|
|
u2
Kiedys w PRL wydano książkę "Elementy Teorii Galois" autorstwa Macieja Bryńskiego. Nie jest to akademicki podręcznik tylko książka popularnonaukowa, więc każdy może się z nią zmierzyć.
Ja zapamiętałem, że każdemu równaniu można przyporządkować pewną grupę, właśnie tych automorfizmów, Jeśli grupa jest rozwiązalna to odpowiadające jej równanie również jest rozwiązalne, np. w ciele liczb rzeczywistych.
Na przykład każda grupa przemienna jest rozwiązalna, więc teoretycznie to ułatwia badanie rozwiązalności równania.
Ale diabeł tkwi w szczegółach i nie pamiętam jak taką grupę wygenerować, nawet dla prostych równań drugiego, trzeciego stopnia.
Norweg Niels Henrik Abel dowiódł nierozwiązywalności równań stopnia większego niż cztery przez tzw. pierwiastniki, czyli elementy ciała liczb rzeczywistych, ale nie korzystał z teorii Galois. Oczywiście w szczególnych przypadkach równania stopnia większego niż 4 są rozwiązywalne :-) |
|
|
u2
Cieklawa jest również numerologia oparta na alfabecie angielskim (26=13+13 literek) :
123456789
abcdefghi
jklmnopqr
stuvwxyz
Warto zwrócić uwagę, że znak diabła wypada na literki f, o, x, czyli lis po polsku.
Przypadek ? Nie sądzę. |
|
|
Władysław Ludendorf
czy ma Pan dobre wprowadzenie do teorii grup? Wiele razy próbowałem się przez nią przebić, żeby zrozumieć jak ten niesamowity Galois wyciągnął swój wniosek znajdując izomorfizm między ciałami automorfizmów a grupami permutacji i jakoś nie mogę. Plus tych moich prób jest taki, że załapałem, że teoria kategorii powstała z teorii grup (a przynajmniej wiele pojęć z niej zapożyczyła). |
|
|
Dark Regis
To dobra wiadomość, bo właśnie przestaję lubić Googla. A co do sparowania i niejednoznaczności rozkładu... Po prostu w tych pierścieniach mamy "class number" = 2, czyli dwa różne sposoby rozkładu liczb. Widać to najlepiej na podanych dwóch przykładach, ale ja podrzucę więcej dla zaspokojenia ciekawości. Systemy nazywam tak "B-4-N" i "B-4-nN" dla -N.
B-4-2: system kompletnie zdegenerowany choć tworzy tzw. fractal Rauzy'ego i dlatego jest na swój sposób ciekawy. Nie będę go tu opisywał, bo to nie jest system pozycyjny lecz beta-expansion. Jest tu coś takiego sqrt[3]{17+3sqrt{33}}, a B0=0.54369... Czy da się tu coś liczyć? Z trudnością, ale tak. Posługuję się w tym celu nie rozwinięciem na ciąg cyfr, ale czymś co można nazwać pseudocyframi. Jest on związany z tzw. wielomianem generującym dla liczb Tribonacciego (i zagadnieniem Tribonacci substitution): https://en.wikipedia.org…
B-4-4: System trójkowy, dwa nie jest pierwsze [2/121] = -[11/112]*[11/112] ale rozkłada się na kwadrat liczby samosparowanej [11/112] = B+1 ; Sp. -B-1 = [112\11]. Jedenastka pełni tutaj taka rolę jak dwójka, a w zasadzie jej ideał. Czyli jeśli znamy cechę podzielności przez [11], to cecha podzielności przez 2 jest jej podwójnym użyciem. Nie ma 3, jest [10/1220] = B ; Sp. -B-2 = [111\12]. Gdy zsumuję cyfry parzyste i nieparzyste, odejmę te sumy otrzymam 1. To są typowe cechy podzielności jak w zwykłych systemach na podstawie rozkładu repunitów. Ale można znaleźć i inne.
B-4-15: Mój ulubiony system siódemkowy z pierwiastkiem z -19. Jednoznaczność rozkładu (l. Heegnera). Piątka nie jest pierwsza [5/132] = -[11/126]*[12/125], a czynniki są wzajemnie sparowane [12/125] = B+2 ; Sp. -B-1 = [126\11]. Cechy podzielności kiedyś tu podawałem (u jazgdyni).
