|
|
Dark Regis
Liczby p-adyczne to trochę inny schemat myślenia. Mamy tu na początek jakieś normalne liczby, czyli sposób ich zapisu, a chcemy dokonać w zapisie pewnego rodzaju "dziwnej" operacji. W rzeczy samej nie jest to operacja dziwna, tylko większość ludzi jej nie zna - odbicie względem okręgu, a dalej coś jak grupa przekształceń Mobiusa. To oczywiście nie będzie dokładnie to, ale podaję je jako przykład do wyobrażenia sobie skutków tego procesu. To właśnie zadaje tę "dziwną" geometrię. Czyli konkretnie w przypadku normy p-adycznej, czyli też topologii, to co znajduje się wewnątrz koła jednostkowego, to są wszystkie liczby całkowite (o skończonych rozwinięciach), zaś na zewnątrz koła znajdują się wszystkie ułamki (z nieskończonym rozwinięciem w lewo).
Z definicji widać, że Z_p = {x ∈ Q_p | |x|_p ≤ 1} jest kulą jednostkową w ciele liczb p-adycznych, jednocześnie otwartą i domkniętą dodam (wszystkie kule mają te cechę).
https://en.wikipedia.org…
Czyli to wygląda jak rozszerzenie pierścienia Z_p o zewnętrze kuli jednostkowej, w której się zawiera pierścień. Ma to głęboki sens na przykład dla zagadnień kryptograficznych, bowiem mając krzywą eliptyczną w ciele skończonym powiedzmy rzędu 2^512 możemy skonstruować metodę ataku na krzywą za pomocą rozszerzeń ciała. Otóż te rozszerzenia to nic innego jak gradacja dorzucająca kolejne warstwy ułamków: z 2^{k*512}, przy k=1,2,... aż do nieskończoności. Te ciała tworzą wieżę ciał, czyli każde większe zawiera mniejsze, dlatego można zastosować topologiczna konstrukcję granicy odwrotnej i dostać nową przestrzeń topologiczną ale już zupełną, uzupełnioną jak się okazuje o ciągi "Cauchy'ego". To są właśnie liczby p-adyczne = Algebraiczne domknięcie ciała skończonego.
http://math.uchicago.edu…
Jednym z najmocniej rzucających o ścianę wniosków z tej zależności jest p-adyczna wersja lematu Hensela. Ogólniej w pierścieniach można dokonywać tzw. henselizacji, co ma związek z wieżą utworzoną przez potęgi ideału pierwszego i opartą na niej topologią (taka topologia przypomina topologię koskończoną, a nie zwykłą euklidesową, ale też jest Hausdorffa czyli "dobra"). |
|
|
Władysław Ludendorf
liczby p-adyczne poznałem z Zacznijmy od Zera Tomasza Millera, ale widzę, że Veritasium napomknął o geometrii, odległości i wartości bezwzględnej. Nie jestem matematykiem, więc wielu rzeczy nie rozumiem, ale pamiętam, że zmagałem się z problemem "aplikowalności" algorytmów inspirowanych przez naturę do klasy problemów związanych z szeregowaniem zadań. Kryterium miało być coś, co nazywa się krajobrazem przestrzeni rozwiązań. Więc tak obrazowo. Chodzimy sobie po dziedzinie określonej przez permutacje zadań ale niestety przestrzeń rozwiązań jest "nierozsądna" w znaczeniu, że ma piki i studnie dla sąsiednich permutacji (gdzie sąsiedztwo jest określone jako swap dwóch elementów permutacji). Pytanie było takie: czy istnieje jakaś przestrzeń, w której dla sąsiednich permutacji obserwowalibyśmy rozsądny gradient zmian.
