|
|
Edeldreda z Ely
Postronni obserwatorzy, jeśli mają ciut oleum w głowie będą wiedzieli, że należy korzystać z rady, którą kiedyś jeden filozof dał drugiemu: "nie sądź, że wszystko, czego nie zrozumiesz jest głupstwem"... |
|
|
u2
Resztę załatwia mieszanie warstw wg drugiej (pod)grupy (automorfizm).
Fragment dotyczący q-bitów z książki J-P Aumassona pt. "Nowoczesna kryptografia" :
Rezultat jest taki, że różne kubity mogą zachowywać się podobnie dla obserwatora (z tym samym prawdopodobieństwem zobaczenia 0 dla obu kubitów), a mają różne amplitudy. To mówi nam, że rzeczywiste prawdopodobieństwa zobaczenia 0 lub 1 tylko częściowo charakteryzuje kubit. Podobnie jak podczas obserwacji cienia obiektu na ścianie, kształt cienia da nam pojęcie na temat szerokości i wysokości obiektu, ale nie jego głębokości. W przypadku kubitów ten ukryty wymiar jest wartością jego amplitudy: czy jest dodatni, czy ujemny? Czy jest to liczba rzeczywista, czy urojona?
PS. Postronni obserwatorzy uznają nas obu za ... wariatów :-) |
|
|
Dark Regis
Nie docenia Pan problemów jakie sprawiają niektóre, a w zasadzie prawie wszystkie "ładne definicje i opisy" obiektów matematycznych. One są ładne ale zazwyczaj niepraktyczne w użyciu. I ja się temu wcale nie dziwię, bo też na to przed laty chorowałem. Przykładowo weźmy na początek te biedne grupy:
1) Grupa Monster też ma tabelkę działania jak wszystkie grupy skończone, czyli opis za pomocą tych wspomnianych przez Pana permutacji (w wierszach i kolumnach tabelki). Ale proszę spróbować ją narysować ;) Nie koniecznie samemu, sąkomputery ;))
Tylko tyle będzie elementów w każdym wierszu i kolumnie: 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 ~ 8*10^{53}
2) Po tym ćwiczeniu wstępnym proszę zająć się liczeniem/rysowaniem tabelek działania w ciałach Galois. Też można zwalić to na komputer ;)
Przykładowo w zagadnieniu wydobywania Bitcoina stosuje się ciało GF(2^256), to jest nie tylko ciało skończone ale nawet przestrzeń wektorowa nad GF(2)={0,1}. Owo p w nazwie krzywej Koblitza oznacza liczbę pierwszą w zapisie szesnastkowym p = 0xFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFEFFFFFC2F = = 2^{256}-2^{32}-2^9-2^8-2^7-2^6-2^4-1. Pozostałe parametry krzywej są równie wesołe :) A potem obliczyć grupę punktów wymiernych tej krzywej. Jest to coś kompletnie innego niż pierwsze dwie grupy dla + i * w ciele GF(2^256).
Dodam, że ta krzywa jest źle wybrana i ma dziesiątki dziur. Dużo odporniejsza jest X25519 vel Ed25519.
3) Zadanie trzy będzie polegało na znalezieniu grupy Cremony (patrz Wiki). Skoro starczą tu tylko permutacje, to do dzieła :D
4) Na koniec coś bardziej swojskiego. Skoro biorąc pierwiastek wielomianu nierozkładalnego nad Z możemy sobie rozszerzać krokami pierścień liczb całkowitych Z o nowe liczby algebraiczne całkowite nad Z, a proces ten niechybnie na każdym prowadzi nas ku ciału ułamków tego pierścienia, czyli do jakiejś grupy ze względu na mnożenie (każda będzie inna), to proszę policzyć grupę klas ideałów Cl(R) dla każdego pierścienia na drodze tej konstrukcji. Wieści niosą, że każda grupa abelowa może zostać w ten deseń zrealizowana LOL. No to skoro mamy już grupy w małym paluszku.....