B-4-40: System 13-stkowy, niejednoznaczność. Widać po 9 i 10 co się dzieje: [9/144] = [3/14A]*[3/14A] = -[12/13B]*[12/13B], [A/143] = [2/14B]*[5/148] = -[11/13C]*[13/13A]. [12] jest samosparowana, zaś [11] z [13]. Można uznać, że zwykłe liczby całkowite też są samosparowane i dostaniemy prostą odpowiedź na pytanie, co powoduje niejednoznaczność rozkładu. Na pewno nie jest to jakiś mityczny myk, jak próbują to pokazywać podręczniki do algebry z teorią pierścieni. Jednym słowem mogę przewidywać jak wyglądają wszystkie te rozdwojenia. Wynika to wprost z kształtu fraktala i tego w które liczby całkowite trafią iloczyny postaci (aB+b)(cB+d), ale a,b,c,d < 13. Np. czym jest [121], [144] albo [169]? Okazuje się, że "tym samym" co zawsze [11]^2, [12]^2 i [13]^2. Ale [11]=B+1 a nie 10+1. Zachodzi tu właśnie taki dziwny rodzaj mimikry. Jest jeden problem. Dla znalezienia liczb pierwszych należy mieć na uwadze, że pomnożenie bardzo długich liczb (czyli normalnie "dużych") może dać krótką liczbę. Ale te sytuacje są związane z postacią przeniesienia +[1390] lub pożyczki +[14C] w tym systemie. |
|
|
Dark Regis
Nie zmieściły się dwa fragmenty:
1. Jak się liczy sparowanie? Można to wyliczyć przedstawiając bazę sprzężoną w wybranej bazie. Dla B-4-15 wzór jest taki B'=-B-3, czyli aB+b Sp. -aB-3a+b. W innych podobnie, B-4-40 to B'=-B-4, widać tu wyraźnie zależność liniową od bazy B0. Co ciekawsze w systemie takim jak B-4-40 mogę wyrazić i (jednostka urojona) i=-(B+2)/3, co dla liczb wyrzucających z siebie w rozkładzie trójkę dają dodatkowe rozkłady. Wtedy też można otrzymać jakąś nową postać dla rozkładów alternatywnych (nierównoważnych).
2. Przykład zastosowania reguły podzielności w B-4-15. Jedenaście jedynek J(11)=2983B-7251 = [146]*[(388B+4535)], tą drugą liczbę trzeba jeszcze jakoś wyrazić cyframi ale to szczegół. jest podzielna przez B-1 na mocy reguły podzielności, która brzmi (całe rozumowanie oparte na obserwacji):
Cecha podzielności przez B-1 (dokładniej podzielność przez [146/1361]): Widać dla początkowych przykładów, że ostatnie dwie cyfry są wymienne (dwie kolejne chyba też). Czy kryterium to: suma cyfr jest podzielna przez 11? Jeśli liczba [ab..c] jest podzielna przez [146], to liczba z dowolnie spermutowanymi cyframi też??? W systemie dziesiątkowym taką cechę podzielności ma dziewiątka i jej dzielnik 3, a tutaj dziewiątką jest liczba B-1=[146/1361]. Przykłady [56], [65], [146/1361], [155], [164], [236], [245], [254], [263], [326], [335], [353], [362], [416], [434], [443], [452], [515], [524], [533], [542], [560], [632], [650], [1136],...
Dowód: 2983B-7251=(B-1)(aB+b)=(b-4a)B+(-7a-b), stąd b-4a=2983, 7a+b=7251, więc b=4a+2983, oraz 7a+4a+2983=7251, 11a=4268=11*388. Zatem a=388, b=4*388+2983=4535.
Już to mówiłem - mimikra. No i po ptokach ;)))) |
|
|
Dark Regis
PS: Oto przykładowe zadanko z tego zbioru zdań z teorii grup:
Grupa G jest generowana przez elementy x,y spełniające następujące warunki: y^m=1, x·y=y·x^k, gdzie m,k są pewnymi liczbami naturalnymi. Udowodnić, że:
a) Dla każdej liczby naturalnej j zachodzą następujące równości: x^{j}·y=y·x^{kj}, x^{-j}·y=y·x^{-kj}, x·y^j=y^j·x^{k^j}
b) Każdy element grupy G można przedstawić w postaci y^r·x^s, 0<=r< m, s całkowite.
c) Jeżeli k>0, to istnieje taka liczba naturalna n będąca dzielnikiem liczby k^m-1, że x^n=1. Wyciągnąć stąd wniosek, że w tym przypadku grupa G jest skończona i jej rząd jest <= m·n.
A tak na marginesie, wie Pan co to są za liczby będące dzielnikami k^m-1? Piszę tu na forum partyzancko o tym już od jakiegoś czasu ;)
Mamy rozkład tak jak dla wielomianów: k^m-1=(k-1)·(k^{m-1}+k^{m-2}+...+k+1), z tym że chodzi tu o liczbę zapisaną w systemie pozycyjnym z k cyframi. Pierwszy nawias (k-1) ja nazywam czasem "dziewiątką" tego systemu (bo k nazwalibyśmy tu "dziesiątką"), największa cyfra. Zaś drugi nawias ma w tym systemie zapis składający się z m jedynek [1...1]. Jeżeli liczba m jest złożona, np. m=p·r, to możemy ją rozłożyć na iloczyn dwóch liczb postaci [1..1] z p i r jedynkami odpowiednio oraz na pewien "rower" zbudowany z ciągu poprzeplatanych bloków "dziewiątek" (k-1) i zer i cyfry 1 na końcu. Np. dla p=2, k=10 będzie to coś takiego 9090...9091, a dla p=3 różnie, ale niektóre będą takie 900900...990991, a w innych pojawi się w środku dodatkowa 90. Dlaczego? Żeby to zobaczyć, trzeba trochę policzyć na wielomianach, ale generalnie chodzi o to, że ciąg j dziewiątek odpowiada dla wielomianu parze ...+x^{k+j}-x^k+... Dopiero gdy zgodzimy się na używanie w naszym systemie pozycyjnym także cyfr ujemnych -1, -2, ..., 1-k, zauważymy taki symetryczny wzorzec 1A1A...A1 dla p=2 i 1A01A0...10A10A1 dla p=3, taki palindrom, gdzie oznaczam A=-1. To są liczby cyklotomiczne. W zasadzie ich rozkłady to jedyny problem, żeby bezkarnie tłuc klucze RSA ;)
Jeżeli ktoś używa liczb pierwszych w szyfrach, to w zasadzie są one wypisane na tym portalu: https://stdkmd.net/nrr/r…
Dla R(300000) mającej 300 tys. jedynek w zapisie, widzimy np. takie coś 10000099999999989999899999000000000100001. To też jest liczba cyklotomiczna i do tego pierwsza, ale tutaj mamy jeszcze cyfrę 8, czyli musielibyśmy to zsymetryzować z użyciem cyfry B=-2. Proszę popróbować :) Większe egzemplarze są tu [1000000000...<5001>], [1000000000...<16001>], z tym że autor nie podaje ich postaci jawnej, której możemy się łatwo domyślić, ani nie zna ich rozkładu.
