Czy przedawkowanie trygonometrii szkodzi zdrowiu?

Dziś trygonometria jest tym przedmiotem w szkole średniej, który służy generalnie do przestraszania, zmuszania do nauki pamięciowej, najczęściej kucia do testów, a następnie odstrzału osobników nieprzystosowanych do cudownego systemu polskiej edukacji. Gdy słucha się wynurzeń typowych nauczycieli matematyki na ten temat, często odnosi się wrażenie, że albo nie ma już żadnych innych zastosowań trygonometrii i ogólniej geometrii, albo po prostu sami nie wiedzą co mówią. Tymczasem trygonometria jest niezwykle prosta do wyłożenia, łatwo się uogólnia, jeszcze w latach 80-tych była kluczowym elementem wszelkich egzaminów wstępnych na wyższe uczelnie w formie zadań o stożkach, ostrosłupach i graniastosłupach. Jako zwarta część geometrii jest wdzięcznym narzędziem uczącym umiejętności dowodzenia twierdzeń i ich poprawnego stosowania w zadaniach. Ale przede wszystkim stanowi stały punkt odniesienia, do którego zawsze można się odwoływać przy znacznie trudniejszych zagadnieniach. Jest jak latarnia morska. Nie musi być skomplikowana, żeby była niezwykle użyteczna.

Pierwszym z brzegu przykładem złej praktyki w nauczaniu matematyki, a trygonometrii w szczególności, może być umiejscowienie przedmiotu fizyka na tle programu matematyki. Zwykle z fizyką kojarzą się nam zadania, w których "badamy" zachowanie się różnych ciał spychanych brutalnie z równi pochyłej, wystrzeliwanych z armaty w rzutach poziomym i ukośnym, a w najlepszym razie dyndających na sznurku (w wersji humorystycznej na sprężynie). O ile ciała zachowają jeszcze jakąś formę, można je tak odwirować, aż im moment obrotowy wyjdzie bokiem. Żeby jednak urzeczywistnić te wszystkie horrory, uczeń musi już znać jakieś pojęcia dotyczące trójkąta, a przynajmniej liczyć biegle wszystkie te sinusy i cosinusy. Dlaczego tak nie jest opiszę dalej. Najczęściej fizykę umieszcza się w formie okrojonej bezpiecznie na rok przed maturą, pozostawiając na ostatni moment tylko te najtwardsze orzeszki, które się jedynie "dyskutuje". Nadal daleko poza zasięgiem rozumienia ucznia szarej szkoły średniej pozostają optyka, obwody elektryczne, a nawet umiejętność sprytnego rozkładu sił na wektory. Zachodzi nawet obawa, że i te prostsze zagadnienia robi się gdzieniegdzie tylko pro forma i z musu, a nie na poważnie. Nie mówię tu rzecz jasna o dobrych szkołach, których program jest specjalnie stworzony dla kształcenia ukochanych Sykstusków ludzi bogatych lub wpływowych, bo to jest zupełnie inny świat, ale o zwykłej szarej polskiej szkole na prowincji, w której prekariat zajmuje się klonowaniem prekariatu. Mówię o tej szarej masie uczniowskiej, która w wyniku "kształcenia" błąka się potem po świecie w poszukiwaniu korepetycji z oczywistości, zupełnie jak słynny Koziołek Matołek w poszukiwaniu Pacanowa.

Aby nie być gołosłowny, podam tu linki do tej radosnej futurologii, zwanej dla niepoznaki i trochę pewnie dla jaj podstawą programową:

1) Fizyka z jakiejś szkoły: http://www.zs-korzkiew.zielonk... - Miażdżąca ocena programu znalazła się na stronie 211. Jest tam m.in. zawarta taka opinia Centralnej Komisji Egzaminacyjnej (CKE): "Analiza rozwiązań zadań w arkuszu dla poziomu podstawowego wskazuje na spore braki zdających w prostych umiejętnościach matematycznych. Zdający słabo radzili sobie z działaniami na potęgach, przekształcaniem ułamków czy sprowadzaniem do wspólnego mianownika." Nic dodać nic ująć - po prostu druzgocąca ocena pracy nauczycieli matematyki nie tylko z ogólniaka, ale przede wszystkim ze szkoły podstawowej oraz gimnazjum. Gdzie jest w tym nasza trygonometria? No cóż, sinusy to właśnie działanie na ułamkach i to nie byle jakich, potędze 2 oraz 1/2 i te rzeczy. Tłumaczyć chyba nie trzeba.

2) Matematyka - ograniczę się do etapu czwartego, bo już widzę po uczniach, że gimnazjum to był czas stracony (dwa lata w plecy): http://13liceum.eu/sites/defau... - Jak widać na załączonym obrazku, większość użytecznych zagadnień jest przeniesiona do programu rozszerzonego, czyli na zawsze już pozostanie poza zasięgiem zwykłego zjadacza chleba. Jeśli teraz wykopiemy gdzieś cudem opinię CKE lub innych gremiów o kompetencjach matematycznych maturzystów, to będzie ona przypominać jako żywo propagandę sukcesu z czasów Gierka: "Konferencja Rektorów Akademickich Szkół Polskich z wielką satysfakcją odnotowuje konsekwentne dążenie systemu oświaty do poprawy jakości wykształcenia absolwentów szkół średnich. Konferencja z uwagą obserwuje kolejne działania MEN w tym zakresie, zdając sobie sprawę, że od skuteczności tych działań w dużym stopniu zależą także efekty kształcenia osiągane w systemie szkolnictwa wyższego. W szczególności dotyczy to kwestii właściwego przygotowania młodzieży do studiów realizowanych z uwzględnieniem nowych form prowadzenia procesu kształcenia. Konferencja konsekwentnie wspiera wszystkie działania zmierzające do tego, by na uczelnie trafiali coraz lepiej przygotowani kandydaci na studia." Bla bla bla...

Porównując te dwie wypowiedzi - dotyczącą nauczania fizyki, z tą mówiącą o sukcesach matematyki - można wyciągnąć tylko jeden logiczny wniosek. Szkołę średnią kończą masowo ludzie, którzy nie radzą sobie z "działaniami na potęgach, przekształcaniem ułamków czy sprowadzaniem do wspólnego mianownika", a następnie fuksem prześlizgują się na studia wyższe. Tam dokonuje się kolejny etap obróbki prekariatu, czyli nadawanie "specjalistom" dyplomów magistra. Do czego to w efekcie prowadzi, wyjaśniał już na palcach w swoim wykładzie pan Krzysztof Karoń. Roszczeniowa wrzeszcząca tłuszcza alogicznych przygłupów z uprawnieniami nadanymi na kredyt jest w stanie rozsadzić od środka każdy racjonalny system. I nie oszukujmy się, jeśli komuś uda się z takimi podstawami prześliznąć przez wydział matematyki, to jako wewnętrzny gorszy sort, na bank zechce "dorobić sobie" pedagogikę, a następnie ma wszelkie szanse zostania nauczycielem podstawówki lub ogólniaka w swojej gminie. Wtedy kółko się zamyka.

Niedawno przyszedł do mnie z matką, przybity uczeń drugiej klasy ogólniaka (w dawnym programie trzeciej) z klasówką pełną czerwonych zer i z prośbą o natychmiastowy ratunek. Na co dzień uczy się on w szkole średniej, która dumnie mieni się szkołą o profilu informatycznym, do której uczęszcza też więcej pociech z okolicy. Taka moda. Zawalona klasówka dotyczyła miejsc zerowych funkcji takich jak f(x)=ax+b, a w najgorszym przypadku z parametrem jak np.: "Dla jakich m funkcja f(x)=(2m+1)x-m+2 ma rozwiązanie". Dosłownie i proszę się nie śmiać, bo taka jest rzeczywistość, proszę Państwa. Gdy wstępnie spytałem o podstawowe umiejętności ucznia, czyli szkicowanie wykresów, tangens, od biedy sinus z cosinusem, musiałem zahaczyć o trójkąt prostokątny, czyli stosunek różnicy igreków do różnicy iksów, gdyż chciałem znaleźć jakiś wspólny język, w którym moglibyśmy się porozumieć, to spotkała mnie początkowo cisza, a następnie świetnie zagrane oburzenie, że takich rzeczy nie było jeszcze na lekcji. Pomyślałem, że w tym tempie to pewnie nigdy nie będzie. Dostrzegłem tu całą miałkość owego systemu propagandy sukcesu w edukacji, która uczy ataku, w odpowiedzi na praktyczną próbę rozwiązania problemu. Uczeń ten miał jednakowoż wszelkie prawo się wzburzyć i poczuć urażony, gdyż dostając ciurkiem oceny 4, a nawet 5 ze "znajomości bieżącego materiału", mógł sobie wyrobić odmienne od mojego zdanie o swej wybitnej wiedzy, wyjątkowości, a rodzice mogli być wbijani w dumę dobrymi ocenami swej pociechy. Kłopot w tym, że rzeczywistość skrzeczała niemiłosiernie, a pacjent okazał się być kompletnym matematycznym głąbem, burakiem sięgającym korzeniem szkoły podstawowej, którego najpierw należałoby nauczyć liczyć do pięciu na palcach, a potem modlić się o jakiś cud. Tylko przypadek oraz chwilowe zaniechanie uczenia na testach spowodowały, że nastąpił ten "niespodziewany" coming out. Najgorsze jednak było to, że z relacji delikwenta wynikało, iż na takim samym poziomie była niemal cała klasa. Przypomnę dla porządku - mówimy o trzeciej klasie ogólniaka w starym czteroklasowym systemie, choć niektóre technika zawodowe były kiedyś pięcioletnie.