Pewnie jest to dalekie od problemu Collatza, ale tak mi się skojarzyło z tymi kodami (permutacje też można traktować jak kody). |
|
|
Dark Regis
c.d. Może pamięta Pan jeszcze jak pisałem o powstawaniu od końca zapisu n-adycznego liczby 1/(kn-1) (ja nazywam to odwrotnością "dziewiątki" systemu), gdy repunity w systemie potęgowym n^k zapiszemy jako liczby w systemie z bazą n. Przykładowo repunity w systemach z bazami B=20,30,40,50,... zapisywane w systemie dziesiątkowym tworzą od końca coraz dłuższy ciąg okresowo powtarzających się grup cyfr (w lewą stronę zapisu liczby całkowitej), których odczytanie jako ułamka (w prawą stronę po kropce dziesiętnej) daje wartości odpowiednio 1/19, 1/29, 1/39, 1/49,... (wszystkie mianowniki są "dziewiątkami" w odpowiednich systemach potęgowych). To właśnie jest emanacja cech pewnej ukrytej geometrii w liczbach całkowitych, albo dokładniej geometrii przestrzeni ich kodów (tu zapisów pozycyjnych). Żeby nie przedłużać podam inny ciekawy przykład: czy wie Pan, że istnieje liczba różna od 0 i 1, która jest równa swojemu kwadratowi? Oczywiście nie w "płaskiej" geometrii, tylko w p-adycznej (niearchimedesowej)
https://www.youtube.com/…
Wracając więc do problemu Collatza i fraktala z potęg dwójki, wyraziłem tam po prostu myśl dotyczącą tego, że odkrycie nowych cech dotyczących problemu przeniesionego do nieco zmodyfikowanej geometrii, do przestrzeni kodów, może skutkować tym, że dostrzeżemy tam metodę udowodnienia hipotezy (lub obalenia). Po prostu "płaska" matematyka wykładana z marszu w szkołach powoduje u absolwentów pewne problemy percepcyjne dotyczące funkcjonowania matematyki. Zaczyna się im wydawać, że wszystko co istotne w matematyce (i w fizyce) musi być "płaskie". Ale tak nie jest. Pisałem zresztą kiedyś o orbifoldach i powierzchniach Calabie-Yau. Dziś zaznaczę tylko, że istnieją różne geometrie algebraiczne, które nie muszą dotyczyć grup. Istnieją też różna rodzaje modularności, które nie muszą dotyczyć zwykłej znanej grupy modularnej (niezmienników tejże). Właśnie tu teraz się skupia nowoczesna matematyka i o tym piszą Meissner, Penrose, Wolfram, i wielu innych komentując na przykład problem ze zrozumieniem tego, co "żyje" w nauczonym metodą deep learning generatywnym transformatorze GPT. Jeszcze raz polecam mój, być może zaczątek artykułu, tekst o analogiach idących od gliderów w grze Life do kinezyn w jądrach komórek organizmów żywych: https://qr.ae/pyNsdG |
|
|
Dark Regis
@Władysław Ludendorf. Problem jest nieco innej natury. Wszystko o czym tu mówimy, czyli te wszystkie pojęcia użyte w rozmowie odnoszą się do przypadku zwykłych przestrzeni wektorowych, czyli z punktu widzenia teorii pierścieni, do modułów nad ciałem i algebr nad tymiż. Przestrzenie te oraz obiekty są "płaskie", albo w innym ujęciu archimedesowe. Tymczasem morena czołowa matematyki zaczyna orać w glebie niearchimedesowej i co rusz wychodzą nowe kwiatki ;). Przykładowo, żeby udowodnić Twierdzenie Fermata trzeba było stworzyć nową teorię, a przy okazji okazało się, że w wykładzie nie można już pomijać p-adycznych rozszerzeń i uzupełnień ciała liczb wymiernych Q. Są one zupełnie inne (inna geometria) niż ciało liczb rzeczywistych, gdzie uzupełnienia dokonujemy za pomocą dodania granic ciągów Cauchy'ego. Uzupełnienia (zupełność względem jakiejś topologii) i uzwarcenia (kompaktyfikacje) to są narzędzia, które czynią dziś cuda, ponieważ pozwalają one przedłużać nie tylko własności przestrzeni i funkcji na nich, ale także rozszerzać pewne ładne struktury. Do tego potem można dorzucić jeszcze technikę "podobieństwa pi razy oko", czyli całą sferę kohomologii i homologii wprowadzających nowe (słabe) pojęcie izomorficzności. Mało formalnie wygląda to tak, że utożsamiamy ze sobą nie tyle przestrzenie punkt po punkcie i strukturę na nich element po elemencie, co mówimy, że "identyczne" są te z nich, na których pewien rodzaj funktora z gradacją daje jednakowe wyniki (jak grupy homologii lub homotopii). To jest tak jakby struktura wyższego rzędu, ale na niej też potem możemy określić nową miłą dla oka strukturę itd. Na przykład dla homologii i kohomologii określa się mnożenie klas, które zamienia grupy w pierścienie, co daje dużo bardziej elastyczny i bogatszy opis. To tylko taka długa dygresja, bo mówimy o p-adyczności. Tak więc to co można powiedzieć o rozwiązaniach równań diofantycznych (a więc wielomianowych) w liczbach wymiernych (a więc w całkowitych na mocy skończoności wzorów; bo mamy skończone wielomiany nie szeregi), a potem w ich uzupełnieniach i rozszerzeniach jak R i C (zespolone), to samo powinno zachodzić dla wszelkich innego rodzaju rozszerzeń i idących inną drogą. Po każdej ścieżce rozszerzania idącej od Z przez ciała liczbowe (rozszerzenia o liczby algebraiczne), albo przez ciała dla pierwiastków z jedynki w szczególności, wreszcie przez ciała p-adyczne, albo przez ich P-adyczne uogólnienia dla P będącego ideałem pierwszym pewnego pierścienia. Zauważmy, że P nie musi być główny czyli generowany przez jeden element, czyli jego wielokrotności; P nie musi też dawać dobrych własności dla ciągu P,P^2,P^3,... ideałów, na których opiera się topologię liniową, bo po prostu potęgi P nie muszą być prymarne; ale mimo to można tu zadać użyteczną arytmetykę :). Długo by tłumaczyć, na koniec okazuje się, że większość trudnych dotąd problemów rzeczywiście daje się rozwiązać tą drogą, dzięki znalezieniu kontrprzykładu w ciele (P-) p-adycznym. (...) |
|
|
Władysław Ludendorf
w końcu udało mi się wczytać i zrozumieć, a wzmianka o analogii z funkcjami charakterystycznymi i dystrybuantami przypomniała mi o problemie z określeniem odległości w przestrzeni permutacji (albo najbliższego stanu) tak aby funkcja kosztu zachowywała się rozsądnie (jak w metodzie Simplex). |
|
|
Tadeusz Buraczewski
"Wszystko jest poezja" (E. Stachura). Malarstwo to poezja na płótnie, w komputerze etc. etc. Sztuką jest wszystko, z wyjątkiem tego, co może tę sztukę przypominać... |
|
|
Jan1797
Trudno mi sądzić, że ktokolwiek tu jest przeciwny :) |
|
|
u2
Teoria żywiołów doskonale sprawdza się w praktyce, czego nie można powiedzieć o teorii kwantowej. Atomy przez antycznych Greków były uważane za najmniejsze niepodzielne cząstki. Nie dysponując narzędziami dostępnymi współcześnie mieli doskonały zmysł obserwacji i umiejętność wyciągania właściwych wniosków, czego nie mogę powiedzieć o współczesnych naukowcach, którzy zwykle brną w ślepą uliczkę wąskiej specjalizacji.
PS. No i starożytni Grecy odkryli zjawisko elektryczności wytwarzanej przez pocieranie bursztynu. |
|
|
Dark Regis
Zbieżność koncepcji i zapożyczenie nazw. Tak naprawdę, to oni wierzyli w żywioły. A temu Greku z obrazka 6 to chyba lakier odchodzi, c'nie? ;) |
|
|
u2
A kto pierwszy przedstawił teorię atomową materii ? Aby nie starożytni Grecy ? |
|
|
Grzegorz GPS Świderski
OK, poznaliśmy już moje rzekome wierzenia, wyobrażenia i mniemania, a teraz proponuję przejść do tego, co wyżej napisałem. |
|
|
Grzegorz GPS Świderski
Czy starożytni Grecy, gdyby stali się sto razy mądrzejsi niż byli, mogliby, zanim ich Rzym podbił, sformułować jakąś hipotezę fizyki kwantowej? |
|
|
Ptr
Nie zrozumiał Pan. A ja nie tłumaczyłem. Inteligencja powinna być zdolna do sformułowania nowej hipotezy. Przejścia na wyższy poziom rozumienia. |
|
|
jazgdyni
@Władysław Ludendorf
No dobrze.