To na razie tyle w kwestii przydatności algebry w życiu. |
|
|
Anonymous
@Imć Też ciekawy życiorys :-) |
|
|
Dark Regis
Arytmetyka to już jest coś, co pozwala cały rachunek w pierścieniu zautomatyzować, czyli zautomatyzować też poszukiwanie liczb pierwszych w nich zawartych (są trochę inne niż zwykłe). Np. dla n=2 (z V(-19)), system siódemkowy, piątka jest złożona: [5/132] = -[11/126]*[12/125] = 5. Ten dziwny zapis mówi trzy rzeczy: podaje wersję "dodatnią" i "ujemną" liczby [aB+b/-aB-b] w zależności od tego który z zapisów jest krótszy, minus to mnożenie przez [136\1]=-1, bo sam znak - w tym systemie nie jest potrzebny, kreska / albo \ dodatkowo pokazują, czy chodzi w danym momencie o "dodatnią" czy "ujemną" wersję liczby, krótszą czy dłuższą. Wreszcie dla liczb różnych od zwykłych liczb całkowitych (bez części z aB) podaję też liczbę z nią sparowaną, która ma identyczny rozkład na czynniki, ale też sparowane z pierwszymi. Tak wygląda typowa pozycja w mojej tabeli rozkładów: [62/1445] = [2/135]*[12/125]*[14/123] = 6B+2 ; Sp. -6B-16 = [335/13502] = [2/135]*[11/126]*[146/1361] . Teraz trochę o arytmetyce. Aby dla liczby [c..d] obliczyć jej ujemną/dodatnią czyli drugą wersję, muszę odjąć tę liczbę od "kombinacji zer". Zero to [0/137] = 0 , cyfry 7 tu nie ma ale zaraz wyjaśnię o co chodzi w technice "dużych cyfr". Tak więc dla obliczenia -[412] buduję z zer [137\0] taką np. "maskę": [1370]+[137]=[14A7] i odejmuję od tego bez problemu [14A7]-[412]=[1095], dużymi cyframi się nie martwię, ponieważ przy zwyczajnym obliczaniu przeniesienia przy dodawaniu otrzymam nieskończone obliczenie, gdzie w kolejnych krokach takie ...=[1370c..d]=... będzie uciekało do nieskończoności. jest lepsza metoda, czyli odejmowania każdego zauważonego [...137...] np. w [659]=[522] i już. Jeżeli już muszę coś przenieść albo pożyczyć, to przeniesienie = dodanie [1240] na danej pozycji, zaś pożyczka to oczywiście dodanie -1=[136] na danej pozycji. Mnożenie wykonuje się w słupku, dzielenie w zasadzie tez, są ułamki okresowe (liczby "wymierne"), ułamki "dziesiętne", pierwiastki i potęgi. W innych takich systemach, też z niejednoznacznością, jest podobnie. Reasumując mam rachunek, który można wykonać gdy np. szukam znaną metodą zer wielomianu 3-go stopnia. Wtedy najpierw przechodzę do rozszerzenia ciała o element stopnia 2, a potem 3. Tzn. wielomian pośredni ma wsp. niewymierne. I to by było w zasadzie na tyle, gdyby nie to, że ten rodzaj arytmetyki znacznie poszerza bazę metod dla poszukiwaniu punktów "wymiernych" dla różnych rodzin krzywych eliptycznych (i hipereliptycznych) i nie są to wcale ciała skończone, a nawet nie ciała tylko specyficzne moduły. Mam nawet metody na sprawdzanie cech podzielności, czyli szybką faktoryzację, albo alternatywny opis ideałów w tych pierścieniach. W przypadku systemów dla pierścieni z niejednoznacznością rozkładu, ideały mogą być generowane przez 2 elementy: dla n=3, N=40, sys. 13-nastkowy, mam np. [2C/121] = [2/14B]*[16/137] = [11/13C]*[11/13C] = 2B+12 ; Sp. -2B+4 = [ ? \169] = -[2/14B]*[15B/ ? ] = -[13/13A]*[13/13A] . Sparowanie wyjaśnia niejednoznaczność. |
|
|
Dark Regis
U Narkiewicza tego nie ma, zapewniam. :) To jeszcze nie był ten etap w matematyce i teorii liczb. Za to podobne liczby znajdą się w:
1. geometrii albo raczej w kombinatoryce, jako rozmiary pewnych konfiguracji (albo geometrii skończonych, zob. "quasi-3 design"): https://en.wikipedia.org…
2. teorii liczb, co jest oczywiste
3. algebrze, też oczywiste, bo pierścienie wielomianów
4. geometrii algebraicznej i przy badaniu krzywych eliptycznych nad ciałami skończonymi (liczba punktów wymiernych krzywej)
5. wielu innych miejscach, których teraz nie potrafią wymienić.