Dziś już wiem, że w przerwie świątecznej będę zmuszony zasiąść z pociechą do serii bolesnych tortur. Sprawę dodatkowo komplikuje fakt, że pani od matematyki bez ogródek, podobno naopowiadała uczniom głupot, że "informatykowi w zasadzie nie jest potem potrzebna matematyka". Wiem to z relacji rzeczonego ucznia, ale jego poziom wiedzy powoduje, że nijak nie mogę znaleźć argumentów na potwierdzenie tezy przeciwnej. Któż nie skusi się bowiem na takie gładkie wytłumaczenie swojego nieróbstwa? Zupełnie, jakby większość programu matematyki była tylko i wyłącznie po to, żeby można było zrobić na bieżąco jakieś testy. A w ogóle to można zapomnieć. Słyszycie to drodzy Państwo!? Czy to słyszycie!? W efekcie pociecha z rozbrajającą szczerością oświadczyła mi, że po szkole i tak zostanie dyplomowanym technikiem informatykiem, który obecnie uczy się operowania w języku SQL na bazach danych, choć kompletnie nie rozumie na czym polega suma oraz przecięcie zwykłych zbiorów, a nawet programowania, choć nie rozumie nawet starożytnego algorytmu Euklidesa. Każdy z nas pragnie mieć takiego informatyka w urzędzie i technika w szpitalu, odpowiedzialnego za bezawaryjne działanie sprzętu monitorującego funkcje życiowe, nieprawdaż? Nie umie liczyć na ułamkach, nie umie rozkładać liczb naturalnych na czynniki, nie wie co to wielomian, szuka miejsc zerowych równania, rozwiązuje funkcję kwadratową, trygonometrię traktuje jak kosmos i nie umie naszkicować prostej na płaszczyźnie. Ale ma aspiracje. Słysząc "tangens kąta nachylenia", choć "współczynnik kierunkowy prostej" jest w skąpym programie i w jego śmiesznym podręczniku, zaczyna się kłócić o niezgodność z "materiałem". Bo przecież to jest niepotrzebne informatykowi, jak mówiła pani. Słowem prawdziwy horror.

Zresztą, nieważne jakimi słowami się ten patologiczny stan opisze. Parlamentarnymi czy nie. Podejrzewam, że spustoszenia w świadomości społeczeństwa w Polsce, dokonane metodą "postępowych europejskich reform programów nauczania", są już tak poważne, że większość nastolatków i ludzi dwudziestoparoletnich nawet nie wie o czym tu piszę i skutkiem tego nie dostrzega żadnego zagrożenia. Nawet gdybym zacytował tu program "nauczania" z Generalnej Guberni, a następnie przetłumaczył w punktach na program "kształcenia" zbieraczy szpinaku u Bauera w Niemczech, będzie to tylko rzucanie grochem o ścianę. Zgnilizna jest już zbyt powszechna i dotyka przede wszystkim polską "samorządową" prowincję. Pilnie potrzeba tu radykalnych zmian, a nie kosmetyki i paplania profesorskich autorytetów o gruszkach na wierzbie. Potrzeba głębokiej orki, a tymczasem w programie PIS-u rozwiązań jest jak na lekarstwo. Jak dotąd, jedyną realną propozycją MEN, jest sypnięcie więcej kasy obecnym nauczycielom i wspierającym ich autorytetom uczelnianym. Świetnie, będzie więcej testów. Kolejny rocznik skończy w ciemnej... Zresztą nie ważne gdzie, bo nie mam najmniejszego zamiaru sondować.

Artykuł ten traktuję więc jako wstęp do serii tekstów o tym, jak z mojego punktu widzenia powinno się realizować nauczanie matematyki w Polsce, aby przyniosło to jakiś wymierny trwały skutek. Żeby podstawy zwykłych rachunków, a nie wyimaginowanej górnolotnie tytułowanej "matematyki", a także zdolność logicznego rozumowania na poziomie zero plus, zostały w pamięci i świadomości ucznia na całe życie i to "bez napinki". Gdy skończę już z tą patologią szkół średnich, obiecuję, że przejdę do ciekawszych tematów ;)

Zacząłem od trygonometrii nie bez powodu. Jej właśnie będzie dotyczył mój następny tekst. Udowodnię Państwu na palcach, że jest możliwe nauczyć się kompletnie całej licealnej trygonometrii w jeden weekend i to bez konieczności uczenia się na pamięć twierdzeń oraz wzorów. Jedyne rzeczy, których należy się nauczyć, to głównie nazwiska, nazwy twierdzeń i rozmaitych wzorów, żeby zachować jakiś związek z literaturą. Całą resztę można w każdym momencie wyprowadzić, posługując się odpowiednimi rysunkami na serwetce lub blacie stołu w kawiarni "Szkocka", jak zwykł był to czynić genialny Stefan Banach i jak powstała słynna notacja polska. Pokażę na tym przykładzie, jak należy prawidłowo ćwiczyć poszerzanie wyobraźni, jak efektywnie wykorzystywać pamięć, na co zwrócić szczególną uwagę, a także jak wykorzystać typową dla dziecka ciekawość oraz spostrzegawczość, żeby już nigdy "tępe kucie matmy" nie spędzało mu snu z powiek. Ci Państwo, którzy obserwują moje partyzanckie teksty "podziemne" na Naszych Blogach, pewnie już przeczuwają, że zachodzi poważna obawa, iż rzeczywiście mogę to zrobić. Postaram się więc urzeczywistnić te obawy. Będzie to mój prezent na gwiazdkę. :)

*****

PS: Mam właśnie przed sobą zestaw zadań z pracy kontrolnej numer 6, korespondencyjnego kursu przygotowawczego z matematyki na wyższe uczelnie. Organizowała to m.in. Politechnika Warszawska. Ja wysłałem w sumie kilkanaście takich prac, a pierwsze będąc w klasie trzeciej, czyli peowskiej drugiej. Do tego zachęcał nas nauczyciel. To nawet nie jest poziom dawnych wojewódzkich konkurów matematycznych czy olimpiady, w których też uczestniczyłem. Proszę zauważyć na tych przykładach, jak w ciągu zaledwie ćwierćwiecza poziom nauczania matematyki w Polsce (głównie prowincjonalnej) sięgnął dna:

Zad: Rozwiązać 2𝓍 + log(1 4 ˣ) 𝓍·log25 log6
Zad: Rozwiązać cos3𝓍 + cos5𝓍 + cos7𝓍 = 0
Zad: Udowodnić 1 ³ 2 ³ + 3 ³ ... n ³ = (1 2 ... n) ²
Zad: Czworościan regularny o boku a. Oblicz promień kuli stycznej do wszystkich krawędzi.
Zad: Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(m)=𝓍₁(m)·𝓍₂(m), gdzie 𝓍₁(m) i 𝓍₂(m) są pierwiastkami równania (m 2) ² 𝓍 ² 6(m 2) 𝓍 m ² = 0.
Zad: Mamy zbiór liczb trzycyfrowych utworzonych z cyfr 1,2,...,9. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania: a) liczby parzystej; b) liczby podzielnej przez 3.
Zad: Mamy elipsę o równaniu 𝓍 ² 4𝑦 ² − 4 = 0 i prostą 𝑦 + 𝓍  1 = 0. Obliczyć pole prostokąta, który powstaje ze stycznych do elipsy o współczynniku kierunkowym identycznym z daną prostą.

Dla porównania podam jeszcze przykład zadań przygotowawczych na olimpiadę i to złośliwie z czasów tak zamierzchłych jak 1968 rok. Gdy w końcówce lat 80-tych dostałem się na studia, to pewien doktor matematyki oświadczył z rozbrajającą szczerością, że właśnie m.in. on układa te wszystkie zabawne zadania olimpijskie i są one głupiutką zabawą w porównaniu z rzeczywistym materiałem studiów. Jednym słowem, spuścił całe powietrze z nadętych gottwaldowców i dziś wiem, że miał całkowitą rację. Kłopot w tym, że on nie był jeszcze wtedy w stanie przewidzieć tych hord historyków dorywających się do władzy w Polsce, którzy z rozkoszą zrealizują stary niemiecki ideał wykształconego Polaka.

Zad: Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie 𝓍 𝑦 = (𝓍 − 𝑦) ².
Zad: Dowieść, że żadna figura nie może mieć dwóch środków symetrii.
Zad: Dane są punkty A,B,C,D nie leżące na jednej płaszczyźnie. Wyznaczyć płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe.
Zad: Obliczyć a b ⁴ + c ⁴ wiedząc, że a b c = 0, a ² + b ² c ² = 1.
Zad: Znaleźć takie liczby naturalne a i b (a < b), żeby suma wszystkich liczb naturalnych niemniejszych od a i niewiększych od b była równa 2000.
Zad: Danych jest na płaszczyźnie n punktów, z których p należy do jednej prostej (3 ≤ p < n), a oprócz nich żadne 3 nie są współliniowe. Ile jest trójkątów, których wierzchołkami są dane punkty?

