozszerzyć tak, żeby oprócz poprawności (pierwszy stopień) realizował jakiś system dowodzenia, przez co mógłby teraz badać/akceptować poprawność ciągów skończonych zdań (znów podkreślam ^skończonych*). I tak dalej moglibyśmy brnąć w schematy, ale jedno stanie się wtedy jasne: wszystko to, co jesteśmy w stanie stworzyć/przetworzyć w języku formalnym o składni zapisanej jednoznacznie formułami (vide języki formalne i gramatyki) jest jednocześnie do zaprogramowania na maszynie Turinga albo czymś co w danym momencie robi w naszym paradygmacie za model obliczeń. No to dziś już wiemy co: obliczenia kwantowe. Czy to w istotny sposób rozszerza nasze możliwości? Pytanie jest arcyciekawe. |
|
|
Edeldreda z Ely
"Byłem wtedy pod wpływem humanistycznego tekstu "metafora i porównanie" ;) Chyba Pani dostrzega w tym pewne podobieństwo" - a juści - dostrzegam analogię i bynajmniej nie uogólniam 🙃 Dziękuję za listę lektur i tropów do podjęcia - i zabieram się do pracy. Wrócę, jak Endrew Wiles - za siedem lat 😁 Oby były dla mnie tłuste 😊 |
|
|
Dark Regis
Z tego co widzę u Bocheńskiego, to próbuje on się pozbyć antynomii, a to w ten sposób nie ma żadnego sensu, co już wiemy. Proszę prześledzić temat tw. o niezupełności Godla (teoria zawierająca arytmetykę nie może dowieść swej poprawności) -> praca Gregory Chaitina o twierdzeniach prawdziwych bez dowodu.
https://pl.wikipedia.org…
Jeszcze raz nawiążę do powyższego, trzeba skonkretyzować o jaką logiką nam chodzi, bo są np. takie ujęcia, w których nie można posługiwać się klasycznym wartościowaniem zdań, albo zbiór tautologii jest tylko częściowo rozstrzygalny. Naprawdę polecam zainteresowanie się logiką w ujęciu matematycznym na początek, bo tu będzie widać jak na dłoni jakie są konsekwencje przyjęcia takich albo innych założeń. Logika matematyczna obejmuje także temat algebr Boolea i Heytinga, ogólniej krat modularnych i dystrybutywnych, co upraszcza potem rozumienie zapisów w logice. Rozumie chyba Pani, że gdy logika nie jest Booleowska, to zaczynają się problemy z tym co to jest relacja, a więc i funkcja, a więc i kwantyfikator "istnieje" i implikacja itd. Dlatego mówi się i ja mówię, o toposie jako miejscu uprawiania "wersji" matematyki, który ma niestandardowy (nie {true,false}) klasyfikator podobiektów, względem którego tworzy się wewnętrzny język logiki toposu i w nim formułuje teorie np. algebraiczne (gdzie nie trzeba złożonych relacji) albo geometryczne (gdzie klasy obiektów łączą relacje). I to wygląda tak:
https://www.oliviacarame…
Myślę, że zajmowanie się toposami jest bardziej zabawne niż historycznymi systemami filozoficznymi ;)
Nawet kwantom nie przepuszczą (to w nawiązaniu do dyskusji o funkcji falowej): https://royalsocietypubl… |
|
|
Dark Regis
Kiedyś próbowałem naskrobać coś w temacie "analogii i uogólnienia", bo są to dwa pojęcia, które są źle rozumiane zwłaszcza w kontekście matematyki. Byłem wtedy pod wpływem humanistycznego tekstu "metafora i porównanie" ;) Chyba Pani dostrzega w tym pewne podobieństwo. Uogólnienie jest dobrze opowiedziane w cybernetyce, a dokładniej w teorii systemów:
1. https://pl.wikipedia.org…
2. https://en.wikipedia.org…
Jest książka po polsku pt. "Teoria systemów", ale stara i bodaj Turskiego. W przypadku Wikipedii jako miejsca rozrządzającego podróżami po naukach, to polecam angielska wersję zamiast polskiej i oczywiście Stanford Encyclopedia of Philosophy:
https://plato.stanford.e…