Może skupię się na tym, co już pokazałem wyżej. Otóż oprócz systemów pozycyjnych takich jak dwójkowy, szesnastkowy, można tworzyć systemy z ujemnymi bazami. Dokładnie tak jak pokazują to wielomiany np. x^4-x^3+x^2-x+1 (+.- na zmianę). W tych rozkładach z p=2 mamy taki myk, że R(B;2*m)=R(B;2)*R(B;m)*R(-B;m), dla dowolnej bazy całkowitej B. W języku wielomianów cyklotomicznych brzmi to tak, że F(2m)=F(-m), dla m-3,5,... nieparzystych. Dla parzystych musimy najpierw "wyciągnąć wszystkie 2", co daje R(B;2^n)=R(B;2)*R(B^2;2)*R(B^4;2)*...*R(B^n;2), czyli po prostu [11111111]=[11]*[101]*[100001].
https://en.wikipedia.org…
A zatem wielomianami cyklotomicznymi z indeksem 2*p dla p pierwszych > 2, będą dokładnie ciągi jedynek nieparzystej długości w bazie ujemnej -B. Ale to jest nic. Można podobne systemy pozycyjne zdefiniować dla liczb algebraicznych kwadratowych (pierwiastków równania kwadratowego z całkowitymi współczynnikami), z tym że dla liczb zespolonych sprzężonych (delta ujemna) nie ma żadnych różnic w rozkładach na czynniki nierozkładalne lub pierwsze (choć opisują różne liczby niewymierne), a wręcz jeden system jest zanurzony w drugim (w sprzężonym). Dla x^3+x^2+x+1=n^3+n^2+n+1=:N wygląda to tak:
Pierwszy pierwiastek, to całkowita baza B0=n. Wielomian kwadratowy x^2+(n+1)x+(n+1)(n^2+1)=0. Delta=(n+1)^2-i*sqrt(w(n)) ujemna gdzie w(n)=3n^2+2n+3. Stąd dwa pierwiastki zespolone sprzężone. Teraz wyliczanka (V to pierwiastek):
...n=-3, N=-20, B=(2-iV(24))/2; n=-2, N=-5, B=(1-iV(11))/2; n=-1, N=0, B=(0-iV(4))/2; n=1, N=4, B=(-1-iV(8))/2; n=2, N=15, B=(-2-iV(19))/2; n=3, N=40, B=(-3-iV(36))/2,... można poskracać trochę te pierwiastki.
Teraz dla n=2 dostajemy system pozycyjny dla pierścienia z jednoznacznością rozkładu Z[V(-19)], dla n=1,3 brak jednoznaczności rozkładu w pierścieniach Z[V(-2)], Z[i], ale dla n=4 jednoznaczność, bo są to liczby Heegnera (tak je nazwał Conway). Co ciekawsze systemy z dodatnim n opisują liczby całkowite [c...d] dodatnie ujemne i zespolone w danym rozszerzeniu pierścienia Z rozłożone na kracie liczb aB+b przedstawionych względem bazy w kolejności niczym fraktal, zaś dla ujemnego n analogicznie, z tym że system działa jak system z bazą całkowitą ujemną. W tych pierścieniach pomimo braku jednoznaczności rozkładu można zdefiniować arytmetykę. |
|
|
u2
"Sparowanie wyjaśnia niejednoznaczność."
Ja jestem przyzwyczajony do akademickich wykładów, gdzie wykładowca wykłada kawę na ławę o co mu chodzi.