Jest ktoś chętny? :D
A co by było, gdybym nie umiał nawet dodawać ułamków?

YouTube: 
Forum jest miejscem wymiany opinii użytkowników, myśli, informacji, komentarzy, nawiązywania kontaktów i rodzenia się inicjatyw. Dlatego eliminowane będą wszelkie wpisy wielokrotne, zawierające wulgarne słowa i wyrażenia, groźby karalne, obrzucanie się obelgami, obrażanie forumowiczów, członków redakcji i innych osób. Bezwzględnie będziemy zwalczali trollowanie, wszczynanie awantur i prowokowanie. Jeśli czyjaś opinia nie została dopuszczona, to znaczy, że zaliczona została do jednej z wymienionych kategorii. Jednocześnie podkreślamy, iż rozumiemy, że nasze środowisko chce mieć miejsce odreagowywania wielu lat poniżania i ciągłej nagonki na nas przez obóz "miłości", ale nie upoważnia to do stosowania wulgarnego języka. Dopuszczalna jest natomiast nawet najostrzejsza krytyka, ale bez wycieczek osobistych.

Komentarze

Obrazek użytkownika paparazzi

20-12-2017 [16:45] - paparazzi | Link:

Szacunek dla pana matematycznej wiedzy. Cholera można się zakompleksić. Wesołych Świąt Bożego Narodzenia.
 

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

20-12-2017 [17:33] - Imć Waszeć | Link:

Dziękuje i również życzę Wesołych Świąt Bożego Narodzenia.

Obrazek użytkownika smieciu

20-12-2017 [16:52] - smieciu | Link:

To będzie pan pisać jak uczyć matematyki czy też nauczy nas pan jej ? :P
Jestem za drugą opcją. Jak dla mnie fajny pomysł, to znaczy chętnie przypomnę sobie to i owo. Prawda jest taka że naprawdę łatwo i szybko zapomina się podstawowe rzeczy. Ja np. zawsze uważałem się za dobrego z matmy (a były to stare czasy kiedy faktycznie uczono matematyki a i nauczycielki i w podstawówce i w liceum miałem dobre). Na tyle byłem pewien swoich umiejętności że kiedy zdawałem na informatykę (a była to Polibuda Warszawska) uznałem że nie muszę się niczego uczyć. Egzamin nie był łatwy. Było mnóstwo chętnych. Egzamin trwał 2 dni i był z matematyki i fizyki. Wziąłem tylko korki z fizyki bo nauczycielkę miałem ... no długo by opowiadać ale w skrócie nie miała o niczym pojęcia.
W każdym razie pewny siebie wchodzę na egzamin z matmy a tu zonk... Po prostu zwyczajnie zapomniałem podstawowych rzeczy, tzn. nie mam tu na myśli trygonometrii... Poziom egzaminu był konkretny, zapomniałem kilka istotnych rzeczy z końca programu nauczania, które po prostu zrobiłem kiedyś na matmie raz czy dwa, wydawały się oczywiste ale kiedy się nie robi czegoś systematycznie to się zapomina.
No i zdobyłem raptem około 30% punktów. Byłem daleko. Szczęśliwie egzamin z fizyki poszedł mi lepiej. Miałem chyba drugi najlepszy wynik. Dzięki korkom właśnie. Po prostu miałem wszystko świeżo w pamięci. Nauczyłem się całej fizyki w miesiąc :) Tzn. rozwiązywania zadań. No i nadrobiłem tą fizyką, której nigdy nie lubiłem (ze względu na nauczycielkę) matmę, którą zawsze bardzo lubiłem ale zapomniałem :)
Tak to bywa, łatwo się zapomina. I choć na informatykę się dostałem to ją później rzuciłem i zostałem humanistą :P No prawie.
W każdym razie chętnie sobie wszystko znów przypomnę. Bo czuję się już trochę jak jakiś głąb. Patrząc na to co kiedyś było banalne a teraz wydaje się być z lekka dziwne. Czekam na wykłady. Przyjemniutka i milusia trygonometria może być na początek :)

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

20-12-2017 [17:18] - Imć Waszeć | Link:

No nie dokładnie będę uczyć. Nie jestem aż takim cudotwórcą. Niemniej jednak spróbuję wyjaśnić pewne pojęcia podstawowe, żeby potem jasne stały się pojęcia trudniejsze. Słyszał Pan może o takim czymś jak geometria adyczna? Dokładniej chodzi o to, że w świetle ostatnich przemyśleń teoretyków fizyków świat, a dokładnie czasoprzestrzeń, wcale nie musi mieć geometrii wyprowadzonej od idei euklidesowej. Mówi się o tzw. geometrii 2-adycznej. Jednak w tym przypadku mamy spore problemy z potocznym zrozumieniem zasadniczych pojęć w takiej geometrii. Przede wszystkim nie jest ona archimedesowa, gdyż wartość bezwzględna w niej, której można użyć do definicji metryki odległości, spełnia bardzo dziwny warunek ultrametryczności |x+y|<=max(|x|,|y|). Ta wartość bezwzględna liczy jak bardzo dana liczba jest różna od najbliższej liczby 2-adycznej. W ogóle liczby 2-adyczne, a ogólniej p-adyczne dla liczby pierwszej p, to są kompletnie różne rzeczy niż liczby rzeczywiste. Są rozszerzeniem liczb całkowitych w zupełnie innym kierunku niż konstrukcja liczb rzeczywistych.

Jeśli pamięta Pan jeszcze naszą rozmowę o dziwnym sumowaniu ciągów postaci 1+2+4+8+16+...=-1, to teraz w łatwy sposób można ten konkretny fenomen wyjaśnić. Otóż zapis liczb 2-adycznych całkowitych jest postaci "....0010011101011001". Potęgi dwójki są takie "...0010..00", gdzie dla 2^k jest jedyna 1 na pozycji k. Jak zsumujemy wszystkie takie liczby ze sobą, to otrzymamy same jedynki "...1111111". Ponieważ jednak w arytmetyce 2-adycznej tak właśnie wyglądają liczby ujemne (uzupełnienie do 2, czyli podstawy systemu binarnego), to otrzymujemy ową minus jedynkę. Proste? ;) Cała reszta to już tylko filozofia. Kiedyś został nawet skonstruowany komputer, który miał za podstawę nie kod binarny, a kod 2-adyczny, tylko rejestry musiały być dużo większe. Dlatego właśnie, żeby powiedzieć coś ciekawego o takich sprawach, najpierw należy odwalić solidna robotę u podstaw, żeby mieć pewność, że myślimy później  prawie o tym samym. Prawie jednak stanowi różnicę w matematyce, nieprawdaż?

Miałem początkowo pomysł na zupełnie inny artykuł, ale musiałem go zaniechać, gdyż zostałby kompletnie zignorowany ze względu na brak płaszczyzny odniesienia dla używanych pojęć. Chodzi o ostatnie badania przeprowadzone na MIT, gdzie znaleziono pewne nowe reguły fraktalne dla gramatyki opisującej kodowanie DNA. Jest tam taki fajny wykres, który dowodzi, że w zasadzie wszystkie organizmy na Ziemi podpadają pod tę samą statystykę, oprócz dwóch. Lekko odbiega od nich w jedną stronę pewien rzadki fag oraz znacznie, wręcz rewolucyjnie, odbiega w stronę przeciwną kod wirusa HIV. Różne można snuć teorie na temat jego pochodzenia, lecz tu wydaje się pojawiać silne uzasadnienie dla tezy, że został sztucznie sklecony w jakimś laboratorium wojskowym.

Obrazek użytkownika smieciu

20-12-2017 [20:53] - smieciu | Link:

Tak ... zdecydowanie potrzebujemy przypomnienia podstaw :)
Co do ciągu 1+2+4+8+16+ wydaje mi się że rozmawialiśmy wcześniej o ciągu gdzie były minusy i plusy na przemian, wynikiem było -1/2? tego, 1+2+4+8+16+ nie przypominam sobie. Wynik -1 jest co najmniej zaskakujący no i na wiki piszą że osiąga się go specyficzną metodą. Na ten moment wolę zostać przy nieskończoności.
Ale jeśli pan rozkręci naukę to może zmienię zdanie :)
Co do geometrii to jest to fajny dział matematyki. Zainspirował mnie pan wcześniej do przemyśleń pod tym względem. Wydaje mi się że matematyka wkracza na niebezpieczne tereny jakichś dzikich abstrakcji przyjmując jakieś dziwne założenia. Nie wiem czy ma to sens. Jestem raczej praktycznym człowiekiem. Nie będę przykładowo zakładał że kobieta jest równa mężczyźnie oraz że istnieje trzecia płeć. Chociaż mógłbym.