PS: Pierścień jest grupą abelową ze względu na + (dowolną), zaś ze względu na * będzie monoidem. Zera przy mnożeniu nie uwzględniamy (chociaż możemy, bo są "grupy z zerem" jako półgrupy). Wspomniane wyżej rozszerzenie do ciała ułamków mówi nam, że każdy taki monoid możemy rozszerzać do grupy, oczywiście grupa z + zmienia się przy tym, puchnie. Teraz uwaga: dla wybranej grupy z + można czasem znaleźć więcej niż jedno działanie * tworzące pierścień. No to będziemy mieli tu homomorfizmy pierścieni jako jednoczesne homomorfizmy grup i monoidów. Stąd wynika moja uwaga wyżej o produkcie półprostym (uogól. kartezjańskiego), bo to jest właśnie alternatywny opis homomorfizmu grup albo półgrup: w obu przypadkach jedna z grup, jako podgrupa produktu musi być normalna. Resztę załatwia mieszanie warstw wg drugiej (pod)grupy (automorfizm). |
|
|
u2
Droczę się
Cała przyjemność po mojej stronie :-) |
|
|
Edeldreda z Ely
Droczę się tylko 😉✌️ |
|
|
u2
On jest inżynierem nie od naprawy, ale od niepsucia i utrzymywania w funkcjonowaniu tego, co już hula
Źle to zrozumiałaś, droga Ely, nie jestem wielkim szpecem od projektowania, ale do naprawy systemów jak najbardziej się nadaję :-) |
|
|
u2
Kody oparte na zbiorach różnicowych i konfiguracjach raczej mają mało wspólnego z grupami.
No ja mam inne zdanie, na podstawie lektury książek nt. Enigmy, m.in. Jerzego Kozakiewicza "Tajemnica Enigmy".
Co do krzywych eliptycznych to ostatnio czytałem książkę J-P Aumassona na ten temat pt "Nowoczesna kryptografia". Świetna dla laików takich jak ja.
PS. Zanim zacząłem studia czytałem o całkach eliptycznych, na szczęście nie miałem ich na egzaminie z RR na PW :-) |
|
|
Edeldreda z Ely
Przepraszam, ale Kolega u2 już dawno mówił, że On jest inżynierem nie od naprawy, ale od niepsucia i utrzymywania w funkcjonowaniu tego, co już hula 😎 |
|
|
Dark Regis
Kody oparte na zbiorach różnicowych i konfiguracjach raczej mają mało wspólnego z grupami. Podobnie jak krzywe eliptyczne albo chociażby wspomniane algebry (w sensie np. algebry tensorowej). W każdym razie inżynier powinien wiedzieć, że zegarków to się młotkiem nie naprawia ;)
No ale od tego właśnie jestem tu ja i ja pilnuję porządku w miarę możliwości :)))) |
|
|
u2
Przed grupami jest jeszcze multum innych "prostszych" grupoidów (magma), np. półgrupy i monoidy (półgrupa z 1)
First things first.
Oczywiście wszystko co prawisz to prawda, ale aby rozszyfrować taką Enigmę wystarczy użyć teorię grup permutacji. Dla inżyniera nie ma prawdy absolutnej, jest zadanie stworzenia konkretnego urządzenia spełniającego określone wymagania :-)
PS. Maszyna Turinga to najprymitywniejszy komputer na świecie. Dlatego jest dzisiaj podstawą sztucznej inteligencji i nie tylko :-) |
|
|
Dark Regis
Wszystko się kiełbasi, kiedy nie liczymy dokładnie działań ;)
Algebra uniwersalna (A,S,Q) ma jeden zbiór/nośnik A, jedną sygnaturę, czyli symbole dla operacji (funkcji) i ewentualnie relacji, oraz zbiór równości Q.
Grupa jest taka właśnie algebrą (G,{*,-,1},Q), gdzie sygnatura S={*,-,1}, arności działań (2,1,0), równości z Q to łączność * i opis elementu odwrotnego oraz neutralnego 1. Przed grupami jest jeszcze multum innych "prostszych" grupoidów (magma), np. półgrupy i monoidy (półgrupa z 1) to temat poruszany w pierścieniach dla operacji mnożenia. Inne algebry (algebry w szerokim sensie;) mogą być oparte na loopach, quasigrupach, ...