Dlaczego tam? Prawdopodobnie dlatego, że tu w Polsce nie wiąże mnie nic z żadnym "domem wiedzy" z żadną partią ani "bandą" ;) i dlatego poszukuję i oceniam sam. Jeśli zaś chodzi o logikę w tym tekście, to rozumiem że chodzi o jakiś rodzaj szybkiej ścieżki, aby zacząć to czytać, prawda? Tutaj kiedyś polecałem taka pracę "Wnioskowanie w logikach nieklasycznych" (pod egidą PAN), bo tam jest poruszonych wiele wątków, które warto zacząć badać. Natomiast logika klasyczna niestety wymaga zwykłego podręcznika. Z tym, że jak wspominałem, logika matematyczna rozwijana na wydziałach matematyki różni się zasadniczo od logiki w rozumieniu wydziałów filozofii. Przede wszystkim chodzi o liczbę symboli do użycia, o zbiór tautologii, system wnioskowania, już nie mówiąc o składni. Czy Pani rozumie pojęcie prawdy-spełniania, zdania prawdziwego-spełnialnego, dowodu, tablic semantycznych, konsekwencji, modelu, pojęć termów, formuł, formuł atomowych, czyli co się buduje z symboli funkcyjnych a co z relacjami, wreszcie zapis Gentzena, czy współcześnie logiki używane w informatyce? Po prostu chciałbym się zorientować na jakim jesteśmy etapie. Bo proszę zauważyć, że rachunek lambda to jest też forma logiki. Zresztą w programowaniu funkcyjnym jest obecnie całe słownictwo związane z teorią kategorii jak funktory, monoidy, monady, soczewki, algebra Kleisli, lemat Yonedy itd., :) (vide programowanie w Haskellu np.). Jednym zdaniem nie da się napisać w tym momencie dobrej odpowiedzi, bowiem nie wiem jeszcze w jakim kierunku Pani zmierza, a historyczne teksty mają poważną wady - nie uwzględniają osiągnięć współczesnych. Mam np. "Systemy Leśniewskiego. Ontologia i mereologia", ale to jest jakby ortogonalne do tego co dzieje się w innych dziedzinach niż filozofia. Jeśli chodzi o matematykę, polecam na początek jakiś podręcznik algebry uniwersalnej (jak w Rasiowej-Sikorskim), bowiem logikę tutaj traktuje się jako część algebry. Natomiast jeśli chodzi o logiki nieklasyczne, które wykorzystuje się np. w informatyce, warto zacząć od Wiki i Stanfordu, bo tu się dużo dzieje. Przykładowo do badania poprawności systemów informatycznych używa się logik w zapisie sekwentów Gentzena z typami i innymi dodatkami. Da się to czytać, zapewniam :) |
|
|
Dark Regis
Również dziękuję za rozmowę i pocieszenie. Niestety, kraje azjatyckie rozwijają kompetencje matematyczne w zastraszającym tempie. Proszę sobie wyobrazić, że na sukces USA w rankingach dotyczących matematyki normę wyrabiają właśnie Azjaci. Kiedyś pisałem o Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej właśnie z puntu widzenia "prywatnego" zespołu z USA prowadzącego przez człowieka z Tajwanu (Evan Yiting Chen).
https://naszeblogi.pl/49…
Tu są wyniki tegorocznej olimpiady:
https://www.imo-official…
Proszę zwrócić uwagę na miejsca od 60 w dół. Jest tam taka czwórka: Sweden, Norway, Finland, Belgium. Nieci lepiej (40) Netherlands. Jak widać multikulti nie przynosi kokosów w tym sporcie ;))) |
|
|
Edeldreda z Ely
Byłabym bardzo rada, gdyby kiedyś, w wolnej chwili zechciał Pan zapoznać się ze wspomnianym onegdaj przeze mnie artykułem Ojca Bocheńskiego, który jakiś czas temu przesłałam Panu na maila, znalezionego na Pana profilu na NB, tj. [email protected] |
|
|
Edeldreda z Ely
Zacytuję mój ulubiony wstęp ze Zbioru zadań z fizyki z rrozwiązaniami autorstwa J. Kalisza, M i J. Massalskich. "Najczęściej spotykanym błędem, ciągnącym się od szkoły podstawowej jest powszechne twierdzenie rodziców i uczniów, że uczeń (student) fizykę umie, a ma trudności jedynie z rozwiązywaniem zadań z fizyki. Twierdzenie to jest z zasady fałszywe, gdyż taki student albo nie rozumie treści zadania, albo nie zna praw i zasad fizyki odnoszących się do zjawisk opisanych w zadaniu, albo nie ma opanowanego materiału pamięciowego tych praw i zasad i nie potrafi ich w zadaniu zastosować, chociaż czuje jego treść fizyczną, albo nie umie przeliczać jednostek z jednego układu na drugi. Ma więc materiał nie ugruntowany, jest mało wprawny, ewentualnie nie potrafi posiadanych wiadomości teoretycznych zastosować do celów praktycznych. Do tego celu służą podręczniki z zadaniami z fizyki i dlatego oprócz uczenia się teorii należy przerobic kilkaset zadań z samej fizyki klasycznej" 🙂 Bardzo dziękuję za wykład i pozdrawiam z szacunkiem.