Już od jakiegoś czasu nurtowało mnie pewne matematyczne pytanie. Otóż człowiek sobie tak żyje, interesuje się różnymi rzeczami z czasem odkrywa pewną nieprzyjemną prawdę. W skrócie ... wszystko jest na pewien sposób kłamstwem. A raczej jakby sztuczną kreacją. Np. historia. Ta oficjalna to stek bzdur. Na naszych oczach zresztą budowana. Choćby historia ostatnich 30 lat.
Podobnymi sztucznymi kreacjami są (no ja przynajmniej jestem pewien) teoria Darwina czy Einsteina, którego pan broni. Ok to oczywiście dyskusyjna sprawa ale naprawdę jestem nieprzekonany, jak na mój gust ci co tłumaczą Einsteina posługują się dwoma rzeczywistościami i logikami jednocześnie. Tą jego i tą Newtona. W zależności od wygody. Pisałem też że istnieje normalnie oczojebny że się tak wyrażę dowód na oddziaływanie szybsze niż światło a jest nim grawitacja. Która musi być wiele miliardów szybsza (według obliczeń) by zachować w kupie nasz układ słoneczny. Planety muszą się „natychmiast” widzieć, wiedzieć gdzie znajduję się Słońce by kierować się ku niemu a nie ku miejscu gdzie było dawno temu. Oczywiście nikt nad tym nie filozofuje, bo i po co drążyć niewygodny temat? Co więcej google każdemu powie że najnowsze pomiary prędkości grawitacji wykazują że jest ona równa c. Co jest absurdem ale co tam.
Do czego zmierzam. Otóż jak na mój gust w każdej działce nauki ma miejsce taka kreacja fałszywej rzeczywistości. Z jednej strony może komuś to wydawać się dziwne, szalone czy przede wszystkim spiskowe. Ale nie różni się to niczym od kreacji fałszywej historii na naszych oczach czy też nachalnej promocji genderyzmu.
No i w tym kontekście zastanawiała mnie matematyka. Czy tam też mamy do czynienia kreacją fałszywych światów? Pana komentarze rzuciły mi trochę światła na tą kwestię. Jak na mój gust odpowiedź brzmi: TAK. I jest to być może nawet łatwiejsze niż gdzie indziej. Gdyż w matematyce wystarczy tylko zmienić jakiś aksjomat, zasadę i zbudować cały nowy świat. Tylko jaki w tym sens?
Geometria adyczna? Nie mam pojęcia.
Wydaje mi się że czas na jakiś powrót do źródeł.

 

Obrazek użytkownika Jabe

20-12-2017 [21:50] - Jabe | Link:

Sądzi Pan, że uczeni ukrywają przed nami wstydliwą prawdę, że ten opis jest jaskrawo sprzeczny z doświadczeniem? Zresztą wg teorii względności planety nie kierują się ku czemuś, tylko poruszają w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

21-12-2017 [01:02] - Imć Waszeć | Link:

My i tak widzimy to, co było tam, gdy światło dopiero ruszało w drogę. Fale grawitacyjne poruszają się z prędkością światła, co dowiodły ostatnie eksperymenty LIGO, POLGRAW, ESO z jednoczesną obserwacją promieniowania gamma i zaburzenia czasoprzestrzeni po zderzeniu dwóch gwiazd neutronowych.

http://www.urania.edu.pl/wiado...

Obrazek użytkownika smieciu

21-12-2017 [11:53] - smieciu | Link:

LIGO... Chyba najbardziej zakłamane przedsięwzięcie fizyki. Może uda mi się odszukać odpowiednie teksty ale po prostu to wielki zamek z piasku zbudowany na wodzie. Idea tego eksperymentu polega na badaniu zaburzeń biegu światła na wskutek ... aż mi to nie chce przejść przez klawiaturę, no ale ok, na wskutek działania fal czasoprzestrzeni. Nawet mi się nie chce wnikać na ile te fale można wykryć nie przyjmując z góry pewnych założeń. Ot choćby takich że grawitacja biega sobie z prędkością światła. A jeśli jest bilion razy szybsza to co?
No ale mniejsza z tym. Głównym problemem, który ujawnił się bardzo szybko było to że te wszystkie detektory muszą być niesamowicie czułe. A przez to reagują na wszystko. I na samochody na autostradzie i pociąg jadący czy wycinkę drzew przez drwali. Cały myk tego eksperymentu polega na tym żeby te wszystkie zakłócenia zidentyfikować usunąć z wyników i czekać na taki „czysty” pomiar.
Jak łatwo się domyślić jest to praktycznie niemożliwie bo różnych czynników wywołujących drgania detektorów mogą być miliony. Także nam nie znanych a nie będących „falami grawitacyjnymi”.
Szczęśliwie szef tego projektu wyjaśnił o co chodzi mówiąc „Fajnie by było wykryć te fale w 100 lecie teoretycznego przewidzenia ich przez Einsteina”. I tak od słów przeszedł do czynów. Wykrył te fale w setną rocznicę a nawet zostało stwierdzone że to z powodu zderzenia czarnych dziur, co jest dowodem na ich istnienie.
Tak właśnie wygląda dzisiejsza fizyka. Hipotetyczne wyniki potwierdzają hipotetyczne teorie na podstawie hipotetycznych założeń.
Nawet mi się nie chce określać słowami co sądzę o tych fizykach.

Natomiast co reszty w związku z działaniem naszego Układu Słonecznego. To męczy mnie słuchanie o tych zakrzywieniach przestrzeni. Czy ktoś z was próbował je sobie wyobrazić? Jak musi się zakrzywiać w naszym Układzie przestrzeń by to trzymało się kupy? Jak biegnie światło? Po prostej? Krzywej? Slalomem? Jakie są tory, odległości itp? Jaka jest dynamika takiego układu skoro wiemy że Słońce porusza się wokół środka Galaktyki a cała Galaktyka również co w sumie daje niezłą prędkość i gdyby grawitacja oddziaływała z prędkością c to planety byłyby przyciągane do miejsca w którym Słońca dawno już nie ma. Jak ktoś sobie wyobraża działanie takiego układu?

Szczęśliwie nikt sobie nie zawraca głowy takimi pytaniami. Zwłaszcza w NASA. Która wciąż używa starych newtonowskich wzorów, w których nie ma żadnego współczynnika czasu i które zakładają „natychmiastowe” oddziaływanie grawitacyjne. I wszystko pięknie gra. Światło lata po prostych. Planety po okręgach (z grubsza) itd. Przestrzeń nie wykazuje żadnych zakrzywień i wiemy jakie są odległości.

Ale jak ktoś chce niech sobie wyobraża inaczej. Po Einsteinowsku. Ze grawitacja ma prędkość c a Układ Słoneczny trzymają w kupie zakrzywienia czasoprzestrzeni. Natychmiastowo się dostosowujące...

Obrazek użytkownika smieciu

21-12-2017 [12:21] - smieciu | Link:

Nie ma już tej stronki z której wziąłem rozważania o prędkości grawitacji. Zostały gorzej wyglądające:
http://www.ldolphin.org/vanFla...
http://www.gravitywarpdrive.co...

Obrazek użytkownika Jabe

21-12-2017 [13:15] - Jabe | Link:

Jak już Panu Waszeć napisał, pochodzące z niedawnego zdarzenia fale grawitacyjne wykryto praktycznie jednocześnie z elektromagnetycznymi. To znaczy, że propagują praktycznie z tą samą prędkością.

Na jakiej podstawie twierdzi Pan, że zakłócenia czynią wykrycie tych fal praktycznie niemożliwym? Trzeba tu powiedzieć, że fale te wykrył nie tylko jeden detektor i opóźnienia pasowały do źródła fal elektromagnetycznych.

Pyta Pan, czy ktoś próbował sobie zakrzywienie czasoprzestrzeni wyobrazić. Pewnie próbował, ale nawet jeśli nie, to są odpowiednie równania i one dają takie, a nie inne wyniki. Światło skręca, nawiasem mówiąc.

Od współczesnych teorii wymaga się, żeby przewidywały te same wyniki, niezależnie od prędkości z jaką porusza się opisywany układ jako całość (absolutny ruch nie istnieje). Można to rozstrzygnąć przy pomocy kartki i ołówka. Śmiało. To nie jest kwestia wierzeń czy wyobrażeń.

Myśli Pan, że teoria Newtona dużo lepiej opisuje świat, jednocześnie najwyraźniej zakładając, że od stu lat studenci fizyki są przyjmowani do sekretnego bractwa, którego celem jest ukrycie, że teoria Einsteina jest nic nie warta. To Pańskie wyobrażenie jest dużo bardziej pokręcone niż zakrzywiona przestrzeń Einsteina.

Dodam, że jeśli rzuci Pan kamień, on nie skręci ku ziemi, gdyż siły grawitacji nie ma, tylko dogoni go powierzchnia ziemi. Dziwne to, ale Pańskie wyobrażenia nie są kryterium. Jednocześnie bardzo mnie dziwi, że nastaje Pan na klasyczną teorię Einsteina (i na ewolucję), zarazem ignorując dużo bardziej pokręconą mechanikę kwantową.