1. Dzielniki zera odpowiadają dokładnie teorii dla półgrup lub monoidów. Kiedyś wspominałem, że rozumienie pojęcia produktu półprostego w grupach należy zaczynać od tegoż w półgrupach i od prac Reesa o rozkładzie.
2. Dzielniki zera nie są wszędzie. Większość teorii pierścieni wykłada się bez dzielników zera. Mówimy wtedy o dziedzinach całkowitości. Mówimy o dziedzinach Dedekinda, ogólniej dziedzinach Krulla,... W skrócie dla związków teorii pierścieni i geometrii algebraicznej dzielniki zera to jest patologia.
3. W pierścieniu R[X], gdzie R nie ma dzielników zera, też ich nie będzie. Weźmy za R pierścień liczb całkowitych Z. Tutaj mamy 3 klasy ideałów pierwszych: te z Z (dla każdej liczby pierwszej p), czyli główne pZ, dla wielomianów w(X) nierozkładalnych (popatrzmy też na dzielenie przez wielomian postaci aX+b), albo ideały o dwóch generatorach (p,f(X)), gdzie f(X) jest nierozkładalny i nierozkładalny po redukcji modulo p (redukcji współczynników). Dla pierścieni wielomianów wyższych rzędów mamy już rekurencję R{X,Y]=R[X][Y], R[X,Y,Z]=R[X,Y][Z],... Stąd struktura ideałów pierwszych z każdym krokiem tej konstrukcji staje się o 1 głębsza (o jeden generator więcej). W pierścieniach Krulla (bo to jest to właśnie) jest pojęcie wysokości ideału, albo wymiaru Krulla (najdłuższy taki łańcuch): dla R=A[X,Y,Z] dimR = dimA + 3, po 1 dla każdej zmiennej.
4. Wracamy do Z[X], ideał (p,f(X)) to jest po prostu redukcja współczynników modulo p i operacje na resztach z dzielenia przez zredukowany modulo p wielomian nierozkładalny f(X). Tak więc ciała Galois to są właśnie Z[X]/(p,f(X)), dla odpowiednich f(X), bo wymiar Krulla jest tu 2, czyli (p,f(X)) jest nie tylko pierwszy, ale też maksymalny, zaś pierścień przez wielomian maksymalny daje ciało. KaPeWu? :D
5. Odpowiednikiem przestrzeni wektorowych dla pierścieni są moduły. Bez pojęcia iloczynu tensorowego modułów nie wchodzi w grę konstrukcja grupy klas ideałów (albo grupy Picarda; moduły odwracalne, alternatywnie dywizory, które zmniejszają liczbę tych pierwszych w konstrukcji ilorazowej) w klasie ogólniejszej niż dziedziny Dedekinda (ideały odwracalne). |
|
|
u2
Podstawą dla algebr są przeważnie pierścienie, czyli albo ciała, albo dziedziny, albo coś skoszonego jak kwaterniony
Ale, ale, przed pierścieniami są jeszcze np. grupy. Są jeszcze prymitywniejsze algebry. I wszędzie występują dzielniki zera :-)
|
|
|
Dark Regis
Podstawą dla algebr są przeważnie pierścienie, czyli albo ciała, albo dziedziny, albo coś skoszonego jak kwaterniony, reszta to albo półpierścienie i takie tam "osłabienia", albo jakieś pierścienie w kratach (zob. alg. Stone'a). Tu nie ma nic mitycznego. Dwa działania + i *, 0 i łączność + i rozdzielność, za to reszta opcjonalna. Do tego rdzenia dodajemy inne działania i nośniki tworząc algebry, takie jak w analizie funkcjonalnej czy zewnętrzne, Cayleya, Jordana, Liego albo tensorowe.... |
|
|
u2
Dzielniki zera są to elementy pierścienia
No nie. Arcymistrz brydżowy Julian Klukowski nauczał na wykładach z Al-gebry, że dzielniki zera występują w różnych algebrach. Podawał przykłady. Niekoniecznie to muszą być pierścienie :-)