"... ta duża matematyka to jest prawdziwa nauka "
Obwarowując to wieloma wątpliwościami, zgadzam się na to. W czasach studenckich miałem porządny suwak logarytmiczny, bodajże Faber Castell i mam szacunek do dobrych narządzi. Nowe algorytmy, które stosowałem, czy to w regulatorach PID, czy w tabelach oceny ryzyka projektu, to bardzo wdzięczna matematyka. A już te DP (potem poprzez redundancję DP2, DP3, czyli Dinamic Positioning), pracująca na Filtrach Kalmana, to przecież już była kilkanaśćie lat temu AI, tylko wysoce specjalizowana i ograniczona do jednego, głównego zadania.
Ps. Przypomnę FK, jak to dosyć prymitywnie podają Google - algorytm rekurencyjnego wyznaczania minimalno-wariancyjnej estymaty wektora stanu modelu liniowego dyskretnego układu dynamicznego na podstawie pomiarów wyjścia oraz wejścia tego układu.
I dodam - liniowe, nie liniowe, lecz tu już mamy matematykę chaosu i interesują nas predykcje.
|
|
|
Edeldreda z Ely
@All
Przepraszam, że mnie nie było, ale profesor Trotelreiner zadał mi pracę domową i byłam pochłonięta lekturą 🙂
Dziękuję wszystkim, którzy przybyli, by się wypowiedzieć, w tym, m. in.:
- @Roz Sadkowi - Jego wypowiedź zostawia na chwilę na obiektywie postrzegania taki fajny film,
- @Wladysławowi Ludendorf - że poczuł się wywołany do odpowiedzi i uświetnił wątek swoją rzadką obecnością. Niewiele, co prawda, pojęłam, ale, jak to słusznie zauważył @jazgdyni - bardzo się staram i będę tę postawę kontynuować,
- @Obserwatorowi_3 - że przemówił i to od razu jak ☺️ (BTW: także pozdrawiam),
- @Ijonowi - za polecenie świetnej lektury. Oprócz podziękowań, od razu przepraszam Cię, Ijon, bo ja uważam, że Lem był w Rozprawie optymistą... Przyszła ludzkość w tym opowiadaniu żyje w mniej więcej niezmienionych warunkach - nadal istnieją koncerny, wolność wypowiedzi, wolność zgromadzeń, nadal wielkie firmy trochę lękają się związków zawodowych, nadal czynna i zauważalna jest obecność instytucji sumienia, istnieje jako taka wiara w sądy, ludzie mają dziewczyny i odkładają pieniądze, by założyć rodzinę i pójść na swoje, mają dylematy moralne, na czymś się znają (ba, specjalizują - udało im się zatem uratować szkolnictwo), wypowiadają się kulturalnie i rezolutnie (inteligentnie, chciałoby się rzec)... Nikt ich nie zdepopulował, nie zamknął w 20-minutowych miastach, nie zalecił, by mieli wszystko wspólne, nie zakazał podróży, etc. |
|
|
Grzegorz GPS Świderski
Nikt nigdy niczego nie odkrył w taki sposób, że ktoś mu o tym powiedział. To tylko odkrywcy opowiadają o tym, co odkryli. |
|
|
Ptr
Czyli mamy dylemat pomiędzy matematycznością , a niematematycznością świata. Argument za matematycznoscią to matematyczna natura praw fizyki. To argument wyczerpujący historię filozofii od czasu oświecenia. Tylko ,że ta filozofia opiera się na prostym rozumowaniu i chce , aby wszystko okazało się prostym rozumowaniem. Taki pragmatyzm logiczny, który ma dzielić ludzi na głupich i mądrych wg kryterium prostego rozumowania.
Ale proste rozumowanie nie wystarcza już do opisu tego co widzimy. Do opisu MK weszły liczby zespolone i one tam siedzą naprawdę. Weszły obiekty , które mają stan kwantowy, a tego stanu nie da się opisać algebraicznie chyba ,że jego szczególny przypadek. ( Albo symualcja trwałaby wieki).