A cytat ten jest ulubiony, bo mając żywą wyobraźnię przed jej oczyma widzę człowieka, który to pisał - w desperacji, z wyrwanymi już dawno z głowy wszystkimi włosami... podjął ostatnią, heroiczną próbę, by do młodzieży przemówić... |
|
|
Dark Regis
Bez sinusa i cosinusa nie zrozumielibyśmy wahań, ruchów okresowych i fal. Bez nich nie dowiedzielibyśmy się, że ich uogólnienie (tak jak opisane powyżej cztery algebry z dzieleniem) istnieje tylko jeszcze jeden dwuokresowy rodzaj funkcji i koniec (przez co Hilbert odkrył kwaterniony jak mówiłem i te płaszczyzny zlepione punktem) sn,cn,dn,sc (obrazki):
https://en.wikipedia.org…
Jazgdyni pyta mnie wciąż czemu "eliptyczne", a nie "paraboliczne" albo "hiperboliczne", a to widać nieuzbrojonym okiem na obrazkach w linku i wynika z mojego opisu jak tworzy się torus (wkleja się na końcach płaszczyzny dwa okręgi = dwa okresy). Po prostu zagadnienia ich dotyczące prowadzą na torus zespolony, czyli taka siatkę czworokątną, płaszczyznę zwiniętą wzdłuż i wszerz tej siatki
Bez nich zaś nie umielibyśmy sobie wyobrazić co robią i jak wyglądają fale odpowiadające elektronom w atomach, bo drgania harmoniczne na sferze to jest właśnie to (jak widać tam też pojawiają się siatki ale w formie wielościanu):
https://en.wikipedia.org…
Przy okazji, te dziwne funkcje zwane specjalnymi, te rodziny wielomianów Legendre'a, Czebyszewa itd. pojawiają się też w innych dziedzinach niż analiza funkcjonalna. Na przykład w "zwykłej" kombinatoryce jako baza w przestrzeni wielomianów (typu dwumianowego) dla delta operatorów stanowiących uogólnienie różniczkowania na przypadek dyskretny. Są wykorzystywane do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu, przenosi się ten schemat/algorytm na równania różniczkowe cząstkowe. Wreszcie na koniec są tam (i zresztą w każdej książce dotyczącej równań Einsteina lub modeli czasoprzestrzeni) takie dziwne literki z wieloma np. trzema indeksami na dale i na górze. To są albo tensory, współczynniki koneksji, czyli przepisu w jaki sposób przenosić równolegle wektory w krzywej przestrzeni, albo tzw. stałe strukturalne, które opisują jak krzywa jest grupa Liego będącą przestrzenią dla "wektorów" z algebry Liego.
Dużo nazw, prawda? Ale to są proste rzeczy do zrozumienia, tylko musi ktoś być i pokazywać młodemu człowiekowi palcem co robić dalej. Tak pracuje Stanford, Oxford, Harvard. Tak NIE pracuje UW, UJ, UWr,... I stąd bierze się mój pierwszy post dotyczący stworzenia wreszcie w Polsce poważnego wieloletniego planu nauczania matematyki, a nie wiecznych teleturniejów "kto kogo obleje" i ile kasy się ściągnie z poprawkowiczów, oraz owa propedeutyka i dydaktyka. Pozdrawiam. |
|
|
Dark Regis
a w przypadku wielokąta po utożsamieniu go z płaszczyzną, na której leży powiedzmy n-kąt, mamy W=n, K=n, S=2 (bo jest wnętrze wielokąta na płaszczyźnie i zewnętrze), co dałoby w obu przypadkach właśnie stałą 2, są jeszcze dwa oddzielone od siebie obszary 3-wymiarowe, co zeruje nam naszą rozszerzoną stałą Eulera. Można by to traktować jako "cecha przestrzeni płaskiej", gdyby nie fakt, że nie dotyczy płaszczyzny, prawda? Podobnie na prostej możemy wziąć dwa punkty, które oddzielą trzy odcinki. W tym sensie przestrzeń 3D jest jakaś szczególna i warto w tym celu zainteresować się topologią. Co do przestrzeni 4D, to w niej np. nie daje się zawiązać żadnego węzła ze sznurka, sfera 2D nie ma wnętrza, zaś dwie płaszczyzny mogą się stykać w jednym punkcie (to spowodowało, że Hilbert odkrył kwaterniony).