https://pl.wikipedia.org… |
|
|
Dark Regis
No nie. Tylko sobie zrobię wolne, a tu już pojawia się dezinformacja ;)
Dzielniki zera są to elementy pierścienia R (zbiór z działaniem dodawania, mnożenia, 1, 0; który stanowi grupę ze względu na + i 0, jest łączny i z 1 dla *, z własnością rozdzielności mnożenia względem dodawania), spełniające warunek: a, b z R różne od zera, ale ab=0. Wystarczy wziąć pierścień reszt z dzielenia przez m, Z/mZ, gdzie m jest liczba złożoną; tu dzielnikami zera są....skonkretyzujmy R={0,1,2,3,4,5}, m=6, 2*3=0, 3*4=0.... czyli 2,3,4. Dzielniki zera tworzą ideały w pierścieniach (wystarczy takie x przemnożyć przez dowolny element z R i widać, że wyjdzie też 0 dla pewnego elementu y zerującego z definicji x), a ponieważ ciało nie ma ideałów różnych od {0} (jest przykładem algebry z dzieleniem), to dalsze awanse w kierunku analizy rzeczywistej lub zespolonej nie mają już sensu. Pierścienie to także tzw. algebry, czyli (hehe ta wieloznaczność też mnie dobija;) algebry o wielu nośnikach (zbiorach elementów i operacji).... skonkretyzujmy: np. przestrzeń wektorowa V (pierwszy zbiór/nośnik) nad ciałem R (drugi zbiór) z dodatkowym działaniem nawias Liego na elementach V. W skrócie: to wyżej nie jest owych "dzieleniem przez zero".
Zdaję sobie sprawę, że wyjaśnienie kapie jak deszcz po parasolu, ale wyrazić to trzeba. Oczywiście warto w tym przypadku zastanowić się nad tym: jakie jest ciało ułamków, a także ciało algebraicznie zamknięte dla ciała Galois z p elementami, gdzie p liczba pierwsza. Konkretyzując: Tabliczka mnożenia w GF(4) jest oparta na wielomianie nierozkładalnym o współczynnikach {0,1} z ciała GF(2), P(x)=x^2+x+1, czyli działamy na resztach z dzielenia przez ten wielomian GF(4)=GF(2)[x]/P(x). Mamy więc zbiór {0,1,a,a+1}, gdzie a jest pierwiastkiem ale nie należącym do GF(2) (taka niewymierność). Więcej tu:
https://en.wikipedia.org… |
|
|
Jabe
Nie to oznacza słowo „liberalizm”. |
|
|
spike
"Pozbawiać ludzi ich cech chcą tacy jak ty i ich rządy. Którzy tylko marzą by wszystkich zapoziomować na jedno kopyto za pomocą systemu ram prawnych. Który przekształci ludzi na ich modłę..."
-przecież to są brednie, marzy ci się zmienić ludzkość, która kształtowała się setki tys. lat, system wartości i zasad został ten sam, zmieniło się środowisko i warunki w jakich żyjemy, twoje gadanie przypomina ideologię homodewiantów, ten sam sposób, chcą osiągnąć to, od czego ludzie uciekają, bo prowadzi do destrukcji społecznej i cywilizacji.
Ideologia anarchistyczna czy liberalna jest aspołeczna, niehumanitarna, tego nie widzisz, jak każdy fanatyk, jednego tu już mamy hiper-liberała :))))
Czy jesteś już tak ślepy, że nie widzisz przyczyny wszelkiego zła, skutkiem są wojny i nie tylko?
Owsik jest ideologiem liberalizmu "róbta co chceta", a znakiem rozpoznawczym kozioł, symbol Szatana, z głupoty go propaguje, czy świadomie ?
Anarchia i liberalizm nie są zgodne z naturą człowieka, nigdy nie będzie dominować. |