Od lat nie wierzę , aby nasza świadomość mieściła się tylko w naszych mózgach. Tak samo świadomość nie jest algorytmiczna co do istoty. Ale ta matematyka za tym stojąca jest bardziej analogowa i kwantowa. I nie wiemy chyba nic o tym.
Dodatkowo istota naszego bytu nie wynika z materii z której jesteśmy złożeni, ale z jakiejś innej idei nie pochodzącej z oddziaływania między cząstkami naszej materii , czy matrii , która nas otacza.
Tak sobię myślę.
|
|
|
Ptr
Nie znam żadnych definicji, ale wydaje się ,że inteligentny był człowiek , który patrząc na świat pierwszy zrozumiał ,że Ziemia może być kulą.
Na tej zasadzie ,aby nazwać AI inteligencją oczekiwałbym , że ONA POWIEDZIAŁABY NAM COŚ, CZEGO NIE WIEMY a, to miałoby się okazać prawdą mozliwą do sprawdzenia. |
|
|
NASZ_HENRY
Jak napiszesz na nie wzorek,
Wtedy będziesz Pan doktorek 😉
|
|
|
Dark Regis
cd. Gdybym teraz wiedział dokładnie jaka potęga dwójki wystąpi w każdym kroku iteracji funkcji F (czyli ta wartość w nawiasie przez którą się dzieli), to rozwiązałbym ten problem Collatza, bowiem mógłbym sformułować ograniczenie na wielkości poszczególnych wyrazów ciągu F(x;m), czyli tego kawałka kodu, który powstaje po starcie z punktu m, a indeksuje go parametr x=1,2,3,.... Poprzednio nie użyłem tego zapisu z dwoma parametrami z powodu braku miejsca w poście, ale oznacza on mniej więcej to samo, co w innej dziedzinie "rozwiązanie równania różniczkowego przechodzące przez punkt t_0". Chyba rozumiemy o co chodzi. Inaczej, jeśli punkt k należy do trajektorii kreślonej przez F(x,m), czyli k=F^q(x;m) dla pewnego x, to w trajektorii F(x;k) nie może być tak dużej potęgi 2, żeby w efekcie dzielenia przez 2 do skutku otrzymać punkt t < m. Tyle chyba wystarczy do wyjaśnienia dlaczego "nie znamy cech rozkładu potęg dwójki w zbiorze liczb", albo poprawniej "nie umiemy efektywnie skorzystać z opisu", który wydaje się na oko banalnie prosty.
Co to ma wspólnego z postulowanym "mnożeniem Egipcjan"? Tam mnożenie wykonywano w oparciu o podwajanie, a dzielenie traktowano jak pewien rodzaj mnożenia.
https://en.wikipedia.org…
Opowiem to słowami, bo tam opis jest tak pop..., że aż się niedobrze robi. Każdą liczbę naturalną rozkładamy na albo składamy z dwóch operacji A="+1" i B="*2", zaczynamy zawsze od 0 albo w alternatywnym przypadku od 1 (umowa, wtedy pozbywamy się pierwszego obligatoryjnego A; ale A to kod 1), żeby kody były jednoznaczne. Czyli np. 17="ABBBBA", 23="ABBABABA",... Czytając kod od końca widzimy zapis procesu rozkładania liczby na kod. Teraz mnożenie 17*23 można widzieć jako pewien rodzaj operacji na kodach tych liczb. Jest to oczywiście jakaś inna funkcja przypisująca liczbie pewien kod, ale wygląda niepokojąco podobnie jak ta zmodyfikowana funkcja Collatza, nieprawdaż? Przejście z arytmetyki na liczbach do arytmetyki na kodach, to jest właśnie ten myk. To prawie jest tak, jak w kombinatoryce (funkcje tworzące) albo w dystrybucjach przechodzi się od mnożenia funkcji/transformat do splatania ciągów/funkcji. Tyle, że tutaj "splatanie" kodów nie będzie miało tych liniowych fajnych własności. Jest to po prostu inna geometria niż geometria płaskiej przestrzeni liniowej. |
|
|
Grzegorz GPS Świderski
Wszystkie cząstki elementarne potrafimy wskazać, wyjaśnić, i opisać. Ale to nie wystarczy. Z krasnoludkami też to robimy. |