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

21-12-2017 [18:58] - Imć Waszeć | Link:

Może odpowiem wybiórczo z braku miejsca.
Jakby sobie nie wyobrażać zagięcia czasoprzestrzeni pod wpływem materii, to na pewno trzeba zrewidować jedno wyobrażenie - owej głębokiej studni, dołka w miejscu planety lub gwiazdy. Nie koresponduje ona bowiem z faktem, że grawitacja w środku kulistego obiektu o w miarę jednorodnym rozkładzie mas w każdym kierunku jest równa zero. Jeśli jest tam w tym dołku jakieś dno, to nie powstaje w wyniku działania grawitacji, lecz innego czynnika, np. masy. Możemy sobie jednak wyobrażać obiekty wydrążone w środku, na przykład hipotetyczne miasta przyszłości na orbitach innych gwiazd, dla których również grawitacja w środku będzie zerowa. Takie obiekty mogłyby być znacząco większe niż Ziemia, nawet wielkości Jowisza, gdyż nie groziłaby im duża grawitacja szkodząca życiu, a także zapadanie się materii pod wpływem grawitacji. Nie wiem czy znalazłoby się tyle surowców i siły roboczej, żeby w przeciągu czasu, w którym nie grozi rozpadnięcie lub zapadnięcie się tej konstrukcji, usztywnić ją i zabezpieczyć, ale to już rybka naszych dalekich krewnych ;) W każdym razie z tą grawitacją w środkach obiektów kosmicznych trzeba coś zrobić. Podobnie sprawa będzie się miała gdzieś w środkach np. gromad kulistych czy tym podobnych. Każdy obiekt będzie oczywiście przyciągał tak jak dotąd, lecz mogą znaleźć się miejsca, gdzie nastąpią anomalie grawitacyjne z powodu oddziaływania całej masy gromady. Oczywiście trudno sobie wyobrazić jaka liczba odległych obiektów musiałaby zrównoważyć siłę przyciągania bliskiego obiektu, ale jest po prostu taka możliwość. Nie wykluczam, że i na Ziemi znajdą się miejsca, gdzie cała masa Drogi Mlecznej wywiera jakiś wpływ na lokalną grawitację, tworząc anomalie.

Jeśli chodzi o zakrzywienia przestrzeni i wleczenie czasoprzestrzeni za sobą w wyniku rotacji planety, to jest to fakt dowiedziony, gdyż w którymś momencie posypały się nam wczesne GPS-y i ludzie wjeżdżali w bagna i na drzewa bez pewnej poprawki relatywistycznej. Te zakrzywienia są wielkie tylko na prezentacjach medialnych dla lemingów, w rzeczywistości obiekty wielkości Ziemi zmieniają geometrię dosłownie o milimetry.

Sprawa laserów jest rozwojowa, gdyż w projekcie europejskim, bodaj niemieckim użyto sześciu laserów, ale nie udało się ustrojstwa wykalibrować. Ktoś podał podpowiedź, że może chodzić o zasadnicza trudność operowania czasoprzestrzenią na długościach rzędów długości Plancka. Tak, jakby jej już tam nie było. Nie wiem jaki jest obecnie stan tego projektu, ale spróbuję to zbadać. Co do pytania, czy żyjemy wobec tego w Matrixie, są już nowe dane z tego roku:

https://businessinsider.com.pl...

Obrazek użytkownika Ptr

21-12-2017 [19:48] - Ptr | Link:

 Everett robi karierę z niczego i Elon Musk coś tam powiedział i już wielkie halo. Wystarczy sobie uświadomić czym  jest symulacja.Mam na myśli to ,że jest to rozszerzenie zbioru praw fizyki do różnych zdarzeń. To znaczy , gdy nie możemy zrozumieć i sformułować prawa fizyki, sadzimy ,że to "zaprogramowana" rzeczywistość i jest taka dlatego ,że takie są zmieniające się parametry symulacji. Gdyby to była symulacja szybko odkrylibyśmy niespójności w jej działaniu- brak reguł.  Czyli nie jestem zwolennikiem tej hipotezy. Natomiast warto to rzeczywiście dokladnie sformułować o udowodnić logicznie , matematycznie jej nieadekwatność.

 

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

21-12-2017 [11:51] - Imć Waszeć | Link:

Tamte ciągi mają bardziej skomplikowane reguły sumowania, ale zasada jest podobna. Jeśli ciąg można w jakikolwiek sprytny sposób przedstawić tak, żeby dawał sumę skończoną, to sumę skończoną uważa się za "poprawniejsze" rozwiązanie, a następnie szuka się przyczyn. Przykładów sprytnych sposobów na sumowanie jest kilka: albo jakaś sprytna rekurencja (1+2+4+8+... spełnia wzór s=1+2s), albo wzór na sumę szeregu "geometrycznego" (szereg Grandiego 1-1+1-1+...=-1/2, iloraz q=-1, albo rekurencja 1-s=s), albo przedłużenie analityczne np. za pomocą funkcji dzeta Riemanna (1+1+1+...= dzeta(0) = -1/2; 1+2+3+4+... = dzeta(-1)=-1/12). Sposobem, który ja opisałem jest znalezienie sprytnego systemu liczbowego.

Obrazek użytkownika Kazimierz Koziorowski

21-12-2017 [03:09] - Kazimierz Kozio... | Link:

mowiac o kreacji falszywej reczywistosci przez nauke trzeba by sie odniesc do prawdy, a z tym moglby byc klopot - chyba ze pan wie co jest prawdą.
zadna teoria nie opisuje rzeczywistosci. mniej lub bardziej udatnie MODELUJE tylko jej wycinek.
nastepnie nowe dane obserwacyjne dowodza ze zaczyna zgrzytac i potrzebna jest kolejna teoria.

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

22-12-2017 [18:52] - Imć Waszeć | Link:

Ja to zawsze powtarzam, że pracujemy tylko na modelach i nie należy ich mylić z rzeczywistością, której zwyczajnie nie znamy. Jedyne co nam wychodzi, to echolokacja. Trącamy pewne struny, wsłuchujemy się w dźwięk i albo okazuje się, że jesteśmy blisko jakiejś prawdy, bo następuje rezonans, albo znów spudłowaliśmy i drażniący dźwięk jakoś nie trzyma się kupy. Ostatnie dwustulecie dowiodło, że rzeczywiście echolokacja jakimś dziwnym zbiegiem okoliczności w tym świecie działa i nawet poznajemy więcej, gdy zamkniemy oczy.

Obrazek użytkownika admin

20-12-2017 [17:09] - admin | Link:

Fajnie się czyta. Tak, mam obawy, że autorowi uda się czytelników nauczyć matematyki :) Trzymam kciuki i czekam na kolejne teksty! Ale już samo wykazanie, co złego w systemie nauczania jest złe też będzie OK. Choć na samej diagnozie nie warto poprzestawać. Brawo za dobór tematu na premierowe wpisy.

PS. Mam syna w II LO :), z pierwszej 5-ki warszawskich i choć z matmą wiele lat nie miałem praktycznie nic do czynienia to jeszcze byłem w stanie wyłapać błędy, jakie robił w rozwiązywaniu równań2. Co wcale nie potwierdza moje dobrej znajomości matmy (skończyłem stadia humanistyczne) ale raczej to, że system nauczania matematyki nadaje się do przeorania

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

20-12-2017 [17:32] - Imć Waszeć | Link:

Dziękuję. Postaram się wyjaśnić zagadnienie jak najprościej to będzie możliwe, sporządzę w tym celu odpowiednie rysunki i przedstawię zarys uogólnienia. W każdym razie będzie wiadomo wreszcie dlaczego w "wyższej" matematyce używa się tych dziwnych trójkątów sferycznych, hiperbolicznych i jaki to ma związek ze sobą. Przede wszystkim takie zbiorcze podejście uodparnia na szok, który przeżywa się widząc rewelacje związane z geometrią czasoprzestrzeni, stożkami światła i spinorami. Wszystko to ma związek z geometrią. To wszystko można wygooglować, jednak proste zestawienie nie będzie chyba takie złe. W zasadzie to jest dopiero pierwsza stacja na drodze ku zrozumieniu dzisiejszej kosmologii. Fizycy powymyślali tam takie niestworzone rzeczy, że aż trudno się oderwać od czytania. Istna poezja ;)

Obrazek użytkownika Jabe

20-12-2017 [17:31] - Jabe | Link:

Sugeruję, a właściwie się domagam, żeby wzory pisał Pan schludnie, żeby odstępy były, gdzie trzeba, a minus wyglądał jak minus. Czyli

2x+log(1+4x) >= xlog25+log6
2x + log(1 + 4x) ≥ log 25 + log 6

f(m)=x1(m)*x2(m)
f
(m) = x₁(m)∙x₂(m)

x2+4y2-4=0
x ² + 4y ² − 4 = 0

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

20-12-2017 [18:31] - Imć Waszeć | Link:

Te wzory są proste i zrozumiałe nawet bez specjalnej troski. Nie wklejałem wzorów, bo nie to było moim celem, a czas naglił. Może w przyszłości uda mi się przekonać adminów, żeby zainstalowali MathJaxa.

To jest efekt wklejenia równań Maxwella:
∇×B⃗ −1c∂E⃗ ∂t∇⋅E⃗ ∇×E⃗ +1c∂B⃗ ∂t∇⋅B⃗ =4πcj⃗ =4πρ=0⃗ =0
Oczywiście z błędami. A tak to wygląda w oryginale:
\begin{align}
   \nabla \times \vec{\mathbf{B}} -\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{E}}}{\partial t} & =
         \frac{4\pi}{c}\vec{\mathbf{j}} \\
   \nabla \cdot \vec{\mathbf{E}} & = 4 \pi \rho \\
   \nabla \times \vec{\mathbf{E}}\, +\, \frac1c\, \frac{\partial\vec{\mathbf{B}}}{\partial t} & =
         \vec{\mathbf{0}} \\
   \nabla \cdot \vec{\mathbf{B}} & = 0
\end{align}

Jest jeszcze inny system zapisu z rodziny XML, zwany MathML. Pierwiastek równania kwadratowego wygląda tak:

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/Ma..." display="block">
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>±</mo> <msqrt> <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup> <mo>−</mo> <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi> </msqrt> </mrow> <mrow> <mn>2</mn><mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow>
<mtext>.</mtext>
</math>

Osobiście jestem za tym pierwszym systemem, bo jest zgodny z LaTEXem i można dodatkowo skonfigurować go, żeby nie czepiał się każdego wyrażenia postaci \coś_tam.