Wracając do fizyki i Wszechświata, to w ogóle fizycy próbują wszystko sprowadzać do pól i metryk. Metryka jest tu niejako siłą oddziaływania, odległością, a zatem nie dziwią ich modele 11-wymiarowego świata w teorii strun. Cały Wszechświat wypełniony jest polami kwantowymi, których natury i pochodzenia nie znamy, ale widzimy ich oddziaływania. Jest pole elektronów, fotonów, neutrin, protonów lub kwarków i to ich wzajemne oddziaływania tworzą widoczną materię. Nie wiemy jeszcze czy istnieją pola tworzące niewidoczną materię, ciemną materię. Wiemy natomiast, że coś działa przeciwko grawitacji i nazywamy to ciemną energią. Skoro tak, to takie pole nie może czuć metryki, która odpowiada za ograniczenie prędkości światła, bo ewidentnie działa na ogromne odległości, ale nie na małe. Warto się więc zastanowić nad tym, czym są więc cząstki materii i "niematerii". Są one po prostu fluktuacjami swojego pola i gdy fluktuacja w danym miejscu jest wystarczająco duża, to cząstka się pojawia, a wpp. mamy tylko cząstki wirtualne, których jeszcze w rzeczywistości nie ma. Dlaczego globalne pola? A jak oszacowaliśmy liczbę wszystkich cząstek na podstawie energii potrzebnej do ich przejścia z formy wirtualnej do rzeczywistości? Tak więc aby sprawdzać poprawność modeli kosmologicznych fizycy obserwują zjawiska ekstremalne (zderzenia gwiazd neutronowych i czarnych dziur, obecnie), żeby dostroić stałe w swoich modelach lub je odrzucić jako błędne. To zupełnie zmienia nasze klasyczne myślenie o materii, nieprawdaż? I o geometrii też ;))) |
|
|
Dark Regis
Jednocześnie fizyka modelując Wszechświat właśnie wprowadza pojęcie metryki i to właśnie względem tej metryki światło ma ograniczenia co do maksymalnej prędkości. Gdyby jednak Kosmos był sferą 3D, to moglibyśmy też użyć metryki sfery, która nie miałaby wiele wspólnego z tą einsteinowską, bowiem służyłaby do innego celu niż opisywanie lokalnych praw fizyki. To jest jedna z wielu stałych dyskusji w nauce, jaki jest wzajemny stosunek pojęć: lokalne-globalne, ograniczone-nieograniczone (tu rola metryki), zwarte-niezwarte (sfery i torusy kontra płaszczyzny), analityczne-algebraiczne. Nie wiem czy Pani miała kiedyś w rękach książkę Krzysztofa Maurina pt. Analiza w trzech tomach, dotyczącą tak wielkiej liczby zagadnień, że aż nasuwa się refleksja jak bardzo można nie umieć pisać książek, ale robić to ciekawie i inspirująco. To jest cecha dobrego dydaktyka. Podobnie zresztą oceniam inną książkę, Zbigniewa Semadeniego "Wstęp do teorii kategorii i funktorów", który popełnił tam masę błędów, ale które z czasem udało mi się odkręcić dzięki lekturze wielkich twórców tej teorii: Grotthendieka, Samuela Eilenberga (to on stworzył kategorie, działał w Warszawie równolegle z Banachem we Lwowie, ale prawie nikt o tym nie wie), Lawvere'a, Tierneya i innych. Oni też zajmowali się analizą funkcjonalną jak Banach, ale od zupełnie innej strony. Patrzyli globalnie i algebraicznie za pomocą języka kategorii i funktorów, a nie lokalnie definiując normy, metryki i analitycznie błądząc w obliczeniach stosów całek i pochodnych. Rozgadałem się... :)