Poniżej kolejny przykład, że Polak potrafi i ma to ogromne zastosowanie praktyczne :
https://naukawpolsce.pap… |
|
|
Dark Regis
Smutna konstatacja ale prawdziwa. Tak, my już tworzymy nasze państwo obok państwa, bo to drugie państwo należy do kogoś innego. PIS jeszcze się łudzi to się "jakoś" albo "samo" wszystko zmieni, lecz ja osobiście w to nie wierzę. Będzie coraz gorzej, a potomkowie wpływowych komuchów, będą coraz bardziej wpływowymi postkomuchami. Tak jak w XVII w. magnateria. post-Czerwona magnateria zawsze będzie nas miała w du... niezależnie od liczby okazanych im aktów miłości bliźniego. Tą droga nigdzie nie dojdziemy, bo każdy krok będzie musiał uwzględniać ich zwierzchnictwo i dominację, czyli ich punkt widzenia. A ich punkt widzenia, to my z twarzą w błocie i wypiętym słodko tyłkiem. Dlatego twierdzę, że PIS traci celowo czas. |
|
|
Jan1797
Jeden z drugim ambitnym zakuwał, później ucząc, pchał studentów po dobre wyniki
czy ich indywidualne sukcesy w wykonywanym zawodzie. Większość szacownego
grona jednak oczekiwała gwarancji ZNP, karty nauczyciela, czy wsparcia układziku
by wsiąść pensyjkę na zasadzie po równo-niezależnie od zaangażowania, dokonań
czy wyników. Kto by tam myślał o nagradzaniu za dobre wyniki studentów czy ich
indywidualne sukcesy stąd piana na widok prof. Czarnka. Uświadomiłeś mi jednak
a być może błędne wnioski wyciągam z danych gospodarczych, że „zachód” dzisiaj
funkcjonuje jak w naszej rzeczywistości lat 90 ubiegłego wieku. Pozostawiono nas
samym sobie, bez pracy, dochodów i jeżeli coś tam w życiu zobaczyliśmy gdzieś
tam przebywaliśmy, to zawdzięczamy samym sobie i III RP, bo z nas zrezygnowała:-) |
|
|
Dark Regis
Może jeszcze raz wytłumaczę o co mi chodzi, bo najwyraźniej nastąpiło tu nieporozumienie co do tego, jak powinno się wyławiać w Polsce talenty matematyczne (vide Conway i Davenport). U nas wciąż pokutuje model sowiecki, jak w ruskim tanku trzeba młodego człowieka zgnoić i wykazać, że nic nie potrafi, a jak się nie da wbić w błoto, to może iść dalej. To jest podejście kapo w obozie dla zesłanych. Dlatego nie szanuję takich ludzi, choćby udawało im się w pamięci rozkładać grupy z milionami elementów. Nie szanuję tego sowieckiego modelu uprawiania matematyki i nikt już mnie do niego nie przekona. Czy uważa Pan, że ów wykładowca algebry z UW w jakikolwiek sposób, poza bezzasadnymi niewypowiedzianymi groźbami wykopania ze studiów z niezaliczonym przedmiotem głównym, powtarzam jakkolwiek przyczynił się do tego, co ja dziś wiem o szeroko rozumianej algebrze? Nie. Dlatego on dalej mnie nie zna, a ja nie znam jego i w sumie jest mi z tym dobrze. Został przerwany systemowo związek "mistrz i uczeń", który jest głównym motywem kształcenia w Cambridge. Mistrz i uczeń, a nie domina i cwel, jak często prezentują się w matematyce kobiety, w tym pewna pani prof. Kasia z PW ;). W moim konkretnym przypadku można zasadnie powiedzieć, że wykład z algebry (algebra abstrakcyjna, grupoidy, teoria grup, pierścieni, ciał, algebr nad p.w., algebra liniowa i teoria modułów) napisałem i wygłosiłem sobie sam. Nawet egzamin zdałem przed samym sobą, a ten gość jedynie przyklepał to wszystko i wpisał ocenę do indeksu. Przecież nie przyszedłbym do niego po wpis w sytuacji, gdybym miał jakiekolwiek wątpliwości, czy materiał rozumiem lub czy te zadania roztrzaskałem poprawnie, prawda? Zatem przyszedłem do niego już PO egzaminie, który musiałem zdać przed samym sobą. Taki to paradoks. Później przed pójściem do firmy miałem jeszcze epizod z jednym świetnym algebraikiem, u którego miałem pisać magisterkę z grupoidów. On też, oprócz wręczenia mi jednego ksera, w żaden sposób nie powiększył mojej wiedzy w tym temacie. Gdy patrzę teraz po latach na Conwaya i tych żarliwych wyznawców, którzy jego i innych profesorów otaczają w takim Cambridge, to widzę jak bardzo polski system edukacji, a matematyka w szczególności, zeświniły się przez cały okres PRL. Nie ma za bardzo co sięgać do czasów II RP i Szkoły Lwowsko-Warszawskiej, bo to są pojęcia zupełnie do siebie nieprzystające. Nauka polska jest wciąż opanowana przez komunistów i robią oni to, co potrafią robić najlepiej. Nic nie poradzę, ale takie są moje poglądy. Ich trzeba gremialnie ignorować, a przepuszczać przez sito tylko porządnych ludzi, którzy obok wiedzy mają jeszcze wystarczającą kulturę. Chodzi mi o kulturę matematyczną i zdolności dydaktyczne, a nie o noszenie surduta z muszką za 8 koła.
Jeżeli więc ktoś bez stosowania wymyślnych tortur i walki szczurów nie potrafi wyławiać talentów matematycznych, to nie powinien być wykładowcą na uczelni. Tylko taka postawa pozwoli nam dotrzeć tam, gdzie jest Cambridge. |
|
|
u2
"A tak na marginesie, wie Pan co to są za liczby będące dzielnikami k^m-1?"