Obrazek użytkownika Czesław2

20-12-2017 [19:00] - Czesław2 | Link:

Produkcja głąbów wynika z potrzeby chwili.Zaczęła się z konieczności uzupełnienia wykształcenia przez urzędników do poziomu mgr. Były dwie możliwości. Albo pacjenci podniosą umiejętności, albo dojdzie do obustronnego porozumienia. Potem widocznie tę samą metodę zaczęto stosować dla młodych., Pozdrawia wtórny analfabeta, dla którego 40 lat temu rachunek operatorowy i transformaty Laplace'a i Fouriera były pestką.

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

20-12-2017 [22:20] - Imć Waszeć | Link:

W zasadzie pisałem ten tekst z zamiarem uwrażliwienia ludzi na te rzeczy. Żeby w końcu zdali sobie sprawę, że nie można wciąż wszystkiego tolerować i się milcząco zgadzać, jak to państwo wymuszało na ludziach w głębokiej komunie. Jeśli tego prostego faktu nie zrozumiemy, to nie pomogą nam żadne konkurencje i niewidzialne ręce, bo głąb się okopie w terenie i nie da byle komu wygryźć z lokalnego układu. Tak działają kasty. Także kasta nauczycielska w konkretnym powiecie. Opowiedziana historia jest też po części inspirowana losem jednego z moich kuzynów ze wsi zabitej dechami, który kiedyś też chciał bardzo zostać informatykiem. Lecz tak bezkrytycznie zawierzył swojej pani nauczycielce, że dziś kopie rowy i układa podkłady kolejowe. Niestety, ja dowiedziałem się o tym już po szkodzie, czyli po kilku latach i na ratunek już było za późno. To nie o to chodzi, że on był głąbem, bo go znałem. Chodzi o to, że został on z premedytacją przerobiony na głąba i nikt nie ma sobie nic do zarzucenia. Ot Polska właśnie. W tym przypadku był to klasyczny przypadek, wuj był tak dumny ze swego syna, tak chciwie go oglądał oczami duszy w glorii informatycznej chwały, że nawet nie zauważył tego krytycznego momentu, gdy został po prostu trywialnie wydutkany od tyłu przez system edukacyjnych cwaniaków. Nie zauważył w porę bo sam się nie znał - nie pytał, bo myślał, że ma do czynienia z profesjonalistami. System, który wabi do szkół młodzież na lep chwytliwych haseł typu "informatyka", "mechatronika", "ekonomia", "inżynieria taka owaka", a potem okazuje się, że nie potrafią ich tam nauczyć nawet porządnie liczyć, to w Polsce powszechność. Tak rozumie się tu konkurowanie. To jest jedna z głównych przyczyn, dla której ludzie mający wyższą pozycje społeczną i nieco oleju w głowie nie ryzykują, tylko zabierają swoje dzieci z takich pipidów. I choćby miały one się gnieździć cztery lata w jakimś internacie, przenoszą je do cywilizacji. Czyli tam, gdzie maja szansę otrzymać konkretne wykształcenie, a nie tylko wiązkę kłamliwych obietnic bez pokrycia. Tak jest bezpieczniej. Ludzie o jeszcze wyższym statusie społecznym, jak to widzieliśmy za rządów PO, a nawet słyszeliśmy pomiędzy mlaskaniem przy pożeraniu ośmiorniczek i wiązką wyrazów uznawanych powszechnie za obelżywe, wysyłają swoje dzieci do szkół zagranicę. Nikt nam takiego badziewnego systemu edukacji nie narzucił - sami go sobie zbudowaliśmy. Jedni kierując się cwaniactwem i zachłannością na pieniądze, zaś inni przez ciche tolerowanie patologii.

Obrazek użytkownika xena2012

20-12-2017 [20:11] - xena2012 | Link:

A dlaczego akurat trygonometria taka niezdrowa?

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

21-12-2017 [01:13] - Imć Waszeć | Link:

To złożone zagadnienie, ale chodzi w skrócie o to, że w nauczaniu jej pozbyto się całego środka, pozostawiając jedynie dwie skrajności. Z jednej strony prymitywne zadanka nadające się do nowoczesnych testów, zaś z drugiej cały materiał traktowany niemal jak "matematyka wyższa" (widać to w poziomie rozszerzonym). W efekcie prawie nikt już nie zna trygonometrii, ale CKE nie ma ochoty zjeść tej żaby. Bedą udawać Jarząbka do samego końca. To zresztą widać w opinii fizyków o poziomie matematyki u uczniów zdających na maturze fizykę. Jeśli ktoś myśli, że delikwent na studiach sam się podciągnie i uzupełni braki, to chyba nigdy nie widział porządnych studiów, kiedy nie ma czasu po udzie się podrapać. Zwłaszcza, kiedy z głupoty i niewiedzy podstawowej zawali się pierwsze kolokwium, albo pierwszy termin egzaminu. Tam nikt już pyta "czy zna pan sinusy?"

Obrazek użytkownika Ptr

20-12-2017 [23:58] - Ptr | Link:

Takie mi wpadło w oko :
Obliczyć a^4+b^4+c^4 wiedząc, że a+b+c=0, a^2+b^2+c^2=1.
Wychodzi mi  1/2.     
A to:
Znaleźć takie liczby naturalne a i b (a<b), żeby suma wszystkich liczb naturalnych niemniejszych od a i niewiększych od bbyła równa 2000.
 
czy 398 402 pasuje ?

Dane są punkty A,B,C,D nie leżące na jednej płaszczyźnie. Wyznaczyć płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe.-
tworzymy płaszczyznę ABC i liczymy jej odległośc od D. przesuwamy płaszczyznę o pól tej odleglości.

 

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

21-12-2017 [01:16] - Imć Waszeć | Link:

Zgadza się i można to rozwalić brutalną siłą:

0 = (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1+2a(b+c)+2bc=1-2a^2+2bc=0, czyli a^2=1/2+bc
Podobnie b^2=1/2+ac, c^2=1/2+ab, czyli inaczej ab+ac+bc=a^2+b^2+c^2-3/2=1-3/2=-1/2.
Do obliczenia czwartej potęgi sumy trzech wyrazów nie musimy znać żadnego wzoru, żadnych uogólnionych trójkątów Pascala. Wystarczy, że pomyślimy, jak tworzą się kolejne wyrazy. Mamy cztery identyczne nawiasy (a+b+c), a więc z każdego będziemy brać jeden wyraz i tworzyć czwórki liter najlepiej w porządku alfabetycznym. Ma być 3^4=81 takich czwórek:
0 = (a+b+c)^4=
aaaa+aaab+aaac+aaba+aabb+aabc+aaca+aacb+aacc+
+abaa+abab+abac+abba+abbb+abbc+abca+abcb+abcc+
+acaa+acab+acac+acba+acbb+acbc+acca+accb+accc+
+baaa+baab+baac+baba+babb+babc+baca+bacb+bacc+
+bbaa+bbab+bbac+bbba+bbbb+bbbc+bbca+bbcb+bbcc+
+bcaa+bcab+bcac+bcba+bcbb+bcbc+bcca+bccb+bccc+
+caaa+caab+caac+caba+cabb+cabc+caca+cacb+cacc+
+cbaa+cbab+cbac+cbba+cbbb+cbbc+cbca+cbcb+cbcc+
+ccaa+ccab+ccac+ccba+ccbb+ccbc+ccca+cccb+cccc
Grupujemy wyrazy i niech S oznacza szukaną sumę czwartych potęg:
0 = a^4+b^4+c^4 + 4a^3b + 4a^3c + 4b^3a + 4b^3c + 4c^3a+4c^3b + 6a^2b^2 + 6a^2c^2 + 6b^2c^2 + 12a^2bc + 12b^2ac+12c^2ab
0 = S + 12abc(a+b+c) + 2ab(2a^2+2b^2) +  2ac(2^a2+2c^2) + 2bc(2b^2+2c^2) + 6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)
0 = S + 2ab(1+2bc+1+2ac) + 2ac(1+2bc+1+ab) + 2bc(1+2ac+1+2ab) + 6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)
0 = S + 4abc(a+b+c) + 4abc(a+b+c) + 4ab + 4ac + 4bc + 6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)
0 = S + 4(-1/2) + 6((1/2+bc)(1/2+ac) + (1/2+bc)(1/2+ab) + (1/2+ac)(1/2+ab))
0 = S - 2 + 6(1/4+1/2ac+1/2bc+abcc + 1/4+1/2ab+1/2bc+abbc + 1/4+1/2ab+1/2ac+aabc)
0 = S - 2 + 6(3/4 + ac + bc + ab + abc(a+b+c)) = S - 2 + 6(3/4 - 1/2 + 0) = S - 2 + 3/2 = S - 1/2
Stąd ostatecznie S=1/2.
Można to krócej zapisać, ale ja zapisałem tak, żeby było widać poszczególne kroki.