No więc dlaczego dwie rakiety wysłane na raz z równika i z bieguna z tą samą prędkością miałyby w ogóle wrócić na Ziemię? Gdyby to była sfera 3D, to mając piłkę w rękach i długopis moglibyśmy wymodelować ich trasy i zobaczyć spektakularne zderzenie w punkcie antypodycznym względem Ziemi. Natomiast gdyby to nie była "solidna" sfera 3D, ale jej "namiastka" w formie czegoś z doklejoną na krańcach np. parą okręgów (torus) lub wstęgą Mobiusa (butelka Kleina), to nie doszłoby do zderzenia. Dla torusa wciąż byłaby taka opcja, ale dla wstęgi Mobiusa w nieskończoności każda prosta tam dochodząca osiągnęłaby swój własny punt przecięcia z brzegiem = okręgiem nieskończonym. Szybko jednak przekonalibyśmy się, że wszystko wróciło na Ziemię odbite względem osi. I jeszcze coś. Jak Pani słusznie zauważyła nie obyłoby się bez zanurzenia wszystkiego w jakiejś przestrzeni 4D. Inaczej mówiąc, to topologia (i metryki) odpowiada na takie pytania, dlatego ZAWSZE trzeba brać pod uwagę nie tylko samą gołą przestrzeń (sferę 3D), ale także jej zanurzenie w czymś. Chyba mam przykład który to ilustruje, a nie pojawił się filmie (ani tym o rakiecie, ani tym o bryłach, performance). W tym drugim filmie jest wyjaśnione pojęcie stałej Eulera, czyli gdy zliczamy wierzchołki wielościanu W, krawędzie K i ściany S, to otrzymujemy niezmiennik W-K+S=2. Pomyślmy teraz globalnie, co rozcina ten kształt? Rozcina przestrzeń 3D na wnętrze i zewnętrze, |
|
|
Dark Regis
...nie powie, bo zatka się na wstępnym etapie z prozaicznego względu: złożoność obliczeniowa i brak maszyny w znanym nam Wszechświecie do dokonania takich wyliczeń. Tak więc myślę, że to wyjaśnia te fragmenty, gdzie rakieta z liną miałaby lecieć po jakichś dziurach ;) Teraz kwestia nieskończoności. Mam wrażenie graniczące z pewnością, że problem ze zrozumieniem przejścia do nieskończoności polega na dwóch rzeczach: 1) myśleniu do wymiaru 3 włącznie, ale z dużymi wyłączeniami (chodzi tu o te donuts i brzegi), 2) nieporozumienie dotyczące metryki i jej roli. Może zacznę od 2.
Metryka jest to taka funkcja na parach punktów przestrzeni, która określa coś w rozumieniu dystansu pomiędzy nimi. Często metryka bierze się z normy, która PRZEWAŻNIE określa dystans jedynie od wybranego punktu zero. Dlaczego podkreślam to słowo? Bowiem w dziedzinie wymyślonej (tak się przyjęło mówić ;) przez Banacha mamy szereg przykładów przestrzeni, które mają metryki (są metryzowalne), lecz nie da się na nich opisać normy, przez co wprowadza się pojęcia słabsze pseudonormy, ciągu pseudonorm i takie rzeczy. W każdym razie clou stanowi rozróżnienie pomiędzy przestrzenią metryczną, a tylko metryzowalną - taką gdzie zadaliśmy metrykę, a tym samym geometrię, a inną zupełnie pustą, gdzie metryka stanowiłaby jedynie opcję, ale nie miałaby cechy naturalności. Metryki bywają bardzo dziwne. Podsunę przykład z ćwiczeń na wykładzie topologii: metryka rzeka. Chodzi o to, że aby dotrzeć z punktu powiedzmy A(1,2) do punktu B(-3,4) idziemy przez "dżunglę" do rzeki czyli po odcinku łączącym A(1,2) z C(1,0), dalej poruszamy się "rzeką" do punktu D(-3,0) i znów "dżunglą" do B(-3,4). W sumie odległość pomiędzy A i B wyniesie 2+4+4=10, a tymczasem odległość euklidesowa ukosem na skróty jest dużo mniejsza. Teraz wyobraźmy sobie, że zamiast rzeki mamy taki węzeł czyli punkt, zaś wszystkie drogi do rzeki wychodzą z niego na kształt jeża. Okazuje się, że nawet gdybyśmy określili różne wagi (mnożniki) dla różnych półprostych wystających z jeża, to i tak nie udałoby się nam stworzyć takiej samej metryki jak rzeka. Nie udałoby się też nam ułożenie tego jeża w przestrzeni 3D, żeby ważone drogi miały jakąś symetrię. To samo będzie się działo z metrykami określanymi na płaszczyźnie, na sferze albo na torusie (preclu). Jeżeli domkniemy płaszczyznę jednym punktem w nieskończoności tworząc sferę, ale zachowamy dotychczasową metrykę płaszczyzny, to i tak nieskończoność pozostanie nieskończenie daleko od każdego innego punktu. Stojąc tam i robiąc kroczek od razu oddalamy się na nieskończoną odległość. Wiemy jednak, że istnieje skończona metryka na sferze, tak jak na Ziemi z południkami i równoleżnikami. Podobnie na torusie, gdzie zamykamy każdą prostą poziomą w okrąg osobnym punktem i tak samo każdą prostą pionową, a w efekcie dostajemy płaszczyznę domkniętą przez sklejoną w punkcie parę okręgów. To po prostu trzeba czuć i posługiwać się wyobraźnią. |