Mam w swojej bibliotece "Teorię liczb" Władysława Narkiewicza, ale jej jeszcze nie przestudiowałem. W życiu jak nie jest się matematykiem też można dobrze żyć. Mnie zdziwiło, że po rozpadzie PRL, w 3RP przez wiele lat nie było matematyki na maturze. Teraz jest płacz i zgrzytanie zębów. Podstawy matematyki przydają się każdemu w życiu, nie tylko liczenie pieniędzy, ale również logika czy statystyka. Nie piszę o informatyce, bo cytując klasyka to "oczywista oczywistość". |
|
|
Dark Regis
Ciekawe, ale nie jest to coś zupełnie nowego. Zapewne chodzi o geometrie hiperboliczne, bo to na nich zasadzają się te algorytmy sieciowe. Natomiast "informatyka to nowa fizyka. To, co nas otacza, to nie tylko cząsteczki, ale coraz częściej - również algorytmy. Naszym zadaniem jako matematyków będzie więc i to, by zrozumieć algorytmy, pokazywać, dlaczego one działają albo nie; dlaczego są szybkie lub wolne" - czy ja tego przypadkiem już nie mówiłem? Wieszczę od dawna pojawienie się nowej dziedziny nauki, którą można nazwać matematyko-fizyko-informatyką. Problem w tym, że można to połączenie zrealizować tylko wtedy, gdy matematyka pozbędzie się złudzeń co do klasycznych aksjomatycznych podstaw, a aksjomat wyboru zostanie oficjalnie zbanowany (coś co w Polsce jest niemożliwe z powodu doktoratów, bo nawet w cegle o topologii Engelking nie raczy zaznaczać faktu korzystania z niego i od lat takich wydaje się na świat doktorów). Matematyka wtedy stanie się czymś, co można fachowo nazwać teoriami geometrycznymi, algebraicznymi lub topologicznymi w toposach. Będzie ich niestety bardzo dużo - dla każdego coś miłego. Nie chcę się powtarzać, ale warto rzucić okiem na języki programowania funkcyjnego albo funkcjonalnego jak Haskel, Ruby albo Clojure, gdzie już teraz dyskutuje się o kategoriach, funktorach, monadach, transformacjach naturalnych, czy lemacie Yonedy. Co do fizyki lub raczej fizyki matematycznej, to kierunek badań dotyczy algebry i geometrii nieprzemiennej (niektórzy mówią bezpunktowej - "punkty" "przestrzeni" to albo ideały pierwsze pierścienia funkcji na "przestrzeni" i każdy pierścień można tam wcisnąć nie tylko "strzałki", czyli lokalne; albo waluacje dyskretne dla norm w ciałach), a nawet niełącznej (oktoniony), a także matematyki na fraktalach na podobieństwo matematyki na krzywych. Jednym słowem dzieje się. |
|
|
u2
"Co do klatek Jordana to jest to sprawa raczej trywialna."
Metodę znałem z książki Mostowskiego, Starka pt. "Algebra liniowa". Liczenie rozbija się o obliczenie macierzy odwrotnej. A że dr Klukowski szybko liczył w pamięci, dlatego był dobry w brydża. Ale to nie temat na naszblogi.pl |
|
|
u2
"Nie lubię takich ludzi (sadystów)."
Reguły były jasne, kto się załapie na pierwszy rząd nie dostanie punktu ujemnego. Ćwiczenia dr Godowskiego nie miały za wiele wspólnego z wykładami dr Klukowskiego, który wykładał algebrę liniową zwykle bez pomocy notatek, z głowy. Nie był to więc sadyzm, tylko walka o punkty. Tak jak w życiu.
Polacy są nieźli w algebrze od czasów IIRP, a nawet wcześniej. Poniżej artykuł o najnowszym polskim osiągnięciu w geometrycznej teorii grup. Nie zacytuję nawet fragmentu, bo na naszych i nie naszych blogach pisują zwykle humaniści i dla nich to zwykłe śmieci :
https://naukawpolsce.pap… |
|
|
Dark Regis
W wielkim skrócie: chodzi o jednoparametrowe grupy przekształceń, grupa przesuwająca przestrzeń wzdłuż rozwiązania. Jeśli nie da się znaleźć jednoparametrowej grupy, to trzeba się kopać z grupami 2 i więcej parametrowymi. Wtedy rozwiązania są nie tyle przesuwane, co rozciąganie, zgniatane i obracane. Zgodnie z jakąś macierzą zależną od punktu o współrzędnych x,y,... W najprostszych przypadkach uczonych w szkole to są jakieś sumy proste dające się łatwo sprowadzać do obiektów jednowymiarowych. W przypadku ogólnym jest już niestety prze$... przegwizdane. To się fachowo nazywa poszukiwaniem generatorów algebry Liego dla jakiegoś rowera na rozwiązaniach równania, który jest niejednoparametrową grupą Liego (nota bene rozmaitością ze strukturą grupową, która w prostym przypadku polega na tym, że e^a*e^b=e^{a+b} a w ogólnym mamy taki endomorfizm dołączony Exp). Reasumując, żeby rozgryźć na proste kawałki taką algebrę Lie, należy poszukiwać nie tyle liniowo niezależnych rozkładów, co funkcyjnie niezależnych, a reszta działa podobnie. Tą metodę można wykorzystać do roztrzaskiwania układów równań różniczkowych cząstkowych, np. równania ciepła, falowego albo Schrodingera. Ja mam taką niezłą książkę o wykorzystaniu algebr Lie do rozwiązywania równań różniczkowych autorstwa Petera Olvera. Tu też podobnie jak dla zwykłych macierzy i równań liniowych oraz układów równań różniczkowych, trzeba zwrócić uwagę na własności wielomianów (czyli po prostu znać trochę teorię pierścieni z ideałami, modułami i tymi sprawami). Z tym, że w pierwszym przypadku wystarczy zwykła teoria Galois, zaś tutaj teoria Picarda-Vessiota (różniczkowa teoria Galois). Wspomniany w artykule Conway otarł się o coś jeszcze innego, co dopiero teraz bada się np. w teorii liczb. Jest to braided Galois theory, gdzie oprócz wszystkiego co powyżej dochodzi jeszcze zapętlenie przestrzeni, czyli węzły. |