Drugie zadanie również można zrobić na piechotę. Jest tak: a+(a+1)+(a+2)+....+(a+n)=2000, a+n=b. Teraz zbierzmy wszystkie a: (n+1)a + (1+2+...+n)=2000, (n+1)a + n(n+1)/2 = 2000, (n+1)(a+n/2)=2000, (b-a+1)(a+b)/2=2000, (b-a+1)(a+b)=4000. Testujemy rozkłady liczby 4000 na dwa mnożniki - jeden mały (b-a+1), a drugi duży (a+b). Dzielniki pierwsze są dwa:2 i 5. Kolejno: 1*4000 odpada, bo a musiałoby się równać b wbrew założeniu a<b; 2*2000 odpada, bo dla b-a=1 druga liczba musiałaby być nieparzysta, a jest parzysta; 4*1000, 8*500, 10*400, 16*250, 20*200, 40*100, 50*80 nie pasują z tego samego powodu. Iloczyn 5*800 jest rozwiązaniem, bo z b-a=4 i b+a=800 mamy 2b=804, b=402 i a=800-b. Podobnie 32*125 jest następnym rozwiązaniem, bo b-a=31 i b+a=125, b=31+a, 2a=125-31=94; a=47, b=78. Na tym koniec.

Obrazek użytkownika Ptr

21-12-2017 [01:18] - Ptr | Link:

Problem poziomu ścisłego myślenia leży w ekonomice. W latach 80. lub 90. wielu było zmuszonych wyjechać na przykład za ocean. Tam obowiazywała taka mądrość ludowa: zapomnij , że masz jakieś wykształcenie, zapomnij jakieś tytuły naukowe, czy zawodowe. Chyba , że to tytuł zawodowy zawodu hydraulika. Zapomnij czego nauczyłeś się w Polsce, bo to będzie dla ciebie tylko zbędnym balastem i szybko doprowadzi do wyrzucenia cię z pracy. 
Otóz ta mądrość wynikała z konieczności dostosowania  mentalności pracownika do wymagań pracy. No, a teraz w rozwiniętej gospodarce polskiej jakie mamy wymagania mentalnościowe i jakie miejsca pracy ?  Weźmy popularne - sprzedaż, wsparcie sprzedaży, marketing. Tu nie ma czasu na takie bzdety jak sinusy, tu trzeba myśleć Panie, sprzedawać, czarować , na uszach stawać, grać , wiedzieć, umieć się znaleźć. 
Nie ma firm technologicznych , projektowania maszyn, badań - nie ma sinusow. 
Gdyby jeszcze przemiany lat 90 promowały technologie ! Ale nie . Promowały budki, butiki itp oraz przekręty.

Obrazek użytkownika Ptr

21-12-2017 [13:21] - Ptr | Link:

I na piechotę po kilku minutach mam jeszcze to : Zad: Rozwiązać cos3x+cos5x+cos7x=0
x=18 deg. lub PI/10. Korzystając z symetrii funkcji cos względem zera dla  cos 5x =0
Wielokrotności można ewentualnie zobaczyć na wykresie. Wyplotować sobie tę funkcję. 
Lub profesjonalnie liczyć. Ale to już nie jest rozrywka.
 

Obrazek użytkownika Ptr

21-12-2017 [16:03] - Ptr | Link:

tam , PI razy oko ze znakami , ale tak to mniej wiecej będzie. jeżeli nie 18 , ale wiemy o co chodzi.

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

21-12-2017 [18:19] - Imć Waszeć | Link:

Rozwiązanie jest trochę bardziej skomplikowane. Ponad trzydzieści lat temu rozwiązałem to tak:
0 = cos3x+cos5x+cos7x = cos(5x−2x)+cos5x+cos(5x+2x) = cos5x·cos2x+sin5x·sin2x + cos5x + cos5x·cos2x−sin5x·sin2x = 2cos5x·cos2x + cos5x.
Czyli cos5x·(2cos2x+1)=0, które zachodzi w dwóch przypadkach (spójnik logiczny "lub"):
1) cos5x=0, stąd 5x=π/2 + kπ, k∈ℤ, x=π(1+2k)/10
2) 2cos2x+1=0, cos2x=−1/2, ale mamy 2 przypadki 2x=4/3π + 2kπ oraz 2x=2/3π + 2kπ. Czyli: x=2/3π+kπ lub x=1/3π+kπ, k∈ℤ.
Są zatem trzy rodziny rozwiązań.

Skorzystałem ze wzoru: cos(α ± β) = cosα·cosβ ± sinα·sinβ.
Dowód: Tworzymy trójkąt, którego jeden z kątów jest równy α+β (ramiona a i b) i którego wysokość h spuszczona z tego wierzchołka na przeciwległy bok c dzieli ten kąt właśnie w tym stosunku na kąt α oraz β. Mamy cosα=h/a, cosβ=h/b, sinα=x/a, sinβ=(c−x)/b, gdzie x i c−x są długościami odcinków na które wysokość dzieli bok c. Z twierdzenia cosinusów dla kąta α+β (uogólnienie tw. Pitagorasa na dowolne trójkąty) mamy c²=a²+b²−2ab·cos(α+β). Potem np. x wraz z h eliminujemy z tw. Pitagorasa dla mniejszych trójkątów: x²+h²=a² oraz (x−c)²+h²=b², a dodatkowo rozkładamy c we wzorze z tw. cosinusów na x i resztę c−x, żeby skorzystać z policzonych sinusów. Potem dokonujemy serii podstawień, by wyeliminować ze wzoru wszystkie długości boków i korzystamy przy tym m.in. z tw. sinusów.....

Dowód jest dość długi i można go wygooglować. Ale warto też zrobić do końca samemu.

Obrazek użytkownika Ptr

22-12-2017 [14:39] - Ptr | Link:

Gdzieś już mogłem się zetknąć z niegdyś z tymi zadaniami w realu , ale nie na google. Kolega robił cos3x+cos5x+cos7x i znależł dwa rodzaje rozwiązań. Ale dla zaawansowanych były trzy jak się okazuje. 

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

22-12-2017 [18:20] - Imć Waszeć | Link:

W zasadzie można przyjąć, że to są dwa rodzaje rozwiązań, bo w punkcie drugim rozbicie na dwie rodziny mówi tylko tyle, że możemy zjechać po zboczu cosinusa w prawo oraz w lewo tam, gdzie ma on wartość -1/2. jak się narysuje cosinus i linię prostą y=-1/2, to widać, że jednym wzorem trochę trudno jest wszystkie punkty objąć.

Tu mam jeszcze takie dwa zadanka ze starej książki mojego ojca z 1964 roku, "Konkursnye zadachi po matematike" N. S. Zalogin (wtedy jeszcze były po rusku):
868. Uprościć wyrażenie: sin²α + sin²β + 2sinα·sinβ·cos(α + β)
901. Udowodnić: cos(α − β) − sin(α + β) = (cosα − sinα)(cosβ − sinβ)
1009. Wykluczyć α z układu równań: cos(β + α) = m, cos(β − α) = n.

Kiedyś to się właśnie tak robiło - trzaskało się trzysta takich zadanek i człowiek wiedział na czym stoi ;)

Obrazek użytkownika Ptr

22-12-2017 [21:47] - Ptr | Link:

Wspomnienie takiego zadania , o dziwo,  może wzbudzić nostalgiczne uczucie. We mnie wzbudziło.
Aby nie zapomnieć o żadnym rozwiązaniu muszę też uzupelnić : w zadaniu o płaszczyznach są 4 rozwiązania, 4 płaszczyzny równo odległe od 4. punktów. Podałem ideę jak je konstruować. 

Obrazek użytkownika Adam66

21-12-2017 [00:23] - Adam66 | Link:

Bardzo dobre podsumowanie "osiągnięć" posprlowskiej "reformy" edukacji w Polsce.  Niestety to nie jest przypadek tylko Polski ale ogólnoświatowy trend do produkcji lemingów.  W 1990 roku, po kliku miesiącach pobytu w Kanadzie i intesywnej nauce języka angielskiego zdecydowałem się na tutejszy , 3 letni kurs technologii budownictwa (civil engineering).  Na jednej z pierwszych lekcji matematyki mieliśmy test sprawdzający nasz obecny poziom wiedzy matematycznej.  Po szybkim spojrzeniu na zadania pomyślałem, że nauczyciel uważa mnie za kompletnego głąba ze względu na mój jeszcze słaby angielski i dał mi jakieś bzdety na poziomie 5-6 klasy prlowskiej szkoły podstawowej do rozwiązania (byłem jedynym imigrantem w klasie).  Dyskretnie rozejrzałem się po sąsiadach i ze zdumieniem ale i ulgą zauważyłem, że mają te same zadania.  Po 15 minutach zadania rozwiązałem, odnoszę kartkę do nauczyciela a on mówi: Nie poddawaj się, masz na to 2 godziny!  Po stwierdzeniu, że już skończyłem, w klasie zapanowała kompletna cisza a potem chchoty, że głupek z Polski znowu czegoś nie zrozumiał.  Po komentarzu nauczyciela, że jednak skończyłem i pytaniu co w takim razie tu robię chichoty ucichły a kiedy po oddaniu testów na następnych zajęciach okazało się, że wszstkie odpowiedzi miałem poprawne zostałem okrzyknięty geniuszem i mój twardy akcent przestał przeszkadzać moim kolegom z roku.  Chciałem zaznaczyć, że geniuszem nie jestem, z matmy byłem średniakiem, trochę lepiej z fizyki ale też w okolicach sredniej.  Niestety ten model edukacyjny od lat jest wpychany na siłe do Polski a efekty tego są widoczne - młodzi, wykształceni z dużych miast.  I tacy są potrzebni bo myślący są zbyt groźni dla "elyt".
Mam nadzeiję, że obecne władze to naprawią,,,
Pozdrawiam i życzę zdrowych i wesołych Świąt Bożego Narodzenia.
 