|
|
Edeldreda z Ely
Na tę chwilę pierwszy akapit mogę skomentować cytatem ze Zdań i uwag Mickiewicza: "Na co będą potrzebne - pytało pacholę - Trójkąty, czworoboki, koła, parabole"? “Że potrzebne - rzekł mędrzec - musisz teraz wierzyć. Na co potrzebne - zgadniesz, gdy zaczniesz świat mierzyć". Tyle mistrz - a w naszych czasach forsuje się mem z bezzebnym roześmianym starcem, od którego biegnie chmurka z tekstem:" Nadal czekam, aż mi się przyda sinus i cosinus".... |
|
|
Dark Regis
Może zacznę od mirmiłowania. Polsce potrzeba pilnie dwóch programów, które są konieczne do uzdrowienia polskiej edukacji. Oczywiście nie mieszam się do humanistyki, lecz mam na myśli matematykę i szeroko rozumiane nauki ścisłe. Konieczna jest (od)budowa od fundamentów propedeutyki matematyki i dydaktyki. Propedeutyka jest przygotowaniem do nauczania matematyki i powinna obejmować okres nauki przedszkolnej, w podstawówce i w niektórych przypadkach w dwóch pierwszych klasach szkoły średniej (program wyrównawczy). Dydaktyka zaś ma dotyczyć uczniów już wyselekcjonowanych kształconych kierunkowo i studentów. Dlaczego jest to konieczne już tu wielokrotnie dyskutowaliśmy. Ale jeśli ktoś ma wątpliwości, to powinien zrobić test wśród maturzystów opuszczających szkołę właśnie pod kątem stopnia przyswojenia materiału. Przykład: 1. trygonometria - czy jest potrzebna i jaki stopień okrojenia programu jeszcze coś daje; żadna szkoła w Polsce (chodzi o program, a nie nauczyciela hobbystę) nie zwraca uwagi na to, że w trójkątach boki oraz kąty są w pewien sposób równoważnie traktowane przez wzory i twierdzenia (tw. Cevy), a jest to warunek konieczny aby na studiach w szybkim tempie wprowadzić pojęcia jednorodności i przestrzeni rzutowych; w każdym razie ja nie pamiętam, żeby na UW ktokolwiek do magisterium w jakikolwiek sposób kładł na to nacisk, a jest to pojęcie KLUCZOWE w wielu dziedzinach matematyki. 2. usuwanie niewymierności (pierwiastka) z mianownika - uczą tego nawet w technikach, a uczniowie przez ponad tydzień coś tam skrobią na kartkach, ale nikt nie mówi im po co to się robi - sztuka dla sztuki. Tymczasem jest to fundament bez którego nie da się potem nauczyć teorii pierścieni i ogólniej algebry przemiennej. I tu znów "kogo, kiedy, w jakim stopniu" uczyć i przygotowywać grunt, a nie zabawkę do uwalania na testach. 3. rachunki, w tym inne systemy pozycyjne (ważne też dla informatyków), ciągi, nacisk na wielomiany, nie tylko spojrzenie analityczne na funkcje, lecz również algebraiczne, bo grupy symetrii (wielokątów, brył -> film) można przemycić nawet w podstawówce. Później na studiach wiele rzeczy stanie się łatwe z marszu, np. kombinatoryka (zliczanie), topologia (kształty i te "dziury";), a w efekcie wszelkie inne dziadziny oparte o twarde rachunki na symbolach. Tego dziś nie ma o czym świadczą boje staczane tu przeze mnie z panami inżynierami o sens umiejętności efektywnego liczenia, a nie tylko "podstawiania do wzoru", który przynosi jakiś krasnoludek.