|
|
Dark Regis
Nie lubię takich ludzi (sadystów). Jeszcze raz powtórzę, jeżeli ktoś nie umie przekazać wiedzy, to najczęściej uczy tego, co sam potrafi w tym przedmiocie najlepiej. Na przykład zgadywania w pamięci rozwiązania. Mój Ojciec był prawdziwym dydaktykiem i jeżeli coś nie dało się przepchnąć za pomocą jednej znanej z podręczników metody, to zaraz szukał innego sposobu na intuicyjne pokazanie istoty sprawy. Na studiach mieszkał w akademiku z Kwapieniem. Kiedy przenosiłem się na UW spotkałem Kwapienia. Miał rachunek różniczkowy na naszym roku, a później procesy stochastyczne (martyngały, filtry sigma-ciał i takie tam), a był tam *ho ho ho* szefem rady wydziału. Kiedyś przyjął mnie w swoim pokoju, a ja miałem ze sobą taką książkę po rosyjsku o filtracjach stochastycznych. Pokazałem mu ją i powiedziałem, że takie trzy rozdziały zajmujące ponad sto stron mogę upchnąć na kilku. Popatrzył na mnie jak na jakiegoś heretyka i wypalił "Bzdury pan opowiada!" Kiedyś nawet Ojciec pojechał odwiedzić starego kolegę i ja tam byłem przy okazji. Wie Pan co on do mojego Ojca powiedział? Że gdybym nie szlajał się po jakichś politechnikach i nie ześwinił, to oni by ze mnie człowieka zrobili. Dziękuję bardzo, to ja wolę już pozostać człekokształtnym ;)))
Co do klatek Jordana to jest to sprawa raczej trywialna. Oczywiście chodzi tu o rozkład wielomianu charakterystycznego na czynniki i o to, że pierwiastki wielokrotne nie dają się oddzielić w takich macierzach i powstaje taka klatka. Pamięta Pan pojęcie wektora i wartości własnej macierzy? Wektory własne pokazują kierunki, w których przestrzeń najszybciej się rozszerza lub kurczy przy przekształceniu liniowym, zaś wartość własna mówi jak silne jest to rozszerzanie/skracanie i czy następuje tu zmiana orientacji (kierunku strzałki). W idealnym przypadku macierz można przekształcić do postaci diagonalnej w bazie wektorów własnych i jest to macierz jakiegoś porządnego automorfizmu, ale dla wielokrotnych pierwiastków mamy defekt w pewnych kierunkach i nie możemy wykorzystać wszystkich egzemplarzy tej samej wartości własnej oprócz jednej. Wtedy przychodzi z pomocą taka obserwacja z algebry (logiczna, gdy się człowiek douczy uczciwie o wielomianach), że trzeba wziąć coś na kształt mnożników 1,x,x^2,x^3,..., które są liniowo niezależne i niezależność wektorów bazy zagwarantują. Weźmie Pan macierz [2,1;0,2] i wymnoży z wektorem [x,y]^. Mamy [2x+y,2y], a wektory bazy to [x,0], [0,y], widać, że się dziwnie splatają? W angielskiej Wiki jest to dobrze pokazane:
1. https://en.wikipedia.org…
Właśnie dlatego w układach równań różniczkowych liniowych zamiast samych czynników liniowych Ce^{tλ}v musi wystąpić taki rower Ce^{tλ}(t^{n-1}v_{n}+...+tv_2+v_1). Wytłumaczenie inne jest takie, że kolejne pochodne są też liniowo niezależne, a to w nawiasie, to właśnie kolejne pochodne e^{tλ} względem λ.
Inna sprawa, dlaczego w tych rozwiązaniach muszą występować takie e do czegoś. Trzeba sięgnąć po podręcznik Arnolda. |
|
|
tricolour
Fakt. Były. Mama przynosiła co jakiś czas jeden tom. Do dziś stoją sobie, czasem ktoś do nich zajrzy. |
|
|
Dark Regis
Mam po rodzicach. O ile mnie pamięć nie myli, to kiedyś na encyklopedie były talony, prawda? |
|
|
Dark Regis
Szczerze mówiąc kiedyś nie wiedziałem o większości tych faktów i do tego momentu Conway wydawał mi się jakiś taki teflonowy, typowy wielki matematyk. Jak Pan pamięta opisałem kiedyś o innym ekscentryku Raymondzie Smullyanie oraz jego zagadkach ("Najtrudniejsza Zagadka Świata") i nie podejrzewałem jeszcze jak bardzo są oni podobni. Kiedy miałem bodaj 3 lub 4 lata (gdzieś na początku przedszkola) Ojciec kupił taką książkę z zagadkami Lilavati i od tej pory raczył mnie i brata twardymi orzeszkami z tej książki. Długie zimowe wieczory wyglądały czasem tak, że siedzieliśmy przy stole wgapieni w kartkę w kratkę, na której kreśliliśmy granice "państw". Trzeba było rzucić dwiema kostkami do gry, wykonać w pamięci mnożenie, potem rzucał przeciwnik i też mnożył wyniki, a na koniec ten, który wyrzucił większy iloczyn zabierał z państwa drugiego tyle kratek ile wynosiła różnica. Inny przykład zagadki pamięciowej to ważenie kul. Np. ile trzeba wykonać ważeń, żeby wśród 9 kul znaleźć jedną lżejszą. Tak wygląda życie w rodzinie matematyka, nie jest lekko :))) |
|
|
Dark Regis
Musieli tam nieźle zakrapiać swój sukces. Podejrzewam Nortona ;)))) |
|
|
u2
"U mnie na PW algebry nauczała prof. Anna Romanowska (wtedy jeszcze doc. dr hab.)"