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

21-12-2017 [01:15] - Imć Waszeć | Link:

Dziękuję i odwzajemniam życzenia.

Obrazek użytkownika Kazimierz Koziorowski

21-12-2017 [03:33] - Kazimierz Kozio... | Link:

zdaje sie ze czyni pan zalozenie ze wladza moze cos naprawic w temacie. poza tym ilu nauczycieli ostalo sie w systemie, ktorzy mogliby podjac wyzwanie odbudowy pobojowiska.
mleko rozlalo sie jakies 20 lat temu, w czasach gdy dzieci celebrytow i nowobogackich zaczely byc zagrozone zdawaniem matur - zaczeto majstrowac nie tylko z "lub czasopisma"(przychodzi rywin do michnika). wciaz wsrod elyt w dobrym tonie jest bredzic, nawet publicznie "ja to bylem/bylam zawsze noga z matmy/fizy i jezykow" - w sensie a patrz do czego doszlem/doszlam

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

22-12-2017 [18:32] - Imć Waszeć | Link:

Pewnie sporo by się jeszcze znalazło dobrych nauczycieli matematyki (nie mylić z zawodowcami matematykami i wykładowcami na uczelniach). Problem w tym, że to pomysły MEN wykrzywiają tych ludzi i sprowadzają na manowce. O ile widzę potrzebę tworzenia programów nauczania dla takich przedmiotów jak historia albo polski, to w przypadku matematyki powinno być raczej od określonego poziomu minimalnego wzwyż. Określanie górnych pułapów nie ma po prostu sensu, bo i tak czas to ogranicza. Niech każdy nauczy uczniów przynajmniej tego minimum,a do tego swojej rybki i będziemy w domu. Ja miałem nauczyciela, który skończył metody numeryczne. U niego właśnie nauczyłem się tworzenia wzorów i rekurencji dla rozwiązania rozmaitych zadań, choć nie było wtedy jeszcze żadnych komputerów w szkole. Liczyliśmy to na suwaku logarytmicznym. Mam do niego masę zastrzeżeń, ale to co udało mu się zrobić przez 4 lata, to dziś nie wyrabia stu belfrów. Między innymi poznałem wyznaczniki dowolnego stopnia, odwracanie macierzy, różniczkowanie, numeryczne metody znajdowania miejsc zerowych, całkę Riemanna, ułamki łańcuchowe, system szesnastkowy i inne, funkcje logiczne za pomocą kart perforowanych na drucie do dziergania, i masę innych ciekawostek, nawet liczyłem pierwiastki w tych innych systemach liczbowych na lekcji. A dziś?

Obrazek użytkownika Czesław2

21-12-2017 [09:41] - Czesław2 | Link:

Na przykładzie kolegi robiącego parę lat temu studia zaoczne z informatyki moglem stwierdzić, że w połowie pierwszego semestry z trudem brną przez algebrę Boole'a i skracanie wyrażeń.
Już było napisane, że komunizm skuteczniej wprowadza się nie pałą tylko w szkole. Chcą ludzie tytuł magistra, proszę bardzo, profesor, ależ oczywiście. To nie ma znaczenia. Ego zostało zaspokojone. A w mediach i tak bryluje max 200 wybrańców twórców NWO.

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

22-12-2017 [18:34] - Imć Waszeć | Link:

Najgorsze jest to, że po nadaniu tych tysięcy tytułów naukowych na krechę, taki Gowin liczy, że wykształcą oni kogoś mądrzejszego od siebie. Ciekawe skąd ma tyle optymizmu? ;)

Obrazek użytkownika krystal

21-12-2017 [17:25] - krystal | Link:

Interesujący tekst :)
Mnie, od kiedy przeczytałem wiersz: http://malowane-wierszem.blogs...,  geometria zawsze kojarzy się z poezją.
Dobrych, spokojnych Świąt dla Pana Waszeci.

Obrazek użytkownika Imć Waszeć

22-12-2017 [18:42] - Imć Waszeć | Link:

Ja akurat lubię poezję. Kiedy tworzyłem pierwszą moją stronę, to zawsze była ona obecna dla stworzenia odpowiedniego nastroju, podkreślenia mojego stosunku do cytowanej treści, no i dla przyjemności. Również życzę szczęśliwych i spokojnych Świąt.

W końcu spotkałem jeszcze dziwnego człowieka,
Który po swych rodzicach nie nosił żałoby,
Nie rozpaczał przy ludziach, nie chodził na groby;
Lecz czasem tylko jego zapadła powieka
Przyjmowała do siebie promyczek wesela,
A ten tak blado, drżąco spod rzęsów wystrzela,
Jakby się od księżyca nauczył mrugania.
Ten człowiek od pierwszego z światem przywitania
Był bardzo nieszczęśliwy, ale się nie zrażał,
Patrzył w niebo i, pełniąc swoje obowiązki,
Na ziemię mało zważał.
On nawet w drobnych rzeczach był prześladowany,
Jakby go los trefnisiem dla siebie uczynił;
On często cierpiał potwarz, choć nic nie zawinił;
On, pragnąc zerwać różę, rwał ostre gałązki...
Ten więc człowiek, sierota, od nieszczęść ścigany,
Patrząc w górę, ze świętym uśmiechem proroctwa
Mówił do mnie, że nie ma bynajmniej sieroctwa!
Ja zaś jakoś niechcący ku niebu spojrzałem,
A niebo było gwiaździste;
W gwiazdach więc tajemnicę tych słów wyczytałem,
Bo one tam wyraźne były, oczywiste;
Potem, gdy dusza swego skosztowała chleba,
Nie mogłem się już więcej oderwać od nieba,
Które mnie wciąż ciągnęło silnym, wonnym tchnieniem.

Obrazek użytkownika rolnik z mazur

31-12-2017 [12:34] - rolnik z mazur | Link:

Przypomina mi to imperatyw moralny Kanta - ten o niebie rozgwieżdżonym nade mną i prawem moralnym we mnie - piękne. Widać matematyka ma wiele wspólnego z poezją i muzyką też. Pozdrawiam ro z m. Ps - nawet sie nie zabieram za rozwiązywanie tych zadań.

Obrazek użytkownika Goral Supreme

31-12-2017 [13:15] - Goral Supreme | Link:

Dziekuje za ta wzruszajaca Poezje..
Pragne sie podzielic moim ulubionym Poeta Rabindranath Tagore z poematu Szept Duszy

Życie religijne jest wyzwoleniem świadomości. Osiągnąwszy je, wszędzie już znajdujemy dostęp do duszy. Aż do tej chwili patrzymy na człowieka tylko przez swój egoizm lub też uprzedzenia, oddzielające nas od wszystkiego, niby zasłona z mgły. Dopiero gdy ta zasłona się podniesie, spostrzegamy nie tylko żywe kształty świata, ale stajemy się bliscy ich wiecznej istocie, którą jest nieopisane piękno. Bywa, że ludzie dowodów na potwierdzenie prawd religijnych szukają w świecie zewnętrznym. Natrafiają tam może na duchy lub też na inne nadzwyczajne zjawiska przyrody, jednakże do poznania prawd religii nie prowadzą one tak samo, jak słówka słownika nie wyrażają poezji.

Życie nasze osiąga swój punkt najwyższy, gdy może gościnnie przyjąć naszego Boga. Żyjemy na bożym świecie lecz zapominamy o Bogu, albowiem kto tylko bierze, sam nie dając, nigdy nie znajdzie prawdy. Podobni jesteśmy pustyni która wchłania w siebie deszcz, ale nie daje w zamian owoców, a przez to jej wchłanianie jest bezcelowe. Bóg daje nam swój świat, lecz dopiero gdy swój własny świat ofiarujemy Bogu, czynimy Jego dar swoją własnością.

Dosiego Roku Bracie Polaku..Dziekuje ,ze jestes..

Obrazek użytkownika rolnik z mazur

31-12-2017 [12:23] - rolnik z mazur | Link:

Uczeń jest zwykle zależny od poziomu wiedzy nauczyciela. Chociaż są i wyjatki. Można się samokształcić. Mnie jednak odpowiada koncepcja prof.Mariana Mazura ( zapomnianego i wypartego z umysłów wiekszości Polaków - ojca cybernetyki ). Już wtedy ( lata sześćdziesiąte i siedemdziesiate ) były problemy z poziomem nauki matematyki - teraz to już totalna tragedia i degrengolada. Wiem co mówię gdyż na bieżąco mam porównanie. Otóż Mazur sądził, że trzeba nauczać wszystkich matematyki na jakimś tam poziomie a tych, którzy chcą iść dalej na studia należy spędzić na rok zerowy na uczelnie i tam dopiero dac im odpowiednich nauczycieli i nauczyć matematycznego rzemiosła niezbednego do studiów. Tak w skrócie. Warto odświeżyc jego myśl. Serdeczne pozdrowienia i życzenia noworoczne ro z m.