A teraz weźmy się za 3-wym. sferę. Einstein również w celu stworzenia podstaw SZCZEGÓLNEJ teorii względności usunął z niej wszelką materię, wszelkie masy. Upraszczanie modeli nie jest niczym złym, za to wypełnianie ich "przypadkami" i "dziurami" najczęściej kończy się niemożnością wyobrażenia sobie czegokolwiek z wynikiem obliczeń włącznie. Nawet jeśli zrobimy super model gospodarki albo bankowości, który uwzględni pojedynczego człowieka i jego kaprysy to może się okazać, że taki model nic nam |
|
|
Edeldreda z Ely
Tylko kilkanaście? To znaczy, że jeszcze będą ze mnie ludzie 😎 PS pokornie czekam na wykład, choć moja pycha wije się jak piskorz 😏 PS dziękuję za to, że Pan nie rezygnuje, co jest nieodzowną cechą nauczyciela. |
|
|
Dark Regis
@Edeldreda z Ely: Zanim się odniosę do Pani wypowiedzi, bo jest tam kilkanaście fragmentów do wyjaśnienia, proponuję coś na temat "Czy można robić matematyczny performance":
The Mysterious Hyperdice Sequence: https://www.youtube.com/…
To całkiem sprytny sposób uczenia podstaw matematyki :) |
|
|
Edeldreda z Ely
@ Imć Waszeć
Dzień dobry. Obejrzałam filmik o Perelmanie i skoro Pan pytał, to się wypowiem. Wypowiedź świadomie nastąpi przed odczytaniem Pana komentarza na temat ww. filmiku. Celem takiego zabiegu jest oczywiście świeżość spojrzenia (co w przypadku laików jest mocnym atutem) i uniemożliwienie swojej spodziewanej kapitulacji przed wiedzą autorytetu :-)
Hipoteza H. Poincare'a jest wg mnie chyba dosyć dzisiaj oczywista - jeśli założymy, że świat nie jest wieczny, a wyłonił się z punktu i zaczął rozszerzać się sprawiedliwie we wszystkich kierunkach, to kształt kuli jest tym, co się narzuca. Z jednym zastrzeżeniem - wg mojej prywatnej skali rankingu geniuszy bardzo wysoko znajduje się Kepler ze swoją rezygnacją z przymusu wiary w doskonałą kulistość we wszechświecie. Więc zawsze trzeba zostawić sobie pewną możliwość błędu, to sprawia, że fiksacja na dotychczasowych osiągnięciach jest mniej przemożna.
Może jestem misiem o bardzo małym rozumku, ale nie kupuję trochę wizualizacji z rakietą i liną i coś mi w niej nie gra. Po pierwsze - czy rakieta wróci do punktu wyjścia, jeśli wiemy, że wszechświat stale się rozszerza (przesunięcie widma galaktyk ku czerwieni)? Po drugie, czy kula stale się rozszerzająca nadal wpisuje się po pierwsze w definicję bryły w ogóle, po drugie w definicję szczególnego kształtu - kuli? Dalej - bryłę coś ogranicza i jest to jej powierzchnia, czy można mówić o powierzchni wszechświata skoro ośrodek, z którym się styka na swojej granicy wszechświat wymyka się definicjom.