A u mnie wykładał słynny dr Julian Klukowski, nota bene, arcymistrz brydżowy, już niestety zmarł w 2017.
Liczył wszystko w pamieci, więc studenci musieli się domyślać jak liczyć klatki Jordana. Do dzisiaj nie wiem jak arcymistrz Klukowski je liczył. Zaś ćwiczenia z dr Godowskim (nie Gdowskim co doktor podkreślał, Gdowski również matematyk, bardziej znany od dr Godowskiego) należały do bardziej zabawnych. Na pierwszych zajęciach siedziałem w ostatnim rzędzie i okazało się, że to było najgorsze miejsce, bo dr Godowski nie pytał tylko z pierwszego rzędu, a leciał od ostatniego wzwyż. Niestety za nierozwiązanie zadania na poziomie olimpijskim stawiał punkty ujemne, więc choć pierwsze zadanie rozwiązałem, to mi doktor nie zaliczył, bo skończyłem równo z dzwonkiem. Następnie siedziałem wyłącznie w pierwszym rzędzie. Była to ordynarna walka o punkty. |
|
|
Dark Regis
Jeżeli algebry uczy ktoś, kto jej nie rozumie lub zwyczajnie nie umie, to trudno się dziwić studentom, że z przedmiotu wynoszą głównie to, czego najlepiej potrafi ich nauczyć wykładowca. U mnie na PW algebry nauczała prof. Anna Romanowska (wtedy jeszcze doc. dr hab.)
https://pages.mini.pw.ed…
z której wykładu wyniosłem tylko mgliste pojęcie o tym zagadnieniu. Wiąże się z tym takie wspomnienie, że nie miałem własnych notatek, bo gdzieś się rozeszły "do odpisania", więc musiałem czekać na moment, aż kumpel się zmęczy i pójdzie spać, żeby przeczytać chociaż raz jego notatki. Czytałem w akademiku do bladego świtu u niego w pokoju. Tymczasem gdy w swoim pokoju w wieczór poprzedzający egzamin z algebry w szafie powiesiłem garnitur i postawiłem pod spodem wypucowane na glanc buty, to rano przez szafę popłynęła prawdziwa rzeka, bo dwie dziewczynki z góry zapomniały zakręcić kran przed snem albo raczej wyjściem na jakąś imprezę. Zamiast garnituru wyciągnąłem z szafy kompletny obleśny gnój, cuchnący na odległość zamokłą dyktą. Kumpel pocieszył mnie opowiadając dowcip, że nic się nie stało, bo koleżanki prawdopodobne były z wydziału Klozetów lub Melioracji i nie mogły się po prostu powstrzymać. Taka praca ;). Na egzamin poszedłem w trampkach z WF, jasnych letnich spodniach, w samej koszuli i w krawacie. Była zima. Ja zdałem, a kumpel oblał.
Gdy po trzech latach musiałem ewakuować się na UW, dziekan kazał mi "przepisać" wszystkie zaliczone przedmioty z PW, żebym mógł zaliczyć awansem rok 1 i 2. "Przepisywanie" najczęściej polegało na podchodzeniu do ponownego egzaminu z marszu i bez notatek z wykładu. Na pierwszy ogień był prof. Henryk Żołądek, u którego w gabinecie zdałem równania różniczkowe na 5. W końcu przyszła kolej na algebrę. Nie była to wcale 'ta' algebra, którą wykładała Romanowska. Na przykład były tam elementy teorii grup, pierścieni i ciał, a nie tylko trywialna algebra liniowa. Pod drzwiami jednej z sal spotkałem energicznego wykładowcę, który opowiadał właśnie jakieś kawały z kolegą. Podszedłem i zadałem pytanie czy mi zaliczy przedmiot. Powiedział, że nie, bo mnie nie zna. Nalegałem, lecz on stale był na nie, a ponieważ miałem pod ręką właśnie zakupiony zbiór solidny zadań z twardej teorii grup, więc postanowiłem tylko spytać jakie ewentualnie byłyby wymagania w takim przypadku, gdyby on mnie znał. Odpowiedział z nieukrywaną okrutną radością w oczach, a dodatkowo wziął do ręki mój zbiór zadań i pokazał palcem jakichś parę zadanek na początku książki. Nagle sytuacja się zmieniła o 180 stopni. Jakoś tak się stało, że założyliśmy się o to, że ja nie będę w stanie rozwiązać z tego zbioru nawet 100 zadań, ale tylko takich, które nie mają na końcu umieszczonego rozwiązania. Po dwóch miesiącach byłem u niego z rozwiązaniami, a ten do indeksu ze śmiechem musiał mi wpisać zaliczenie na 5. Nadal mnie nie znał i ja nie znałem jego :] |