Jeśli chodzi o wykluczenie wszechświata w wariancie amerykańskiego donata z dziurką wydaje mi się być to przedwczesne - gdyby nasza rakieta z liną napotkała na swej drodze czarną dziurę, to według założeń szlag by trafił jej kulistą trajektorię i późniejszą linię prostą z naciągnięcia liny. Według prof. Marka Abramowicza geometria czarnej dziury jest tak osobliwa, jak ona sama. Profesor mówi (obrazując) o konieczności wpisania w część płaszczyzny dysku obszaru (powierzchni) o większej ilości wymiarów, o dowolnie dużej powierzchni... - ciekawe jak tam zachowałaby się nasza rakieta z przytroczoną liną - jaką zakreśliłaby drogę? Oczywiście nie mówiąc już o tym, że by nie powróciła do punktu wyjścia, więc w przypadku czarnych dziur, mogą one być dziurami w naszym amerykańskim donacie i zakłócać powrót rakiety - czyli otrzymanie informacji nawet nie tylko lokalnie, ale i na odległość - wpływając na nasze eksperymenty myślowe... |
|
|
u2
długoterminowego planu działania rozpisanego na dziesiątki lat i wizji wspólnego celu do osiągnięcia jak u Niemców i Ruskich
Bez przesady, gazowe uzależnienie się od Rosji Niemiec oraz likwidacja elektrowni atomowych to skrajna głupota, a wojna Rosji z Ukrainą to samobójstwo :-)
PS. W Polsce w końcu są pieniądze na wszystkie strategiczne i taktyczne cele. CPK, elektrownie atomowe, na wszystko jest kasa, pomimo plandemii i wojny. A przecież zgodnie z wizjami Mariana Węcławka jeszcze nas zaatakują pazerni Niemcy :-) |
|
|
Dark Regis
Nieważne, bo i tak nie zrobimy z tym nic, nawet gdyby był to już folwark jednego człowieka, bo trzeba też zrozumieć wiek mówiącego. Zwracam tylko uwagę na to, że aby oceniać innych samemu należy być w porządku, a PIS-owcy zdają się dziś zachowywać tak jak trolle PO przed przegraniem wyborów w 2015. Od polityków wymaga się, aby groźby kierowane w stosunku do całego państwa lub ważnego urzędu, nawet te w "prywatnych" rozmowach, znalazły się spisane na potrzeby przyszłej polityki i czegoś, czego Polska dotąd nie posiada z wiadomych (frakcyjnych) względów - długoterminowego planu działania rozpisanego na dziesiątki lat i wizji wspólnego celu do osiągnięcia jak u Niemców i Ruskich. Pogadać prywatnie to se polityk może po pracy, czyli jak nie dostanie się na następną kadencję do parlamentu. Każda inna rozmowa wpływająca na jego decyzje, nie daj Boże podejmowane jednoosobowo, to tak jak wizyta tuskoidów w ambasadzie Niemiec. |
|
|
sake2020
@Imć Waszeć....Nie słyszałam ani o likwidacji TVN ani o jej zaprzestaniu ,po prostu w telewizji oglądam tylko programy takie jak ,,katastrofy w przestworzach'' zgodnie z moimi zainteresowaniami technicznymi,czy Discovery sciente .Myślę jednak że argumenty pani Mosbacher faktycznie nie były polityczne a bardziej przyziemne -a takimi są pieniądze,pieniądze,pieniądze. |
|
|
Dark Regis
A słyszała Pani o czym zwierzył się Kaczyński? Że zrezygnował z likwidacji TVN-u po rozmowie z Mosbacher i przedstawione przez nią argumenty nie były w żaden sposób polityczne. No to już się palę do wysłuchania tych argumentów. Włoskie buty? Uprowadzenie na Elbę? A może "zrozumienie dla żydów i ich spraw", skoro Polakom nie umie się pomóc od siedmiu lat?
PS: Co by to było, gdyby jakiś dr Grodzki zgodził się przeprowadzić prywatną operację na koszt państwowego szpitala słuchając argumentów jakiejś wdowy, co? |
|
|
Dark Regis
Wygrał milion baksów (Medal Fieldsa) za udowodnienie hipotezy Poincare'ego czyli problem milenijny. Chcieli mu dać medal i kasę, a ten powiedział, że nie po to bada jak rządzić światem, żeby brać jakiś tam marny milion ;). Podobno przeprowadził wykład, odwrócił się na pięcie i wyszedł przed dekoracją. Co ciekawsze dokonał tego w zupełnej izolacji od mainstreamu, a więc od radosnego bractwa uniwersyteckiego. Z tego co ostatnio czytałem, to wyjechał do Szwecji gdzie miał chyba pracować dla jakiejś sieci komórkowej, czy innej firmy ale głowy nie dam. W Szwecji jest jego córka też matematyk. |
